第1章 一元二次方程 单元复习 培优讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学一元二次方程单元复习讲义通过知识框架图和对比表格系统梳理知识体系，从定义、解法到实际应用按逻辑递进呈现，用表格归纳特殊形式方程，清晰展现重难点分布及内在联系。 讲义亮点是分层题型设计，基础题型巩固定义判断，培优题型强化韦达定理综合应用，压轴题型通过新定义问题培养创新意识，结合易错点总结助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学提升效率。

第1章 一元二次方程 知识点 1：一元二次方程的定义   1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的方程，叫做一元二次方程。   2. 三个必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2，三者缺一不可。   3. 注意：化简之后再判断；分母含有未知数、未知数次数高于 2 的方程一定不是一元二次方程。 知识点 2：一元二次方程的一般形式   1. 一般形式：；是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。   2. 是核心条件，、可以等于 0；各项要连带前面符号。   3. 特殊形式： 特殊情况 方程形式 ， ， ， 知识点 3：一元二次方程的根   1. 根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。   2. 把根代入原方程，等式成立，可用来求参数；一元二次方程可以无实数根、两个相等实数根、两个不相等实数根。 知识点 4：一元二次方程四种解法   1. 直接开平方法：适合，；两个不等实根；两个相等实根；无实数根。   2. 配方法：移项→二次项系数化为 1→两边加上一次项系数一半的平方，化为，再开平方求解。   3. 公式法：先化为一般形式，计算判别式，时，求根公式。   4. 因式分解法：移项使右边等于 0，左边因式分解，化为两个一次因式乘积为 0，得到两个一元一次方程求解。   5. 核心思想：降次，把二次方程转化为一元一次方程。 知识点 5：根的判别式   1. 叫做一元二次方程根的判别式。   2. 判别式与根的关系：    方程有两个不相等的实数根；    方程有两个相等的实数根；    方程没有实数根。   3. 用途：不解方程判断根的情况；已知根的情况，求字母参数取值范围。 知识点 6：根与系数的关系（韦达定理）   1. 当，两根，则，。   2. 常见代数式变形：    ；    ；    。   3. 注意：使用韦达定理，前提是方程有实数根（）。 知识点 7：一元二次方程实际应用常见模型   1. 增长率（降低率）模型：基数，变化次，平均变化率，。   2. 利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售量。   3.传播问题：理清每一轮传染数量关系。   4. 几何模型：面积、勾股定理，动点线段用含代数式表达，列方程。   5. 解应用题六步骤：审、设、列、解、验（检验实际意义）、答，不符合实际的根要舍去。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程定义 1.核心知识点:   一元二次方程的三个条件；一般形式；二次项系数不为 0；化简后判断方程类型。 2.解题方法技巧:   ①先把方程化简整理，再判断是不是一元二次方程；   ②求参数题目，必须保证二次项系数不等于 0；   ③区分整式方程和分式方程，分母含未知数不是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程．据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：A． 【题型 2】利用方程的根求参数 1.核心知识点:   一元二次方程根的定义；代入求值；一般形式。 2.解题方法技巧:   ①把已知根直接代入原方程，得到关于参数方程求解；   ②求出参数后，若是一元二次方程，回代检验二次项系数不为 0。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 【变式题2-3】.（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】C 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 【题型 3】根的判别式基础应用 1.核心知识点:   判别式；判别式和根的对应关系。 2.解题方法技巧:   ①题目说一元二次方程，隐含条件；   ②“有实数根” 包含两个相等、两个不等两种情况，对应；   ③先写成一般形式，再找计算。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 【答案】(1)且． (2)，． 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）当时，原方程为， ∴ ， ， ， ， ∴ ，． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解参数的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，此处，，， 代入得：， 解不等式得． 【培优高频题型】 【题型 4】配方法求代数式最值 1.核心知识点:   完全平方公式；配方法；平方数非负性。 2.解题方法技巧:   ①对二次多项式配方，写成形式；   ②，有最小值；，有最大值；   ③注意自变量取值范围限制。 【例题4】.（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 【变式题4-1】.（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 【题型5】韦达定理与判别式综合求值 1.核心知识点:   方程根的定义降次；韦达定理；代数式恒等变形。 2.解题方法技巧:   ①已知是方程根，利用方程把高次幂降低次数；   ②对称式优先用两根和、积整体代入，避免求根；   ③求出参数务必验证。 【例题5】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）略 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一根为3，求方程的另一根及c的值． 【答案】另一根为， 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为， ， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【答案】(1)证明：将一元二次方程化为一般式：， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)证明：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得 ，， 展开得：， 代入和的值：， ∵， ∴，即． 【分析】（1）将原方程化为一般式，表示出方程的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系可得，，将展开，再代入和的值，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型 6】增长率与利润实际问题 1.