精品解析：辽宁鞍山市第二中学2026-2027学年度第一学期期初九年级数学练习题

2026—2027学年度第一学期 期初 九年级数学练习题 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定，某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数解答即可． 【详解】解：数据出现了次，出现次数最多， 所以众数为， 故选：A． 3. 直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等面积法计算即可； 【详解】设斜边为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形两条直角边的长分别为6，8， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 4. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 5，8，10 C. ，，2 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形． 根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，根据，，结合平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在平行四边形中，对角线，相交于点， ， ，， 平行四边形的面积为：， 故选：D． 6. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数的形式为（是常数，），据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； B选项含有常数项，不符合正比例函数定义； C选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； D选项中，符合正比例函数定义． 7. 操作性试题，如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，由作图可知，即可得出，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 8. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为，，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠ABO=∠DAO，根据全等三角形的性质得到DM=OA， AM=OB，于是得到结论． 【详解】解：如图所示，过D作DM⊥x轴于M， 四边形ABCD是正方形， AB=AD，∠BAD=90°， ∠AOB=∠AMD=90°， ∠BAO+∠DAM=∠ABO+∠BAO=90°， ∠ABO=∠DAM， ， DM=OA， AM=OB， 点A， B的坐标分别为( a， 0)，(0，b)， OA=a， OB=b， DM=a， AM=b， OM=b-a， 顶点D的坐标为( a-b，-a )， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 9. 如图1所示的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论错误的是（　　） A. 是的函数 B. 摩天轮旋转一周所用的时间为 C. 摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是 D. 摩天轮的半径是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得： A、由图象可得：变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意； B、由图象可得：摩天轮转一周所用的时间是，说法正确，故本选项不合题意； C、由图象可得：摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是，说法正确，故本选项不合题意； D、摩天轮的半径是：，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 10. 下列说法中： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的矩形是正方形 ④对角线互相垂直的四边形是菱形，正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】分别对各个结论进行判断，即可得出答案． 【详解】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形 可能是平行四边形或梯形，故①错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，，故②错误； 有一组邻边相等的矩形是正方形，故③正确； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定；熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 体育测试前，甲、乙两名男同学进行跳远训练，两人在相同条件下每人跳10次，统计得两人的平均成绩均为2.43米，方差分别为，，则成绩比较稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】∵甲的方差为0.03，乙的方差为0.1，0.03＜0.1，∴成绩较为稳定的是甲． 故答案为甲． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 14. 如图表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，则弹簧不挂重物时的长度是______． 【答案】##10厘米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象中的数据，可以计算出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关式，然后令求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：设弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为， 则， 解得，， ∴弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为， ∴当时，， 即弹簧不挂物体时的长度为, 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）已知：，．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，再将、的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 17. 如图，已知，，，．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】点P为所求作的点． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角；作即可，因此按照作一个角等于已知角的步骤进行即可． 【详解】解：如图，作，使角的另一边交于点P， 则． 18. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴； （2） 四边形是矩形．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用； （1）根据平行四边形性质得出，推出，根据证两三角形全等即可； （2）根据全等得出，，推出，根据，得出平行四边形，根据矩形的判定推出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2025年春节是春节申遗成功后的第一个春节．某学校为了增强学生对春节传统民俗文化的兴趣，对全校同学进行了一次春节传统民俗文化知识问卷调查，问卷满分为5分，并抽取了部分同学的问卷，将所得的分数（单位：分）进行分类、统计，绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题． （1）________，补全条形统计图． （2）请求出抽取的这部分同学的问卷成绩的中位数和平均数． （3）若该校共有学生1200人，请估计问卷成绩优秀（大于或等于4分）的学生人数． 【答案】（1）8， 补图如下： （2）中位数为3，平均数为 （3）456人 【解析】 【分析】（1）根据3分的人数及百分比求得抽取的总人数，则求得5分的占比，求得a的值；求得2分的人数及4分的人数，从而补全条形统计图； （2）根据中位数，平均数的计算公式求解即可． （3）根据样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 (人)， 5分人数所占百分比为， 解得， 2分的人数为： (人)，4分的人数为： (人)， 故答案为：8． 【小问2详解】 解：将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分， 中位数为3分． 平均数为（分）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：问卷成绩优秀（大于或等于4分）的学生人数约为456． 【点睛】本题考查了样本容量计算，扇形统计图的应用，中位数，平均数，样本估计总体，熟练掌握定义，公式是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可； （2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，扫过的图形为四边形，此时 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 ∴点运动了． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为2，的值为3 （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出，； （2）先写出一次函数解析式，整理不等式，分、、三类讨论，结合的取值范围列不等式求解，合并得到的范围． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点和， ， 解得， 的值为2，的值为3； 【小问2详解】 由（1）可得，函数的解析式为：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当时，，即， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，恒成立， ∴符合题意， 综上所述：． 22. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______； （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论； （3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），； （2）； 理由如下：连接：， ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）8 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ， 则，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴. 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． （1）C点坐标为_______； （2）如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B，O重合），连接，以为直角边作等腰直角，，连接交x轴于G，求证：G是的中点； （3）如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：在轴上截取，连接， 在等腰直角中，，， 由（1）可得， ， ，， 在等腰直角中，，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， 即是的中点； （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，利用定理证明，然后结合一次函数性质求得点坐标； （2）在轴上截取，连接，利用定理证明，定理证明，从而求解； （3）由平移的性质，设直线的解析式为，由一次函数的性质求得点坐标为，点坐标为，然后分，，三种情况列方程求解． 【小问1详解】 解：过点作轴，交轴于点， 与、轴分别交于，两点， 当时，， 当时，，解得：， ，， ，轴， ，，， ， 又， ， ，， ， 点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由平移的性质，设直线的解析式为， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 又，， ，， 当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时， ①当时，，解得：， 此时点坐标为； ②当时，，解得：（与重合，舍去），， 此时点坐标为； ③当时，，解得：， 此时点坐标为， 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，掌握一次函数的性质和全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 期初 九年级数学练习题 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定，某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 4. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 5，8，10 C. ，，2 D. 7，24，25 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 操作性试题，如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为，，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1所示的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论错误的是（　　） A. 是的函数 B. 摩天轮旋转一周所用的时间为 C. 摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是 D. 摩天轮的半径是 10. 下列说法中： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的矩形是正方形 ④对角线互相垂直的四边形是菱形，正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 体育测试前，甲、乙两名男同学进行跳远训练，两人在相同条件下每人跳10次，统计得两人的平均成绩均为2.43米，方差分别为，，则成绩比较稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 14. 如图表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，则弹簧不挂重物时的长度是______． 15. 如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）已知：，．求的值． 17. 如图，已知，，，．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） 18. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 19. 2025年春节是春节申遗成功后的第一个春节．某学校为了增强学生对春节传统民俗文化的兴趣，对全校同学进行了一次春节传统民俗文化知识问卷调查，问卷满分为5分，并抽取了部分同学的问卷，将所得的分数（单位：分）进行分类、统计，绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题． （1）________，补全条形统计图． （2）请求出抽取的这部分同学的问卷成绩的中位数和平均数． （3）若该校共有学生1200人，请估计问卷成绩优秀（大于或等于4分）的学生人数． 20. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______； （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论； （3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 23. 如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． （1）C点坐标为_______； （2）如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B，O重合），连接，以为直角边作等腰直角，，连接交x轴于G，求证：G是的中点； （3）如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $