第5章 第4节 数列求和-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 跟踪训练 解：(1)证明：由题意得a1=S,=1十Aa1, 1 故入≠1，a=1-a≠0. 由S,=1+入an,Sa+1=1十入au+1,得a+1=Aam+1-Aan' 即am+1(入-1)=Aan, 由a0以0，得a0所以会合 因此a,是首项为公北为亡的等此数列， (2)1)得s.=1-(产）广 ）=32 解得入=一1. 考点三 [典例](1)A[由等差数列性质得a2十a12=2a,所以 4a,-a=0,又a,≠0，所以a,=4,b,=4,由等比数列性 质得b3b,=b=16.] (2)[解析]设数列{an}的公比为q, 由a1a2ag=4=aig与aaas=12=aiq2, 可得q°=3，an-1anam+1=aq-3=324, 因此g”-$=81=3=g,所以n=14. [答案]14 (3)[解析]因为函数f(x)=x一4x十4的零点为2，所以 等比数列{an}的公比q=2.因为a=a·a=4,所以a,=2, 所以a=a,·q=2°，所以log2a12=log:2=6. [答案]6 跟踪训练 1.CL各项均为正数的等比数列{am}中，因为(a1十ag)(a 十a,)=4a成立，即a1a十a1a,十aa十a3a,=4a成立.利 用等比数列的定义和性质化简可得a十a十a十a= 4a,进一步化简得a+a=2a.设公比为q,则得aig +aiq=2aig,化简可得1+g=2g,即(g-1)=0,所 以g=1,故q=1(由于各项均为正数的等比数列，故q= 一1舍去).故此等比数列是常数列.门 2.C[由于a=2-,故{a}为等比数列a=32公比g =2, 故s=a2”一12=(2”-1)1·ag…aw= 2-1 2-+(-4++w-0=2 因为S,>a·aa,所以2（2-10>2. 即2”-1八224+ 当n=1时，不等式不成立，故有n≥2，此时n∈N,2”, 2”的差恒大于1， 只需2”>22出，即得0>-1n+10n-13m十10 2 <0,解得13-29<<13+129 2 2 因为n∈N+,所以n的最大值为12.] 第4节 夯实·必备知识必备知识 (1)na,十a) a1(1-g）a1-ag 2 nd nas 1-g 1-q 思考辨析(1)√(2)√(3)×(4)/(5)√ 小题查验 1B2D3A4m+1-安 5.4 ·3 跃升·关键能力考点一 l.A[因为a2,a4,ag成等比数列，所以a=a2·ag,所以 (a1+6)2=(a1十2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn= naj+un Dd=n(n+1).] 2.解析：公共项为1,7,13，…，数列{a,}是以1为首项6为 公差的等差数列，其前n项和为1十6-5m=3m-2m. 2 答案：3n2一2m 3.解：(1)设{an}的公比为q(g>0且q≠1)，由题设得 2g°=4g+16,即g-2g-8=0. 解得q=一2（舍去）或g=4. 因此{a}的通项公式为an=2X4”-1=22m (2)由(1)得bn=(2n-1)log2=2n-1,因此数列{bn}的 前n项和为1十3十…十2n一1=n. 考点二 [典例][解](1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， S。=k. 因为a,=1,到+”2Da=2a+202gD小 2 整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0, 因为对任意n∈N”上式均成立， 听以{二200s年4==士 、1(2k-1)(2-d)=0, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. b=2, 因为62+1=b.,b+b,=2,又 所以数列{b,}是首项为b1=2,公比为2的等比数列. 所以b=2”. (2)由(1)知an=2n-1,b.=2" 因为cn=an十bn,数列{cn}的前n项和为T。, 所以T.=(a1+a2+…+an)+(b1+b+…+bn) =[1+3+…+(2n-1)]+(2+2+…+2”) =n[1+(2n-1)]+2(1-2") 2 1-2 =n2+2"+1-2 所以数列{cn}的前n项和T。=2”+1十n2一2. 跟踪训练 解：(1)由题意知b-b2=8,b3-b1=4,a1十b1=4, 因为a2m-1=b2a-1十12m,a2w=mb2m, a1=b1+12m, a2=mb2, 所以{a3=b3+12m, a=mb, a1+b1=2a1-12m, 设等差数列{an}的公差为d, /a3-a1=b3-b1=4=2d, 则a:-a2=m(b,-b:）=8m=2d, (a1+b1=2a1-12m=4, fd=2, 1 解得m=2’,所以0，=5+(m-1)×2=2m+3, 6=-1, a1=5. 所以m的值为2，a,}的通项公式为a,=2m十3. (2)由(1)知，a=2n+3,b-1=a-1-6,bm=2a2 所以S=(b1+b3+b+…十bm-1）+(b2+b,十 b6十…十b2m） =(a1十ag十a5十…十a2w1一6n)十2(a2十a:十a6十…十am） =na+a--6mn+2×nata 2 6 =n(5+4n+1D-6m十n(7+4n+3) 2 =6n2+7n 所以(bn}的前2n项和为Sn=6m+7n. 考点三 [典例][解]选①：S=6,an+1=Sn十2， 由题意得0十a:=6则a1=2, {a2=a1+2,{a2=4. 当n≥2时，a+1-an=(S十2)-(Sn-1十2)=an,解得 an+1=2a. 又a,=2a1,所以数列{a,}是首项为2，公比为2的等比 数列，所以数列{am}的通项公式为a,=2”. 6.=1og:a.·log:a1-1oge2·log:2T 11 n(n+1)nn+1' T.=T 1 1 ”n+7=1- 1 +1, ,-=>品>所以+1< 1 10,即n<9.又n∈N',所以n的最大值为8. 选②：S,=2an-a1,且a1a2十1，a成等差数列. 由题意得当n≥2时，S,一Sw-1=2a,-2aa-1, 解得an=2am-1· 又a1a2十1，a3成等差数列， 所以2(2a1+1)=4a1十a1,解得a1=2, 所以数列{am}的首项为2，公比为2的等比数列. 所以数列{am}的通项公式为an=2”, 1 b= log2am·l0g2au+1 log:2”·1og22"+7 1 1 n(n+1)nn+1 }人+1-+…+111 2 23 nn+l n+1 1,-11=>0即中>0所以+1< -1>1 10,即n<9,又n∈N',所以n的最大值为8. 选③：log(S,+2)=n+1, 由题意得S,+2=2+1,S=2+1-2, 当n≥2时，an=Sn-S。-1=2+1-2”=2", 当n=1时，a1=S1=2,综上，an=2” 1 1 h=1og:a,·1og:a+1-10g2·1og22T 1 1 1 n(n+1)-nn+1' ①=71+…+11 23 n+1 1T.-1|= -1 1 1 n+1 >0脚>品所以n+1< 10,即n<9.又n∈N'.所以n的最大值为8. 跟踪训练 解：(1)设递增等比数列{am}的公比为q,则q>0. 因为a1十a2=6,ag十a,=24, 所以g=4十=24=4， a1十a26 所以g=2. 所以a1十2a1=6,解得a1=2, 所以a,=2×2"-1=2”, a (2)因为a,=2,b.=(a-1)(a+1-I 2 =(2+1-1)-(2”-1) 所以6.=(2°-1)(21-1D(2”-1)(21-1) 1 2”-12"+1-11 ·3 参考答案 §=6+6+…+6=(2马2）+ (马2)++(2)=12 考点四 [典例][解](1)因为2S.=nan, 当n=1时，2a1=a1,即a1=0; 当n=3时，2(1十a3)=3a3,即a3=2, 当n≥3时，2S。-1=(n-1)aw-1, 所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)am-1=2am, 化商得：(m-2a,=(m-1a1当n≥3时兰一之 ==2=1,即a=n-1 当n=1,2,3时都满足上式， 所以an=n-1(n∈N'). 2因为”会所以工=1×（合）广+2×（台）十 2” 3×(合）+…+nx(合)： =1x(侵)+2×（号）+…+m-1)×(号)】 +x(2)）· 两式相减得， x=(位)+（份）+()扩'++（位）-x 传1 1-2 =1-（+受)（合）： 即T.=2-2+m(侵)neN, 跟踪训练 解：(1)由a+1-a,=1得公差d=1, 又因为a1+a2十a+a:+a=15, 得5a+a2-15→5(a+a+4d=15. 2 2 化简得5(2a,十-15，解得a1=1, 2 所以an=a1十(n-1)d=n. 由4b2,2b,b,成等差数列，得2·2b=4b2十b,, 由bn是等比数列， 设bn=b1·g”1代入2·2b=4b2+b, 得2·2b1·g=4b1·q十b1·q,消去b1·q, 得4q=4十g2,化简并解得q=2, bn=b1·q”1=2. (2)由()得c.=·2+n- T=22+8 k14k2-1' 第一部分为2k·2, k=1 令S=2k·2, k=1 2S.=2k2+1=宽(k-1D2*, k= 两式相减； 8-25=2:2-岂4-1w2 -S。=1·2+2[k-(k-1)门·2-n·2+1-S k=2 =2+22-1·2+1, k=2 艺考生文化课百日冲关·数学 g=(八2)21- 10 -S。=2+(2+1-4)-n·2+1, -Sn=(1-n)·2+1-2, Sn=(n-1)·2"+1+2, 第二部分利用裂项求和： 1 1 1462二1=之1(2-1)(26+1) =21 名2(2k-1一2k+1) 1 合并：T。=(m-1)·21+2+2m十 n (3)由题可知新数列d。中，b+1前有1十2十2+…十 21十k项， 令k=7,得b前有1+2+2十…十2+7=134项， 令k=8,得b前有1+2+22+…+2+8=263项， d1恰好位于bg与b之间，所以前211项中包含b,的前 八项， 剩下的全是am中的项，211一8=203，即a的前203项， P21=b1+b2+…+bg十a1十a2+…+a2o3, =2+4+…+28+1+2+…+203, =2°-2+1+203)×203 =510+20706 =21216. 第六章 第1节 夯实·必备知识必备知识 3.斜二测(1)45°（或135°）垂直(2)平行于不变 原来的一半 思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.B2.C3.C4.①②④5.③⑤ 跃升·关键能力考点一 1.B[A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩 形，可证明∠PAB,∠PCB都是直角，这样四个侧面都是 直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧 棱必相交于同一点.] 图1 图2 图3 2.D[A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠 放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三 棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形或是直 角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何 体都不是圆锥： 图1 图2 C错误，若六棱雏的所有棱长都相等，则底面多边形是正 六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必 然要大于底面边长：根据圆锥母线的定义，D正确.] 3,解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是 平行四边形，但不一定全等：②正确，若三棱锥的三条侧 棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是 ·3 直二面角：③正确，因为两个过相对 侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂 直于底面：④正确，如图，正方体AC 中的三棱锥C1一ABC,四个面都是直 角三角形. 答案：②③④ 考点二 1.B[将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”“东”分 别指向上面、东面，则标记“△”的为北面.门 跟踪训练 C[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以 折叠围成正方体即可.] 2解折：S信=号AB·h=6, :h∈[2w5], ∴SAAx∈[2，W5]. 答案：[2W5] 跟踪训练 解析：将正三棱柱ABC A,B,C,沿侧棱展开，再拼接一 次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个 矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求 距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽 等于5，由勾股定理d=√12+5=13. 答案：13 考点三 [典例][解析]D[如图所示为原图形和其直观图. y C A OB AODB 由图可如，B=AB=a,0C=号00-5。 4a, 在图中作CD'⊥A'B于D',则CD'=OC 6 F8a,∴S△Agc= AgcD'= xax5。 √6 = 169 故选D.] 互动探究 解析：建立如图所示的坐标系xOy', △A'B'C'的顶点C'在y'轴上，A'B边 在x轴上，OC为△ABC的高.把y轴 绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C 变为点C,且OC=2OC',A、B,点即为 A′、B点，长度不变 O A(A)B(B)主 已知A'B'=A'C'=a,在△OA'C'中， 由正弦定理得 OC A'C in∠OAC=sin45' sin i5a-v 所以OC'=sin120° a, 所以原三角形ABC的高OC=√6a, 所以SAAx=2 ×axa=5e 答案。 跟踪训练 C[解法一：依题意可知∠BAD=45°，则原平面图形为直 角梯形，上下底面的长与BC,AD相等，高为梯形ABCD的 高的2√2倍，所以原平面图形的面积为8cm,故选C. 解法二：依题意可知，S观国=2√2cm,故S原霉彩= 2√2S支见m=8cm.故选C.] 8艺考生文化课百日冲关·数学 /题后反思1 [跟踪训练] 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略 1.在各项均为正数的等比数列{am}中，(a1十a3) 题型 求解策略 （a5十a7)=4a,则下列结论中正确的是() 在解决等比数列的有关问题时， A.数列{an}是递增数列 利用性质“若m十n=p十q,则am B.数列{an}是递减数列 求基本 ·am=ap·ag”可以减少运算量， 量的值 提高解题速度.要注意性质成立 C.数列{an}是常数列 的前提条件，有时需要进行适当 D.数列{am有可能是递增数列也有可能是递减 变形.此外，解题时注意设而不求 数列 思想的运用 2.已知数列{a,}的前n项和为Sn,且am=2n-6,则 确定 利用数列相邻两项的大小关系或 满足S,m>a1·a2…am的最大正整数n的值为 单调性 求出公比，从而判断单调性 ( 求最大（小）根据题目条件，认真分析，确定首项与 值或比 A.10 B.11 公比，发现具体的变化特征，利用等比 C.12 D.13 较大小 数列的单调性或基本不等式求解 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关三十 第4节 数列求和 课程标准 核心素养 考情聚焦 本节主要考查：(1)等差数列 1.公式法求和，达成数学抽象和数学运算素养. 和等比数列的求和.(2)使用裂项 1.熟练掌握等差、等比 2.分组转化法求和，发展逻辑推理和数学运算法、错位相减法求和.(3)根据周期 数列的前n项和 素养 性、奇偶数项的不同的分组求和. 公式. 3.裂项相消法求和，提升逻辑推理和数学运算一般以数列的基本问题为先导，在 2.掌握非等差数列、非 素养。 解决数列基本问题后考查数列求 等比数列求和的几 4.错位相减法求和，增强逻辑推理和数学运算和，在求和后有时与不等式、函数、 种常见方法 素养 最值等问题综合.以解答题为主， 难度中等或稍难 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] (2)分组转化法 求数列的前n项和的方法 把数列适当拆分，分为几个等差、等比数列，先 (1)公式法 分别求和，然后再合并，形如： ①等差数列的前n项和公式 ①{an士bm},其中{an}是等差数列，{bn}是等比 S,= 数列； ②等比数列的前n项和公式 f(n),n=2k-1, (1)当q=1时，Sm= ②an (g(n),n=2k(k∈N*). (i)当q≠1时，Sm= ·98. 上篇：第五章数列 (3)裂项相消法 [自主诊断] 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消，剩 [思考辨析 下首尾若干项.常见的裂项公式： 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 ① 1 11 里打“/”，错误的打“X” n(n+1) nn+ (1)如果数列{am}为等比数列，且公比不等于1， 则其前n项和S,=a1二am+1 1-9 1了 2)当2时(。 ④ 1 (n+1)(n+2) (3)求S,=a+2a2+3a3+…+na”之和时只要 xD FD 把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减 法求得 ( ⑤ n+√n十k 右W+及-n: (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和 ⑥设等差数列{an}的公差为d, 法，利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+ 则1 1(1-1 …+sin288°+sin289°=44.5. anant1 d an an+1 (5)若Sm=1-2+3-4+…+(-1)”-1·n,则 (4)倒序相加法 S50=-25. () 把数列的前项分别正着写和倒着写再相加求 [小题查验] 和，即等差数列求和公式的推导过程的推广. 1.等差数列a,冲，已知公差d号且a十ag十…十 (5)错位相减法 a99=50,则a2十a4十…十a10o= ( 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项 A.50 B.75 C.100 D.125 相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式 2设首项为1，公比为号的等比数列a,》的前n项 的推导过程的推广形如：a,·6,份}其中 和为S,则 {an}是等差数列，{bn}是等比数列. A.Sn=2an-1 B.S=3an-2 (6)并项求和法 C.S=4-3an D.S,=3-2am 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称 3.已知等差数列{amn}的前n项和为Sm,a5=5,S=15, 之为并项求和.形如am=(一1)”f(n)类型，可采用 则数列 1 的前100项和为 anan+1 两项合并求解.例如，S,=1002-992十982一972+ 100 …+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1) A.101 99 B.01 C99 100 D101 100 =5050. 4.(人教A版较材习题改编)数列1号3,5 重要结论 …，(2m-1)+女…的前n项和S,的值等 7 1 -些常见数列的前n项和公式 于 1)1+2+3+4+…+n=nn十1 5.设{aw}是公差为d的等差数列，{bm}是公比为g 2 的等比数列.已知数列{am十bn}的前n项和S,n= (2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2; n2-n+2"-1(n∈N*),则d+g的值是 (3)2+4+6+…+2n=n2+n. ·99· 艺考生文化课百日冲关·数学 ☐跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 公式法求和（自主练透） [题组集训] (2)设b,=log2an,求数列{bm}的前n项和。 