第1章 一元二次方程（复习讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理一元二次方程的复习要点与重难点，以“概念-解法-应用”为主线构建知识框架，清晰呈现直接开平方法、配方法等四种解法的适用条件及步骤，突出降次转化思想与实际应用等量关系的内在联系。 讲义亮点在于分层设计的题型训练，如“错解复原问题”引导学生辨析符号错误等常见误区培养推理意识，“增长率问题”“面积问题”等实际应用题发展模型意识。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握知识并提升数学思维。

第1章 一元二次方程 复习要点 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够识别方程，熟练写出方程的一般形式，准确找出各项及系数。 2.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能选择合适方法求解一元二次方程。 3.理解方程根的含义，会利用根的性质简单计算，能列一元二次方程解决常见实际应用题。 4.体会降次的转化数学思想，做题时可以规避常见易错点，会检验方程解的实际意义。 复习重难点 重点： 1.一元二次方程的概念与一般形式，能够准确辨析方程，正确识别二次项、一次项与常数项。 2.四种解一元二次方程的解法，会选用恰当方法解方程，掌握求根公式以及判别式的使用。 3.读懂题意找准等量关系，能够列出一元二次方程解决增长率、数字、图形面积类实际问题。 难点 1.配方法的原理与完整操作步骤，二次项系数不为 1 时的配方变形，容易出现计算符号错误。 2.判别式的理解与运用，理解判别式和实数根的关系，牢记公式法使用的两个前提条件。 3.实际应用题中寻找等量关系，求出根之后结合现实条件取舍，舍去不符合题意的解。 知识点 一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.成立的三个条件，需要同时满足：第一，是整式方程，分母当中不能含有未知数；第二，只含有一个未知数；第三，未知数的最高次数为2。 3.判断注意要点：判断一个方程是否为一元二次方程，要在化简之后再判断，需要关注五个方面：化简后、一个未知数、未知数最高次数是2、二次项系数不等于0、整式方程。 4.一般形式：任何一元二次方程整理之后都可以写成。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 5.重要说明：和可以取任意实数，但是二次项系数，若，方程不再具备二次项，就不是一元二次方程。确定各项系数之前，必须先把方程化为一般形式。 要点速测 1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【答案】B 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 知识点 一元二次方程的解（根） 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.根的性质：一元二次方程一定有两个解，但不一定是两个实数根。 3.若是方程的两个实数根，则满足，，可以利用该性质求参数或者代数式的值。 要点速测 3．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 4．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 知识点 一元二次方程的四种解法 一、直接开平方法 1.适用形式：方程可以化成或者。 2.求解规则：若，则；若，则。 3.注意要点：等式左边必须是完全平方形式，右边必须是非负数；当时，方程没有实数根；解题本质是降次，把二次方程转化为一元一次方程求解。 二、配方法 1.核心思路：把一元二次方程变形为的形式，再使用直接开平方法求解。 2.解题步骤：1.将方程整理成一般形式；2.方程两边同时除以二次项系数，把常数项移到等式右侧；3.等式两边同时加上一次项系数一半的平方；4.将左边写成完全平方式，合并右侧常数；5.如果右侧常数大于或等于0，开平方求解；如果右侧常数小于0，方程无实数根。 三、公式法 1.判别式：。 2.求根公式：当且时，。 3.解题步骤：1.将方程化为一般形式，确定带符号的；2.计算判别式；3.如果，方程无实数根；如果，把代入求根公式算出根。 4.使用前提：二次项系数，同时满足。 四、因式分解法 1.核心思想：转化降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，是做题中常用的简便方法。 2.解题步骤：1.移项，让方程的右边等于0；2.将方程左边分解成两个一次因式相乘；3.分别令每一个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.解一元一次方程，得到的解就是原方程的根。 3.易错提醒：不要直接在方程两边同时除以含有未知数的因式，会造成丢根。 要点速测 5．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 6．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，． （2）， ， 或， 解得，． 知识点 一元二次方程的实际应用 1.通用解题步骤：审清题目条件，设好未知数，找出等量关系列出一元二次方程，解方程，检验根是否符合实际意义，最后完成作答。 2.数字问题：十位数字为，个位数字为，这个两位数写作，结合和、差、倍数关系列方程。 3.增长率问题：设原来的量为，平均增长率为，第一次增长之后为，连续两次增长之后为；若是下降问题，把加号改成减号即可。 4.形积问题：可以借助勾股定理、图形面积、柱体体积公式，也可以利用相似三角形的比例关系建立等式列方程；求出解之后，边长、长度必须大于0，舍去不符合现实的解。 7．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 8．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)元，件 (2)每件衬衫应降40元 【分析】 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 题型1 判断是否是一元二次方程 解题要点 要先对方程进行去括号、移项、合并同类项的化简操作，再对照定义逐条检验。判定需要同时满足四项条件：属于整式方程、只含有一个未知数、未知数最高次数是2、化简后二次项系数不等于0。 分母含有未知数的是分式方程，直接排除；如果化简之后二次项抵消消失，也不是一元二次方程，做题时要特别注意这类隐藏陷阱。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 4．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 题型2 一元二次方程的一般形式 解题要点 利用去括号、移项、合并同类项，把原始方程整理成标准形式。移项的时候注意改变项的符号，所有项全部移到等式左侧，等式右边必须等于0。 确定二次项、一次项、常数项以及对应系数时，必须连同前面正负符号一起看待。没有写出来的项，代表该项系数为0，必须化为一般形式之后，再读取各项系数。 5．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 7．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 8．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 题型3 解一元二次方程 解题要点 解题优先观察方程结构，灵活选择解法。方程可以因式分解优先因式分解法；具备完全平方结构选用直接开平方法；没有明显特征优先公式法；配方法多用于题目指定或者代数式求最值题型。 使用公式法要先计算判别式，判别式小于0则无实数根。