核心知识点:   增长率公式；销售利润模型；一元二次方程解的实际意义。 2.解题方法技巧:   ①分清基数、变化次数；   ②利润问题：涨价，销量减少；降价，销量增加；   ③解方程之后，一定要检验根是否符合生活实际，舍去不合理解。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔每个售价应上涨10元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． (1)求该软件用户前三天的日平均增长率． (2)公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【答案】(1)该软件用户前三天的日平均增长率为； (2)①会员价应为34元/月或36元/月； ②公司每天的会员优享业务收入不能达到元，理由如下： 设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴公司每天的会员优享业务收入不能达到元． 【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据第一天用户量和第三天的用户量建立方程求解即可； （2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；②设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元，可求出，根据偶次方的非负性可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该软件用户前三天的日平均增长率为； （2）解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， 答：会员价应为34元/月或36元/月； ②略 【变式题6-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为 (2)内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. 【详解】（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 【变式题6-3】.（2026·山东东营·中考真题）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【题型 7】一元二次方程几何面积应用题 1.核心知识点:   图形面积公式；列一元二次方程；实际根的取舍。 2.解题方法技巧:   ①设未知数，用未知数表达边长；   ②根据面积建立等式，整理成标准一元二次方程；   ③边长必须大于 0，舍去负根或者超出图形范围的解。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，公园内有一个正方形的小花坛，现在园艺设计师想把花坛的边长增加得到正方形的大花坛，使花坛的面积扩大2倍，求小花坛的边长． 【答案】 【分析】设小花坛的边长为．根据花坛的面积扩大2倍列出一元二次方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设小花坛的边长为． 解得（不合题意，舍去） 答：小花坛的边长为． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山东济南·期末）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】(1)； (2)的长度为16米 【分析】（1）由的长为x米，可得边所用隔栏绳，将绳子全长减去，边所用隔栏绳绳长，即可表示出的长度，根据的长度不超过墙的最大可利用长度为24米列出不等式，求解即可； （2）根据表演区的面积为320平方米列出方程，求解并结合（1）中x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·贵州黔南·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)5米 (2) 不能，理由如下， 假设面积可以为 ，则， 整理得即 ， ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为 ． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； （2）略 【变式题7-3】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 【题型 8】换元法解特殊一元二次方程 1.核心知识点:   换元降次思想；整体思想；一元二次方程求解。 2.解题方法技巧:   ①把重复出现的代数式整体设为，把高次、复杂方程化为标准二次方程；   ②解出之后，回代求原未知数；   ③分式、无理换元题目，要检验增根。 【例题8】.（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 【变式题8-3】.（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【答案】(1)换元；转化 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． 【题型 9】根的分布问题（根的符号、范围） 1.核心知识点:   判别式；韦达定理；不等式组；数形结合。 2.解题方法技巧:   ①两根一正一负：只需；   ②两根均正：，，；   ③两根均负：，，；   ④复杂区间根，结合图像辅助分析。 【例题9】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 【答案】D 【分析】此题考查了根与系数的关系，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 方程整理为一般形式，设两根分别为，，利用根与系数的关系表示出与，逐项判断即可． 【详解】解：设方程两根设为，， 方程整理得：， ∴由根与系数的关系得：，， 则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小． 故选：D． 【变式题9-1】.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据求出判别式的值，然后根据判别式的值判断即可． 【详解】解：方程，整理为：， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程： (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程两个实数根异号，且差为，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ = = = =， ∵ ∴ ∴该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（）求出的值即可证明； （）解方程可得，，根据方程的根异号可得，得到，再根据方程两个实数根相差为，得到，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程的两个根异号， ∴， ∴， 又∵方程两个实数根相差为， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴的值为． 【压轴素养题型】 【题型 10】构造一元二次方程解题 1.核心知识点:   韦达定理逆定理；整体构造方程；降次思想。 2.解题方法技巧:   ①已知两数和与积，直接构造；   ②对于对称代数式，观察条件，把两个数看作一元二次方程两根；   ③解出方程后检验是否符合原题条件。 【例题10】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； （2）解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据根与系数的关系可求出和的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可； （2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解； （3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵为方程的两根， ∴，， 故答案为：11； （2）， 由可知； ∴， ∴ 又，且，即； ∴a、是方程的两根， ∴，即； 故答案为：； （3）由可知； ∴， ∴， 又，且，即； ∴m、是方程的两根， ∴； ∴． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 1 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，即可求解的值； （2）先根据一元二次方程根的判别式确定的最大整数值，再对已知等式变形，得到和是同一一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系即可求解的值. 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得； （2）∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得 解得， 因此符合条件的最大整数， 将代入已知条件，得 ，整理得 ，整理得 因为，所以和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 即，解得. 【题型 11】新定义情境题型 1.核心知识点:   阅读理解；一元二次方程判别式、根的概念；迁移新知识。 2.解题方法技巧:   ①读懂题目给出新定义，模仿例子套用规则；   ②剥离情境外壳，转化为课本学过判别式、韦达定理模型；   ③做完后回代验证，确认满足定义全部条件。 【例题11】.（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2) 证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）略 （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 【变式题11-1】.（25-26九年级上·湖南怀化·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”． 由此回答下列问题： (1)点________（填“是”或“不是”）“倍横点”；点_______（填“是”或“不是”）“倍横点”； (2)求函数的图象上的“倍横点”坐标； (3)函数的图象上有没有“倍横点”若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1)是；不是； (2)； (3) 解：没有，理由如下： 假设函数图象上有“倍横点”， 把点代入得，， 整理得： ， 方程没有实数根，所以图象上没有“倍横点”． 【分析】此题考查了新定义，根据新定义、一次函数和二次函数的图象和性质、一元二次方程根的判别式进行解答即可． （1）根据“倍横点”的定义进行判断即可； （2）设函数图象上的“倍横点”坐标为，把坐标代入函数解析式，即可求出答案； （3）假设函数图象上有“倍横点”，代入二次函数解析式，判断一元二次方程有无实数根即可． 【详解】（1）解：∵是1的2倍，不是的2倍， ∴点是 “倍横点”； 点不是 “倍横点”； 故答案为：是，不是； （2）解：设函数图象上的“倍横点”坐标为， 把点代入得：，解得， ， 所以函数图象上的“倍横点”坐标为； （3）略 【变式题11-2】.（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程不是“纠缠方程”， 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； (2) 证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； (3)或 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】（1）解：， ，，， ,， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 易错点 1. 忽略一元二次方程条件，做含参题目忘记讨论二次项系数等于 0，漏掉一次方程情况。 2. 使用配方法，没有把二次项系数化为 1，直接加上一次项系数一半的平方，配方计算出错。 3. 使用韦达定理，忘记前提条件，求出参数不检验，保留无实根的解。 4. 因式分解法解方程，等式两边直接除以含有未知数的代数式，丢失一个根。 5. 解实际应用题，只解方程，不检验根的实际意义，保留负数、超过范围的无效解。 6. 混淆是两个不相等实数根；是两个相等实数根，误认为只有一个根。 7. 求根公式记错符号，，容易漏掉负号。 重点 1. 一元二次方程概念、一般形式，识别方程、化为一般形式。 2. 四种解法的选择，熟练解各类一元二次方程，掌握配方法。 3. 根的判别式，判别根情况、由根情况求参数。 4. 韦达定理，不解方程求两根代数式的值。 5. 一元二次方程实际应用：增长率、销售利润、几何面积问题。 难点 1. 含参数一元二次方程综合讨论，结合判别式、一元一次 / 二次分类。 2. 韦达定理综合变形，高次降次求值，参数回代检验。 3. 动点几何问题，用未知数表达线段，结合勾股定理、面积列方程，分类取舍根。 4. 整数根、有理根探究，判别式为完全平方数条件。 5. 新定义、存在性探究题型，阅读理解，转化为一元二次方程模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 3．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 二、填空题 4．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 5．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 三、解答题 7．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项，得：， 提取公因式，得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 根据平方根的性质，得：， ∴或， 解得：，． 8．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． (1)（教材P4T4改编）元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题“今有直田，积三百步，长较阔多七步．