1.等差数列{am}的公差为2，若a2,a4,ag成等比数 列，则{an}的前n项和Sn= ( A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1) D.n(n-1) 2 2 2.将数列{2n一1}与{3n一2}的公共项从小到大排 列得到数列{am},则{am}的前n项和为 /题后反思/ 3.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2,a3 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通 =2a2+16. 项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比 (1)求{am}的通项公式： 或可求数列前n项和的数列来求之， 考点二 分组转化法求和（师生共研） [典例们定义：设某数列的前n项和为5。，若 n (3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个 可求和的新数列的和或差，从而求得原数列 为常数(n∈N*),则称此数列为“吉祥数列”.已 的和，这就要通过对数列通项结构特点进行 知等差数列{an}的首项为1，公差不为0，且数列 分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别 注意在含有字母的数列中对字母的讨论 {am}为“吉祥数列”；非零数列{b.}满足b1=2,b2 [跟踪训练 =4,且b%+1=bnbm+2, 已知数列{am},{bw}满足a2m-1=b2-1十12m, (1)求数列{an},{bn}的通项公式： a2m=mb2,m为常数，若{an}为等差数列，且b4 (2)令cn=an十bn,求数列{cm}的前n项和Tn -b2=2(b3-b1)=2(a1+b1)=8. (1)求m的值及{an}的通项公式； [尝试解答] (2)求{bn}的前2n项和S2m· 1方法指导/ 分组转化法求和的常见类型 (1)若a=bn士cn,且{bn},{cn}为等差或等比数 列，可采用分组求和法求{a}的前n项和； b,n为奇数， (2)通项公式为am 的数列，其 (cn,n为偶数 中数列{bn},{c}是等比数列或等差数列， 可采用分组求和法求和； ·100· 上篇：第五章数列 考点三裂项相消法求和（师生共研） [典例]在①S2=6,a,+1=Sm+2;②S=2am一 (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂 a1,且a1,a2+1,a3成等差数列；③log2(Sn+2) 开的两项之差和系数之积与原通项相等，如：若 =n+1这三个条件中任选一个，补充在下面的 (an}是等差数列，则 1 问题中。 anan+1 设数列{am}的前n项和为Sn,已知 1 ,6n 11 1 anan+2 2d八aman+2 一，Tm是数列{b}的前n项 1og2am·log2am+ [跟踪训练 和，问是否存在，使得1工，一1>。成立？若存 已知递增等比数列{an}中，a1十a2=6,a3十a4= 在，求出n的最大值；若不存在，请说明理由 24,设bm= an (am-1)(a+1-1)1 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答 (1)求{am}的通项公式； 计分 (2)求{bn}的前n项和Sn. [尝试解答 [拓展提高]利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也 有可能前面剩两项，后面也剩两项； 考点四 错位相减法求和（师生共研） [典例]已知数列{am}中，a2=1,设Sm为{am}前n [跟踪训练] 项和，2S,m=nan 已知数列{an}是等差数列，a+1一am=1,其前5 (1)求{an}的通项公式： 项和为15；数列{bm}是等比数列，且b1=2,4b2, (2求数列十的前n项和T 2b3,b4成等差数列. 2n (1)求{am}和{bn}的通项公式： [尝试解答 (2)设cm=an·bn十 4(an)2一1'求数列的前n项 和Tn. (3)若将数列{am}中的所有项按原顺序依次插入 数列{bn}中，组成一个新数列：b1,a1,b2,a2,a3, b3,a4,a5,a6,a7,b4,…,b与bk+1之间插入2- 项{a,}中的项，该新数列记作数列{d,},求数列 {d,}的前211项的和P211 /规律总结/ (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bm}是 等比数列，求数列{am·b,}的前n项和时， 可采用错位相减法求和，一般是和式两边同 乘以等比数列{b}的公比，然后作差求解； (2)在写出“S”与“qSm”的表达式时应特别注意将 两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S,一 c温馨提西 gSn”的表达式. 学习至此，请完成配套训练课时冲关三十一 101