解方程完成后，可以将根代回原式验算。含参数题目，要时刻留意二次项系数的限制条件，避免漏情况。 9．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 10．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 则原方程为， ． 11．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【详解】略 12．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 题型4 解一元二次方程错解复原问题 解题要点 逐行比对错误解答的每一步，精准定位出错步骤，清晰说明对应的错误根源。常见错误有：配方前未把二次项系数化为1、忽略判别式、等式两边随意除以含未知数的式子、符号处理出错。 找到错误之后，按照规范步骤完整重写解题过程。做完之后代入结果验算，确认答案正确。答题时要分清“错因说明”和“正确解答”两部分，答题格式要完整规范。 13．解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【分析】 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 14．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 【答案】解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 原方程为， 移项，得， 提取公因式，得， 整理得， 则 或 ， 解得，． 【详解】略． 15．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 16．小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【分析】 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 题型5 根据判别式判断一元二次方程根 解题要点 首先把方程整理成一般形式，完整提取带符号的，代入计算判别式。依据判别式大小判断根的情况：两个不等实数根；两个相等实数根；无实数根。 如果题目含有参数，求参数取值范围时，除了判别式的不等式约束，还必须保证二次项系数。若题目没有说明是一元二次方程，还需要分类讨论二次项系数等于0的情形。 17．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 18．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 19．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 20．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 21．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 题型6 一元二次方程根与系数的关系 解题要点 运用韦达定理有两个硬性前提：方程为一元二次方程即，同时，方程存在实数根，缺少任意一个前提都不能直接使用定理。牢记关系式，。 不解方程求代数式的值时，要对所求代数式做恒等变形，构造出两根之和与两根之积，再整体代入运算。求出参数后，必须回代检验判别式，排除没有实根的情况。 22．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 23．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 24．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】2026 【详解】 解：a、b是方程的两个实数根， ，， ， ． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 26．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 题型7 用一元二次方程解决实际问题 解题要点 认真审题，梳理题干数量关系，挖掘隐藏的等量关系，合理设出未知数，列出一元二次方程。常见题型包含数字问题、增长率问题、几何面积体积问题。 解出方程的根，必须检验结果是否符合现实实际。边长、人数、增长率不能取负数，要舍去不符合题意的解。最后写完整作答，答题要对应题目的问题，不要遗漏作答环节。 27．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 28．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】 【详解】（1）解：设， 则； （2）略． 29．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 30．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【答案】每间客房的定价应为300元 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 31．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 难点一：含参数的一元二次方程结合判别式问题 难点：题目带有参数，很多同学只关注判别式的大小，容易忽略一元二次方程隐含条件二次项系数。如果题干没有明确说明是一元二次方程，还需要分类讨论（此时变成一次方程），学生经常漏掉分类情况；同时处理不等式时符号容易算错。 如何处理：拿到含参数题目，第一步先看清题干描述。若指明是一元二次方程，必须同时满足和的条件；没有指明方程类型，就要分、两类讨论。计算完参数范围之后，回代检验条件，排除不符合的取值。 难点精练 1．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 2．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 3．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【详解】略 4．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 难点二：韦达定理（根与系数关系）的综合求值问题 难点：学生直接套用，，常常遗忘两个使用前提：、。求出参数后不去检验判别式，会保留没有实数根的错误解；另外不会对所求代数式变形，不会凑两根和、积的形式。 如何处理：做题先确认方程存在实数根，优先计算判别式。面对代数式求值，先做恒等变形，把式子转化为只含和的形式再整体代入。解出参数之后，一定要带回进行检验，舍去使得的参数。 难点精练 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 7．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 8．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 基础达标 一、单选题 1．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】解：在方程中，，，， 故． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得，解得． 3．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 4．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 5．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 6．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 二、填空题 7．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 8．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有不相等实数根， ，，， ∴，解得． 9．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 三、解答题 10．解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 11．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 12．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 能力进阶 1．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 2．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 3．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 4．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【详解】解：设方程的两根为， 由题意可知，方程的两根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 对可得，； 对可得，， 整理得，； 联立得方程组， 解得， 因此． 5．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程 复习要点 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够识别方程，熟练写出方程的一般形式，准确找出各项及系数。 2.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能选择合适方法求解一元二次方程。 3.理解方程根的含义，会利用根的性质简单计算，能列一元二次方程解决常见实际应用题。 4.体会降次的转化数学思想，做题时可以规避常见易错点，会检验方程解的实际意义。 复习重难点 重点： 1.一元二次方程的概念与一般形式，能够准确辨析方程，正确识别二次项、一次项与常数项。 2.四种解一元二次方程的解法，会选用恰当方法解方程，掌握求根公式以及判别式的使用。 3.读懂题意找准等量关系，能够列出一元二次方程解决增长率、数字、图形面积类实际问题。 难点 1.配方法的原理与完整操作步骤，二次项系数不为 1 时的配方变形，容易出现计算符号错误。 2.判别式的理解与运用，理解判别式和实数根的关系，牢记公式法使用的两个前提条件。 3.实际应用题中寻找等量关系，求出根之后结合现实条件取舍，舍去不符合题意的解。 知识点 一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.成立的三个条件，需要同时满足：第一，是整式方程，分母当中不能含有未知数；第二，只含有一个未知数；第三，未知数的最高次数为2。 3.判断注意要点：判断一个方程是否为一元二次方程，要在化简之后再判断，需要关注五个方面：化简后、一个未知数、未知数最高次数是2、二次项系数不等于0、整式方程。 4.一般形式：任何一元二次方程整理之后都可以写成。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 5.重要说明：和可以取任意实数，但是二次项系数，若，方程不再具备二次项，就不是一元二次方程。确定各项系数之前，必须先把方程化为一般形式。 要点速测 1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 知识点 一元二次方程的解（根） 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.根的性质：一元二次方程一定有两个解，但不一定是两个实数根。 3.若是方程的两个实数根，则满足，，可以利用该性质求参数或者代数式的值。 要点速测 3．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 知识点 一元二次方程的四种解法 一、直接开平方法 1.适用形式：方程可以化成或者。 2.求解规则：若，则；若，则。 3.注意要点：等式左边必须是完全平方形式，右边必须是非负数；当时，方程没有实数根；解题本质是降次，把二次方程转化为一元一次方程求解。 二、配方法 1.核心思路：把一元二次方程变形为的形式，再使用直接开平方法求解。 2.解题步骤：1.将方程整理成一般形式；2.方程两边同时除以二次项系数，把常数项移到等式右侧；3.等式两边同时加上一次项系数一半的平方；4.将左边写成完全平方式，合并右侧常数；5.如果右侧常数大于或等于0，开平方求解；如果右侧常数小于0，方程无实数根。 三、公式法 1.判别式：。 2.求根公式：当且时，。 3.解题步骤：1.将方程化为一般形式，确定带符号的；2.计算判别式；3.如果，方程无实数根；如果，把代入求根公式算出根。 4.使用前提：二次项系数，同时满足。 四、因式分解法 1.核心思想：转化降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，是做题中常用的简便方法。 2.解题步骤：1.移项，让方程的右边等于0；2.将方程左边分解成两个一次因式相乘；3.分别令每一个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.解一元一次方程，得到的解就是原方程的根。 3.易错提醒：不要直接在方程两边同时除以含有未知数的因式，会造成丢根。 要点速测 5．方程的解是（） A． B． C． D． 6．解方程： (1) (2) 知识点 一元二次方程的实际应用 1.通用解题步骤：审清题目条件，设好未知数，找出等量关系列出一元二次方程，解方程，检验根是否符合实际意义，最后完成作答。 2.数字问题：十位数字为，个位数字为，这个两位数写作，结合和、差、倍数关系列方程。 3.增长率问题：设原来的量为，平均增长率为，第一次增长之后为，连续两次增长之后为；若是下降问题，把加号改成减号即可。 4.形积问题：可以借助勾股定理、图形面积、柱体体积公式，也可以利用相似三角形的比例关系建立等式列方程；求出解之后，边长、长度必须大于0，舍去不符合现实的解。 7．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 题型1 判断是否是一元二次方程 解题要点 要先对方程进行去括号、移项、合并同类项的化简操作，再对照定义逐条检验。判定需要同时满足四项条件：属于整式方程、只含有一个未知数、未知数最高次数是2、化简后二次项系数不等于0。 分母含有未知数的是分式方程，直接排除；如果化简之后二次项抵消消失，也不是一元二次方程，做题时要特别注意这类隐藏陷阱。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 4．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 题型2 一元二次方程的一般形式 解题要点 利用去括号、移项、合并同类项，把原始方程整理成标准形式。移项的时候注意改变项的符号，所有项全部移到等式左侧，等式右边必须等于0。 确定二次项、一次项、常数项以及对应系数时，必须连同前面正负符号一起看待。没有写出来的项，代表该项系数为0，必须化为一般形式之后，再读取各项系数。 5．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 8．把方程化为一般形式是__________． 题型3 解一元二次方程 解题要点 解题优先观察方程结构，灵活选择解法。方程可以因式分解优先因式分解法；具备完全平方结构选用直接开平方法；没有明显特征优先公式法；配方法多用于题目指定或者代数式求最值题型。 使用公式法要先计算判别式，判别式小于0则无实数根。解方程完成后，可以将根代回原式验算。含参数题目，要时刻留意二次项系数的限制条件，避免漏情况。 9．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 10．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 11．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 12．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 题型4 解一元二次方程错解复原问题 解题要点 逐行比对错误解答的每一步，精准定位出错步骤，清晰说明对应的错误根源。常见错误有：配方前未把二次项系数化为1、忽略判别式、等式两边随意除以含未知数的式子、符号处理出错。 找到错误之后，按照规范步骤完整重写解题过程。做完之后代入结果验算，确认答案正确。答题时要分清“错因说明”和“正确解答”两部分，答题格式要完整规范。 13．解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 14．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 15．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 16．小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 题型5 根据判别式判断一元二次方程根 解题要点 首先把方程整理成一般形式，完整提取带符号的，代入计算判别式。依据判别式大小判断根的情况：两个不等实数根；两个相等实数根；无实数根。 如果题目含有参数，求参数取值范围时，除了判别式的不等式约束，还必须保证二次项系数。若题目没有说明是一元二次方程，还需要分类讨论二次项系数等于0的情形。 17．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 18．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 19．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 20．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 21．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 题型6 一元二次方程根与系数的关系 解题要点 运用韦达定理有两个硬性前提：方程为一元二次方程即，同时，方程存在实数根，缺少任意一个前提都不能直接使用定理。牢记关系式，。 不解方程求代数式的值时，要对所求代数式做恒等变形，构造出两根之和与两根之积，再整体代入运算。求出参数后，必须回代检验判别式，排除没有实根的情况。 22．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 23．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 24．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 26．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 题型7 用一元二次方程解决实际问题 解题要点 认真审题，梳理题干数量关系，挖掘隐藏的等量关系，合理设出未知数，列出一元二次方程。常见题型包含数字问题、增长率问题、几何面积体积问题。 解出方程的根，必须检验结果是否符合现实实际。边长、人数、增长率不能取负数，要舍去不符合题意的解。最后写完整作答，答题要对应题目的问题，不要遗漏作答环节。 27．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 28．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 29．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 30．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 31．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 难点一：含参数的一元二次方程结合判别式问题 难点：题目带有参数，很多同学只关注判别式的大小，容易忽略一元二次方程隐含条件二次项系数。如果题干没有明确说明是一元二次方程，还需要分类讨论（此时变成一次方程），学生经常漏掉分类情况；同时处理不等式时符号容易算错。 如何处理：拿到含参数题目，第一步先看清题干描述。若指明是一元二次方程，必须同时满足和的条件；没有指明方程类型，就要分、两类讨论。计算完参数范围之后，回代检验条件，排除不符合的取值。 难点精练 1．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 2．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 3．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 4．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 难点二：韦达定理（根与系数关系）的综合求值问题 难点：学生直接套用，，常常遗忘两个使用前提：、。求出参数后不去检验判别式，会保留没有实数根的错误解；另外不会对所求代数式变形，不会凑两根和、积的形式。 如何处理：做题先确认方程存在实数根，优先计算判别式。面对代数式求值，先做恒等变形，把式子转化为只含和的形式再整体代入。解出参数之后，一定要带回进行检验，舍去使得的参数。 难点精练 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 7．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 8．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 基础达标 一、单选题 1．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 6．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．已知是关于的方程的一个根，则________． 8．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 9．已知，是方程的两个根，则__________． 三、解答题 10．解方程． (1) (2) (3)； (4) 11．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 12．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 能力进阶 1．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 3．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 4．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 5．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $