第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

上篇：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的 概念及其物理意义，会计算平面向量的数1.平面向量数量积的 高考中有关平面向量的数 量积 运算，达成数学抽象 量积运算包含三类问题：①利用 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及 和数学运算素养 坐标计算平面向量的数量积；② 投影向量的意义. 根据平面向量的数量积的定义 2.利用数量积求向量 计算几何图形中相关向量的数 3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个 夹角和模，提升逻辑 推理和数学运算 量积；③根据数量积求参数值. 平面向量的夹角. 4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能 素养. 数量积的运算、投影、模与夹角 用坐标表示平面向量垂直的条件， 3.平面向量的垂直及 是高考的热点，有时与三角函 5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学 应用，增强逻辑推理 数、平面几何、解析几何等结合 问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学 和数学运算素养 考查，题型多以选择题、填空题 为主，属于中档题，难度中等 和实际问题中的作用 1夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 3.平面向量数量积的性质及其坐标运算 1.向量的夹角及范围 B 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2y2),0为向 b 已知两个非零向量a和b,作OA= 量a、b的夹角， a,OB=b,如图所示，则∠AOB一20 向量表示 坐标表示 叫做向量a与b的夹角.设0是向量a与b的夹 数量积 a·b=|al|bcos0 a·b= 角，则0的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角0= 模 |a= a= 0;a与b反向时，夹角0=π. 2.平面向量的数量积及投影向量 夹角 cos 0=- a·b cos 0= (1)平面向量的数量积 ab 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则 a⊥b的 向量a与b的数量积是数量a|b·cos0,记作a 充要条件 a·b=0 x1x2十y1y2= ·b,即a·b=|a||b|cos0.它的几何意义：数 量积a·b等于a的长度|a与b在a的方向上 a·b与 a·b≤a|b |x1x2+y13y2≤ 的投影数量|b·cos0的乘积. |al|b的 (当且仅当a∥b 关系 时等号成立) √x+y·x+y呢 (2)投影向量 如图1，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD 4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数入，则 b,我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点 (1)交换律：a·b=b·a; B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1, (2)结合律：(a)·b=入(a·b)=a·(b): (3)分配律：(a+b)·c=a·c+b·c. B1,得到A1B1,我们称上述变换为向量a向向 重要结论 利用公式la2=a2,将模的运算转化 量b投影(project),A1B1叫做向量a在向量b 上的投影向量 为向量的数量积的运算。 [自主诊断 [思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“×” (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而 bM N B.D 不是向量 (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、 (1) (2) 减、数乘运算的运算结果是向量. 如图(2)，我们可以在平面内任取一点O,作OM= (3)由a·b=0可得a=0或b=0. a,ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1, (4)(a·b)c=a(b·c). 则OM就是向量a在向量b上的投影向量. (5)两个向量的夹角的范围是[0，]。 ( ·83· 艺考生文化课百日冲关·数学 [小题查验] 3.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 1.(2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1), EC·ED= ( ) b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= A.√5 B.3 C.2√5 D.5 4.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b A.-2 B.-1 C.1 D.2 (x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a= 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a+b=1, 5.(2025·天津卷)△ABC中，D为AB边中点，CE a-b=√3，则a·b= ( ) = 3C元，AB=a,AC-b,则A正 (用 A.2 C.-3 D.一2 a,b表示)；若|AE|=5,AE⊥CB,则AE·CD= 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 平面向量的数量积运算（自主练透） [题组集训] /技巧点拨/ 1.(2024·北京卷)已知向量a,b,则“(a十b)·(a一b) 向量数量积的两种运算方法 =0”是“a=一b或a=b”的 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求 解，即a·b=1a|Iblcos(a,b). A.充分不必要条件 (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即 B.必要不充分条件 若a=(x1y1),b=(x22),则a·b=01x2 C.充要条件 +y12· D.既不充分也不必要条件 易错警示：(1)在向量数量积的运算中，由 2.已知向量a=(-2,3),b=(1,2),求a·b= a·b=a·c(a≠0)，不一定得到b=c. 3.设向量a,b的夹角的余弦值为子，且a=1,b (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数 量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c =3,则(2a十b)·b= 不一定等于a·(b·c). 考点二 利用数量积求向量夹角和模（多维探究） [命题角度1]平面向量的模 (2)求向量模的最值（范围）的方法：①代数法， 1.(1)已知向量a,b满足|a=1,b=√5，|a-2b 把所求的模表示成某个变量的函数，再用求 =3,则a·b= 最值的方法求解；②几何法（数形结合法）， A.-2 B.-1 C.1 D.2 弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表 示的图形求解 (2)已知a,b为平面向量，则“a,b不共线”是 [命题角度2] 平面向量的夹角 “|a|-|bl<|a-b|”的 A.充要条件 2.(1)已知向量BA= c-引则 B.必要不充分条件 ∠ABC= C.充分不必要条件 A.30° B.45° C.60° D.120° D.既不充分也不必要条件 (2)若两个单位向量a,b满足|2a一b=√3，则向 量a-b与2b-a的夹角为 /规律总结/ /方法指导/ 利用数量积求向量夹角和模 根据平面向量数量积的性质：若a,b为非零向 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|= a·a及(a士b)2=|a2士2a·b+|b2,把 量，8s9-日治（先角公式），可知平面向要 向量的模的运算转化为数量积运算；②几何 的数量积可以用来解决有关角度问题. 提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹 法，利用向量的几何意义，即利用向量加减 角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量 法的平行四边形法则或三角形法则作出向 的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线 量，再利用余弦定理等方法求解 时两向量的夹角为钝角 ·84 上篇：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点三 平面向量的垂直及应用 [题组集训] 3.在直角三角形ABC中，已知AB=(2,3),AC 1.（2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a=1, (1,k),则k的值为 1a+2b1=2,且(b-2a)⊥b,则|b1= A日 号 c号 /规律总结/ D.1 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条 2.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+b)⊥ 件是：a⊥b台a·b=0台a-bl=|a+bl. (a十b),则 A.入+=1 B.λ+4=-1 C温馨提 C.4=1 D.4=-1 学习至此，请完成配套训练课时冲关二十六 第4节 数系的扩充与复数的引人 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过方程的解，认识复数 1.复数的有关概念，达成数学抽 复数的有关概念及代数形 2.理解复数的代数表示法及其几何 象和数学运算素养。 式的运算是高考命题的热点之 意义，理解两个复数相等的含义.2.复数的几何意义，提升直观想 一，重点考查对复数概念的辨析、 3.掌握复数代数表示式的四则运 象和数学运算素养， 理解能力和复数四则运算的计 算，了解复数加、减运算的几何3.复数的四则运算，增强数学运 算、求解能力，题型一般为选择 意义 算素养 题，难度较小，属于低档题 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 续表 1.