问长阔各几何？”，其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步，问长、宽各是多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为 ． (2)有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设这个正方形的边长是，根据题意可列方程为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形的面积公式找准等量关系列方程并整理为一元二次方程的一般形式； （2）先表示出原长方形的长和宽，再根据面积公式列出方程，最后整理为一般形式即可． 【详解】（1）解：∵矩形宽为x步，长比宽多7步，则长为步， 由矩形的面积公式可知：面积=长×宽， ∴列方程：， ∴． （2）解：∵正方形边长为，原长方形一边剪短得到正方形， ∴原长方形的长为， 又∵另一边剪短得到正方形， ∴原长方形的宽为， 由长方形的面积公式可知：面积=长×宽， ∴列方程：， ∴． 9．一元二次方程的两个根分别为和，其中，求的值． 【答案】 【分析】先因式分解解一元二次方程，根据确定两根数值，再将两根代入所求式子算出结果． 【详解】解：， ， 解得 或． ， ， ∴． 10．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为，的取值范围是 (2)当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出y与x的函数关系式，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得， 解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程 知识点 1：一元二次方程的定义   1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的方程，叫做一元二次方程。   2. 三个必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2，三者缺一不可。   3. 注意：化简之后再判断；分母含有未知数、未知数次数高于 2 的方程一定不是一元二次方程。 知识点 2：一元二次方程的一般形式   1. 一般形式：；是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。   2. 是核心条件，、可以等于 0；各项要连带前面符号。   3. 特殊形式： 特殊情况 方程形式 ， ， ， 知识点 3：一元二次方程的根   1. 根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。   2. 把根代入原方程，等式成立，可用来求参数；一元二次方程可以无实数根、两个相等实数根、两个不相等实数根。 知识点 4：一元二次方程四种解法   1. 直接开平方法：适合，；两个不等实根；两个相等实根；无实数根。   2. 配方法：移项→二次项系数化为 1→两边加上一次项系数一半的平方，化为，再开平方求解。   3. 公式法：先化为一般形式，计算判别式，时，求根公式。   4. 因式分解法：移项使右边等于 0，左边因式分解，化为两个一次因式乘积为 0，得到两个一元一次方程求解。   5. 核心思想：降次，把二次方程转化为一元一次方程。 知识点 5：根的判别式   1. 叫做一元二次方程根的判别式。   2. 判别式与根的关系：    方程有两个不相等的实数根；    方程有两个相等的实数根；    方程没有实数根。   3. 用途：不解方程判断根的情况；已知根的情况，求字母参数取值范围。 知识点 6：根与系数的关系（韦达定理）   1. 当，两根，则，。   2. 常见代数式变形：    ；    ；    。   3. 注意：使用韦达定理，前提是方程有实数根（）。 知识点 7：一元二次方程实际应用常见模型   1. 增长率（降低率）模型：基数，变化次，平均变化率，。   2. 利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售量。   3.传播问题：理清每一轮传染数量关系。   4. 几何模型：面积、勾股定理，动点线段用含代数式表达，列方程。   5. 解应用题六步骤：审、设、列、解、验（检验实际意义）、答，不符合实际的根要舍去。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程定义 1.核心知识点:   一元二次方程的三个条件；一般形式；二次项系数不为 0；化简后判断方程类型。 2.解题方法技巧:   ①先把方程化简整理，再判断是不是一元二次方程；   ②求参数题目，必须保证二次项系数不等于 0；   ③区分整式方程和分式方程，分母含未知数不是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．0 【题型 2】利用方程的根求参数 1.核心知识点:   一元二次方程根的定义；代入求值；一般形式。 2.解题方法技巧:   ①把已知根直接代入原方程，得到关于参数方程求解；   ②求出参数后，若是一元二次方程，回代检验二次项系数不为 0。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【变式题2-3】.（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【题型 3】根的判别式基础应用 1.核心知识点:   判别式；判别式和根的对应关系。 2.解题方法技巧:   ①题目说一元二次方程，隐含条件；   ②“有实数根” 包含两个相等、两个不等两种情况，对应；   ③先写成一般形式，再找计算。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 【变式题3-1】.（25-26八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【变式题3-2】.（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【培优高频题型】 【题型 4】配方法求代数式最值 1.核心知识点:   完全平方公式；配方法；平方数非负性。 2.解题方法技巧:   ①对二次多项式配方，写成形式；   ②，有最小值；，有最大值；   ③注意自变量取值范围限制。 【例题4】.（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【变式题4-1】.（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【变式题4-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式的最小值是_________． 【题型5】韦达定理与判别式综合求值 1.核心知识点:   方程根的定义降次；韦达定理；代数式恒等变形。 2.解题方法技巧:   ①已知是方程根，利用方程把高次幂降低次数；   ②对称式优先用两根和、积整体代入，避免求根；   ③求出参数务必验证。 【例题5】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一根为3，求方程的另一根及c的值． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【题型 6】增长率与利润实际问题 1.