1.5 空间向量与立体几何 全章复习与巩固-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固 1.空间向量的基本运算： 运算类型 几何方法 运算性质 向 量 的 加 法 1平行四边形法则： 加法交换率： 加法结合率： 2三角形法则： 向 量 的 减 法 三角形法则： 向 量 的 乘 法 是一个向量，满足： >0时， 与 同向； <0时， 与 异向； =0时， =0 ∥ 向 量 的 数 量 积 1． 是一个数： ； 2． ， 或 EMBED Equation.DSMT4 =0． 2.用向量方法讨论垂直与平行 图示 向量证明方法 线线平行 （ // ） // （ 分别为直线 的方向向量） 线线垂直 （ ） （ 分别为直线 的方向向量） 线面平行 （ // ） ，即 （ 是直线的方向向量， 是平面的法向量）． 线面垂直 （ ） // （ 是直线的方向向量， 是平面的法向量） 面面平行 （ // ） （ 分别是平面，的法向量） 面面垂直 （ ） ，即 （ ， 分别是平面，的法向量） 2.用向量方法求角 图示 向量证明方法 异面直线所成的角 （ ， 是直线 上不同的两点， ， 是直线 上不同的两点） 直线和平面的夹角 （其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为） 二面角 （平面 与 的法向量分别为 和 ，平面 与 的夹角为 ） 要点诠释： ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。 ②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。 3.用向量方法求距离 图示 向量证明方法 点到平面的距离 （ 为平面 的法向量） 与平面平行的直线到平面的距离 （ 是平面 的公共法向量） 两平行平面间的距离 （ 是平面 ， 的一个公共法向量） 【典型例题】 类型一：空间向量的概念及运算 例1． 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点． 若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 【变式1】在四边形 中， ＝ ，且 · ＝0，则四边形 是（ ） A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】B 类型二：空间向量的直角坐标运算 例2．已知空间三点 ， ， ．设 ， ． （1）求 ； （2）求 和 的夹角 的余弦值； （2）若向量 + 与 － 互相垂直，求 的值． 【解析】∵ ， ， ， ∴ =(1，1，0)， =（－1，0，2）． （1） ， ，∴ ． （2） EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，∴ 和 的夹角的余弦值为 ． (2) + =（ ， ，0）+（－1，0，2）＝（ －1， ，2）， － =（ +2， ，－4）， ∵( + )⊥（ －2 ）， ∴( + ) （ －2 ）=（ －1， ，2）·（ +2， ，－4） ∴ 或 ． 举一反三： 【变式1】已知 三点坐标分别为 ，求点 坐标使得 = 【答案】 【变式2】已知向量 ， ，若 ， ⊥ ，则 的值是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A　由题意可知 解得 或 【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】B 由题意知，过点A的棱两两垂直，设 ， ， ， 则 ， 故∠CBD为锐角． 同理，∠BCD、∠CDB均为锐角， 所以△BCD为锐角三角形 类型三：共线和共面向量定理的应用 例3．已知平行四边形 ，从平面 外一点 引向量 ， ， ， ． 求证： （1）四点 共面； （2）平面 //平面 ． 【证明】（1） ， ∵ ，由共线向量定理可知，点 共面． （2） ， ∴EF∥AB， 又∵ EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ∴ ∥平面 ． 同理 ∥平面 ， ∵ ， ∴平面 //平面 ． 举一反三： 【变式1】已知 ， ，且 不共面． 若 ，求 的值． 【答案】 由题意列等式： ，解得 【变式2】下列各组向量共面的是（　　） A． =(1，0，-1)， =(1