复数的有关概念 设OZ对应的复数 内容 意义 备注 为之=a十bi,则向 之|=|a+bi 复数的模 形如a+bi(a∈R, 若b=0,则a十 量OZ的长度叫做 复数的 b∈R)的数叫复 bi为实数；若a 复数之=a+bi 概念 数，其中实部为 =0且b≠0，则 的模 ,虚部为 a十bi为纯虚数 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一 a+bi=c+di台 一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O 复数相等 (a,b, 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 c,d∈R) )复数=a十i一对应复平面内的点 a+bi与c+di共 (a,b∈R). 共轭复数 轭台 (2)复数之=a十bi(a,b∈R)一对应平面向量OZ. (a,b,c,d∈R) 3.复数的运算 (1)运算法则：设1=a十bi,2=c十di,a,b,c,d∈R. 实轴上的点都表 建立平面直角坐标 /3±人(a+bi)±(c+d)= 系来表示复数的平 示实数；除了原 复平面 面叫做复平面， 点外，虚轴上的 z1·2人 (a+bi)(c+di)= 叫实轴， 点都表示纯虚 y轴叫虚轴 数，各象限内的 点都表示虚数 a+bi (c+di≠0) 85·艺考生文化课百日冲关·数学 选项C中，设6+6，=e,6,则公A无解， 1 选项D中，e,+36,=2(6e,+2e),所以两向量是共线 向量.] (2)[解析]由ED=EA+AD =-号ac+a0=-号ai+ B0+Ai-子Ad-号. 2 又ED=AAD十uAB,则入= 3= 3 1 故入十4=3 [答案]A 跟踪训练 CD[如图，因为，点D,E,F 分别是边BC,CA,AB的中 点，所以=0i=-号 BC,故A不正确；BE=BC+ B CE=Bc+2cA=Bc+合 或+)=成-吉配品-士店+号配故 B不正确：FC=AC-AF=AD+DC+FA=AD+BC +FA=AD+FE+FA=AD+FB+BE+FA=AD+ BE,故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以 G+G+G=号A+号+号0F=号xai+ 心+号x2Bi++号×+Ci-0 即GA十GB十GC=0,故D正确.] 考点二 1.A「由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为2√2≈ 2.828,等级上属于轻风，选A.] 2.解析：设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,则由AB =(1,5),DC=（-3-x,4-y), 得{，一3-x=1·所以=-4 14-y=5, {y=-1; 若平行四边形为ACBD,则由AC=(-7,2), DB=(5-x,7-),得x二。7，所以=12， ”17-y=2, 1y=5: 若平行四边形为ABDC,则由AB=(1,5), 得将a2 7y=9. 综上所述，第四个顶点D的坐标为（一4，一1）或(12,5) 或(-2,9). 答案：(-4，-1)或(12,5)或(-2,9) 考点三 [母题][解](1)由题意得(3,2)=m(一1,2)+n(4,1), 5 所以{。m十n。=3,得 m=9' 12m+n=2, 8 n=9 (2)a十c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3十4k)一（一5）×(2十k)=0. k=-16 3 [子题1]解：设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b= (2,4),由题意得4x-4)-2(-1D=0, 1(x-4)2+(y-1)2=5, ·3 得x=3,或{x=5, {y=-1{y=3. ∴.d=(3,-1)或d=(5,3). [子题2]解：m+b=(32-n,2m十2n),a-2b=(5,-2), 由题意得一2(3m一n)一5(2m+2n)=0. m=-2 1 [子题3]解：AB=(-4,0),AC=(1,-1), -4×(-1)-0×1≠0，.AB,AC不共线. A,B,C三点不共线. 第3节 夯实·必备知识必备知识 3.x1x2+y1y2√a·a/x1+y1 x1x2十y1y2 0 √x+y·√+ 思考辨析(1)/(2)√(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.D2.D3.B4.√25.1 a+号6-15 跃升·关键能力考点一 1.B[(a+b)·(a-b)=0,.a-b=0,.a=b2,则 |a=|b|,不能得到a=b或a=一b,充分性不成立；若a =b或a=一b,则(a十b)·(a-b)=0成立，必要性成 立.所以“(a十b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要 不充分条件.] 2.解析：a·b=一2×1十3×2=4. 答案：4 3解析：(2a+b).b=2ab+6=2X1X3×号+3=1. 答案：11 考点二 1.(1)C[由题设知，a-2b=3,得a2-4a·b+4b2=9, 代入a=1,b=√3，有4a·b=4,故a·b=1.] (2)C[充分性：若a,b不共线， 根据三角形的性质，可得|a一b <a一b,故充分性成立； 必要性：若a,b同向且a<|b, 则|a-|b1<0, 此时a一b=b||a>0, b 则|a一|b<|a一b成立，但此时a,b共线，故必要性不 成立， 则“a,b不共线”是“|a|一|b<|a一b”的充分不必要 条件，门 2.(1)A[IBA1=1,BC1=1,cos∠ABC=BA·BC BCI 9由BC[0180],得∠AK=30 (2)解析：因为a,b为单位向量，所以|a=b=1. |2a-b=V3两边平方，可得(2a-b)2=4|a2-4a·b+ 1b=3,解得a·b= 而a-bl=√/(a-b)'=√a2-2a·b+b √1-2×2+1=1， 12b-a=√(2b-a)'=√4b2-4a·b+1a ×12-4×3+1=, (a-b)·(2b-a)=3a·b-2b12-|al9 =3×分-2x12-1=-是. 设向量a一b与2b一a的夹角为9,0∈L0,π， 2 3 则cos日=（a-b)·(2b-a) 、2 a-b·12b-a1×√3 一9所以0 =5π 6 向量a-b与2b-a的夫角为票 答案： 考点三 1.B「将条件|a十2b=2平方得1+4a·b+4b2=4,由(b 2016,释6-2ab=0.所以=合61-盟] 2.D[(a+b)·(a+b)=a2+(入+a)(a·b)+b2= 2(1+入)=0，所以μ=-1.] 3.解析：①当A=90°时， ABLAC,∴.AB·AC=0. 2X1+3k=0,解得k=-吕】 3 ②当B=90°时，AB⊥BC, 又BC=AC-AB=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), .AB·BC=2X(-1)+3×(k-3)=0, 解得=号 ③当C=90°时， :AC⊥BC,.1×(-1)+(k-3)=0, 即k-3k-1=0.k=3±3 2 答案：一号或号或吐 31 2 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.aba=c且b=da=c且b=-dx轴√a2+b 2.(1)Z(a,b)3.(atc)+(b+d)i (ac-bd)+(bc+ad)i ac+bd bc-ad. c+dc+d 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)/(5)× 小题查验 1.A2.B3.A4号+i5.而 跃升·关键能力考点一 1.C[由(1+5i)i=-5+i,即知虚部为1，选C.] 2.C[因为1=2+i,=1-3i,所以十之=2+i+1-3i =(2十1)十(1一3)i=3一2i,则11十|=|3一2i= √32+(-2)=√13.] 3.B[先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出，由 1·十2=21可得，：=二2+21=2十21，所以1：= 1 √2+2=2√2.] 4.C[依题意，2=21+(a-2)1=(a-2)-21,由：为纯虚 数，得a一2=0，所以a=2.] 考点二 1AE-景g+g8-1号=吉+昌故 51 复平面内对应的点在第一象限。」 2D[:=法8-=1+i,所以复数 对应的点为(1,1)，因为复数名对应的点与复数之2对 应的点关于实轴对称，所以复数心1对应的点为(1，一1)， 所以必1=1一i. ·3 参考答案 3.AC[设之=x+yi(x,y∈R),则|x-1+(y+1)i= |x十yi,所以√(x-1)+(y十1)=√x2+y,整理得 x一y一1=0，故A项正确，B项错误；由前面知之对应点 的轨迹为直线x一y一1=0，则x的最小值为原点到该直线 9成C项运D 的距离d,则d一1山 4.解析：由条件得OC=(3,一4)，OA=(-1,2), 0B=(1,-1), 根据OC=入OA+OB,得(3，-4)=A(-1,2)+ (1,-1)=(-入十，2入-4)， {623i解得公-2+=1 {2λ-u=-4, 答案：1 考点三 1.ACD[由之=3十2i,得=3-2i,A正确；|x|= √32+2=√13≠5，B错误；2=(3+2i)2=9+12i-4 =5+12i,C正确，+3=6+21=6+2)3-卫=2∈R, ”g-i3+i 10 D正确.] 2+i ,2+i=i2+D 2.B[由题意可得之=1十十=-1中 2i-1=1-2i,则=1+2i.] -1 3.AD[设复数=a十bi,(a,b∈R), 可得x2=a-b2+2abi, 因为复数之满足=1正，可得=1了 则a2-b十2abi=a+bi-1, 可得a2-b=a-1且2ab=b, 由2a6=6时，可得a=2或b=0: 当a=专时，可得6=士汽此时=方士停。 当b=0时，方程a-a十1=0，无解； 对于A中：当=子+号可得：合9可得=： 当=合可件。=合+9，可件=1，所以A 正确； 对于B中，当+号可得=-古+9且 2 合-停别，所以B不正确： 对子C中，当=合+号可得=日-得可得十 =1,所以C不正确； 对于D中，=+可得=9可得- 2 =√3i,则|x-=3; 当=可得=+可得-=-则 |x一=√3，所以D正确.] 4.解析：|3+i2=9++6i=8+6i. 答案：8十6i 第五章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)一定顺序项(2)正整数集N"(或它的有限子集) (3)列表法图象法通项公式法2.有限无限>< 3.(1)序号nan=f(n)4.S1S.-Sm-1 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)/(5)√(6)/ 小题查验