核心知识点:   增长率公式；销售利润模型；一元二次方程解的实际意义。 2.解题方法技巧:   ①分清基数、变化次数；   ②利润问题：涨价，销量减少；降价，销量增加；   ③解方程之后，一定要检验根是否符合生活实际，舍去不合理解。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． (1)求该软件用户前三天的日平均增长率． (2)公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【变式题6-3】.（2026·山东东营·中考真题）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【题型 7】一元二次方程几何面积应用题 1.核心知识点:   图形面积公式；列一元二次方程；实际根的取舍。 2.解题方法技巧:   ①设未知数，用未知数表达边长；   ②根据面积建立等式，整理成标准一元二次方程；   ③边长必须大于 0，舍去负根或者超出图形范围的解。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，公园内有一个正方形的小花坛，现在园艺设计师想把花坛的边长增加得到正方形的大花坛，使花坛的面积扩大2倍，求小花坛的边长． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山东济南·期末）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【变式题7-2】.（25-26九年级上·贵州黔南·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【题型 8】换元法解特殊一元二次方程 1.核心知识点:   换元降次思想；整体思想；一元二次方程求解。 2.解题方法技巧:   ①把重复出现的代数式整体设为，把高次、复杂方程化为标准二次方程；   ②解出之后，回代求原未知数；   ③分式、无理换元题目，要检验增根。 【例题8】.（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【变式题8-3】.（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【题型 9】根的分布问题（根的符号、范围） 1.核心知识点:   判别式；韦达定理；不等式组；数形结合。 2.解题方法技巧:   ①两根一正一负：只需；   ②两根均正：，，；   ③两根均负：，，；   ④复杂区间根，结合图像辅助分析。 【例题9】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 【变式题9-1】.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 【变式题9-2】.（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【变式题9-3】.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程： (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程两个实数根异号，且差为，求的值． 【压轴素养题型】 【题型 10】构造一元二次方程解题 1.核心知识点:   韦达定理逆定理；整体构造方程；降次思想。 2.解题方法技巧:   ①已知两数和与积，直接构造；   ②对于对称代数式，观察条件，把两个数看作一元二次方程两根；   ③解出方程后检验是否符合原题条件。 【例题10】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【题型 11】新定义情境题型 1.核心知识点:   阅读理解；一元二次方程判别式、根的概念；迁移新知识。 2.解题方法技巧:   ①读懂题目给出新定义，模仿例子套用规则；   ②剥离情境外壳，转化为课本学过判别式、韦达定理模型；   ③做完后回代验证，确认满足定义全部条件。 【例题11】.（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【变式题11-1】.（25-26九年级上·湖南怀化·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”． 由此回答下列问题： (1)点________（填“是”或“不是”）“倍横点”；点_______（填“是”或“不是”）“倍横点”； (2)求函数的图象上的“倍横点”坐标； (3)函数的图象上有没有“倍横点”若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 易错点 1. 忽略一元二次方程条件，做含参题目忘记讨论二次项系数等于 0，漏掉一次方程情况。 2. 使用配方法，没有把二次项系数化为 1，直接加上一次项系数一半的平方，配方计算出错。 3. 使用韦达定理，忘记前提条件，求出参数不检验，保留无实根的解。 4. 因式分解法解方程，等式两边直接除以含有未知数的代数式，丢失一个根。 5. 解实际应用题，只解方程，不检验根的实际意义，保留负数、超过范围的无效解。 6. 混淆是两个不相等实数根；是两个相等实数根，误认为只有一个根。 7. 求根公式记错符号，，容易漏掉负号。 重点 1. 一元二次方程概念、一般形式，识别方程、化为一般形式。 2. 四种解法的选择，熟练解各类一元二次方程，掌握配方法。 3. 根的判别式，判别根情况、由根情况求参数。 4. 韦达定理，不解方程求两根代数式的值。 5. 一元二次方程实际应用：增长率、销售利润、几何面积问题。 难点 1. 含参数一元二次方程综合讨论，结合判别式、一元一次 / 二次分类。 2. 韦达定理综合变形，高次降次求值，参数回代检验。 3. 动点几何问题，用未知数表达线段，结合勾股定理、面积列方程，分类取舍根。 4. 整数根、有理根探究，判别式为完全平方数条件。 5. 新定义、存在性探究题型，阅读理解，转化为一元二次方程模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 4．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 5．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 7．解方程 (1)； (2)． 8．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． (1)（教材P4T4改编）元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题“今有直田，积三百步，长较阔多七步．问长阔各几何？”，其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步，问长、宽各是多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为 ． (2)有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设这个正方形的边长是，根据题意可列方程为 ． 9．一元二次方程的两个根分别为和，其中，求的值． 10．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $