26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过回顾函数定义及正比例、一次函数等旧知，结合矩形面积、球队比赛场次等实际问题引导学生抽象表达式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链推理抽象出二次函数形式，例题涵盖辨析、系数分析等，助力学生用数学语言表达关系。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可依托结构化内容提高教学效率。

二次函数的概念 人教版九年级上册数学 　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数． 　　1．函数的定义是什么？ 　　2．目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？ 　　正比例函数：y＝kx（k 是常数，k≠0）． 　　一次函数：y＝kx＋b（k，b 是常数，k≠0）． 　　分析：矩形另一边长为 (20－x)m，根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y＝x(20－x)． 　　 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，设矩形一边长为 x（单位：m），矩形的面积 y（单位：m2）会随边长 x 的变化而变化。y 与 x 之间有什么关系？ 问题1 将式子展开、整理，得 y＝－x2＋20x．　　　　①　　　　 对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数． 问题2 　　n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛．比赛的场次数 m 与球队数 n 之间有什么关系？ 　　分析：每支球队要与其他 (n－1)支球队各比赛 1 场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 ，即 ． ② ② 　　②式表示比赛的场次数 m 与球队数 n 的关系，对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与其对应，即 m 是 n 的函数． 问题 　　某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y （单位：t）将由 x 的值确定， y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 　　分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 20(1＋x) t，再经过一年后的产量是 20(1＋x)(1＋x) t，即两年后的产量 y＝20(1＋x)2，即 y＝20x2＋40x＋20． ③ y＝20x2＋40x＋20 ③ 　　③式表示了两年后的产量 y 与每年的计划增产的倍数 x 之间的关系，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数． 思考 　　观察函数 ① y＝－x2＋20x，② ，③ y＝20x2＋40x＋20， 它们有什么共同点？ n2 　　y＝－x2＋20x y＝20x2＋40x＋20 　　函数都是用自变量的二次式表示的． x2 　　x2 n2 新知 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数．其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． y＝ a x2 ＋ b x ＋ c （a，b，c 是常数，a≠0） 　　二次项 常数项 一次项 二次项系数 一次项系数 x x2 x2 x2 x2 x2 x2 　　这也是二次函数，可以看作 b＝0，c＝0 的特殊形式． 　　正方体的六个面是全等的正方形（如图），设正方体的棱长为 x，表面积为 y，写出 y 与 x 的关系式． 思考 　　y＝6x2　　　 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． （2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 例题 思考：（1）圆柱表面积由哪几部分组成？底面积、侧面积公式是什么？ （2）一年后的销量怎么表示？两年后的销量又是在一年后基础上再次下降，如何列式？ （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． 例题 解：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 底面积：πr²，两个底面面积和：2πr²； 侧面积＝底面周长×高＝2πr·r． 所以 S＝2πr²+ 2πr·r， 整理，得 S＝4πr²． 这个函数里，二次项系数是什么？有没有一次项、常数项？ （2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 例题 解：（2）一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件， 两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件， 所以 y＝8(1－x)²， 展开整理，得 y＝8x²－16x＋8． 这里自变量 x 表示下降率，结合实际，x 取值范围有什么限制？ 如果不展开，y＝8(1－x)² 能不能直接判断它是二次函数？ （1）实际问题列出关系式后，通常展开整理成 y＝ax2＋bx＋c的标准形式； （2）判断二次函数优先看整理后的整式形式； （3）实际情境下，自变量往往存在取值限制，后续解题需要留意． 　　（1）y＝－5x2； （2） y＝x3＋2x2＋1； 　　例1　下列函数中，哪些是关于 x 的二次函数？ 　　（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)； 　　（5）y＝x2－ ． （4）y＝ax2＋4x＋5； 　　分析：根据二次函数的定义来判断： 　　（1）y＝－5x2是关于 x 的二次函数； 　　（2）y＝x3＋2x2＋1 中 x 的最高次数是 3，不是二次函数； 　　（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)＝－x＋3，不是二次函数； 　　（4）y＝ax2＋4x＋5 中a可能为 0 ，不一定是二次函数； 　　（5）y＝x2－ 中有分式，不是二次函数． 　　解：只有（1）是关于 x 的二次函数． 　　判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件： 　　（1）等号右边是整式； 　　（2）自变量的最高次数必须是 2； 　　（3）二次项系数不为 0． 18 （3） ． 　　（1）y＝9x2； （2）y＝(2x＋1)2－6x； 　　例2　请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 　　分析：判断各项系数前，一定要先把函数的解析式整理成标准形式 y＝ax2＋bx＋c； 重点观察第（2）题，不能直接从原式读取系数； 第（3）题需要先把式子调整成“二次项在前”的规范顺序，避免符号看错． 函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y＝9x2 y＝(2x＋1)2－6x （3） ． 　　（1）y＝9x2； （2）y＝(2x＋1)2－6x； 　　例2　请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 9 0 0 4 －2 1 －1 0 解： 观察 y＝9x2，一次项系数、常数项都是 0，这还是二次函数吗？ 　　例3　若函数 是二次函数，求 m 的值． 思考：想要该函数为二次函数，需要同时满足哪两个条件？ ①自变量最高次数等于 2； ②二次项系数不等于 0． 解：根据二次函数定义可得方程组 由 m2－2＝2，得 m2＝4，解得 m＝±2． 又 m－2≠0，即 m≠2． 综上，m＝－2． 二次函数 定义 条件 等号右边是整式 自变量的最高次数必须是 2 二次项系数不为 0 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0) $