第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解平面向量基本定理及其1.平面向量的基本定理的应 高考对平面向量的基本定理与坐 意义 用，发展直观想象和数学运 标运算的考查主要有以下几方面： 2.借助平面直角坐标系，掌握平面 算素养 ①平面向量基本定理及其意义；②用 向量的正交分解及坐标表示. 2.平面向量的坐标运算，提 坐标表示平面向量的加法、减法与数 3.会用坐标表示平面向量的加、减 升数学运算素养， 乘运算；③用坐标表示平面向量共线 运算与数乘运算。 3.平面向量共线的坐标表 的条件.对用坐标表示平面向量共线 4.能用坐标表示平面向量共线的 示，增强数学抽象和数学 的条件的考查是比较突出的.考查的 条件 运算素养 形式以选择题、填空题为主，难度中等 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 1.平面向量的基本定理 1.若a与b不共线，a十b=0,则入=μ=0 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量， 2.已知OA=AOB+uOC(入，为常数)，则A,B,C 那么对于这一平面内的任意向量a, 三点共线的充要条件是入十=1.以上三个条件 对实数入1，入2，使a= 任取两两组合，都可以得出第三个条件且入十 其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内 =1常被当作隐含条件运用， 所有向量的一组 3.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量 2.平面向量的正交分解 基底可以有无穷多组 把一个向量分解为两个 的向量，叫 [自主诊断] 做把向量正交分解. [思考辨析] 3.平面向量的坐标运算 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 里打“/”，错误的打“X” 设a=(1y1),b=(x2y2),则a十b (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组 a-b= ,入a 基底 ) lal= (2)在△ABC中，向量AB,BC的夹角为∠ABC. (2)向量坐标的求法 ( ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向 (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的. 量的坐标。 ( ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB (4)若a=(x1y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要 IABI= 条件可表示收号-号 ) 4.平面向量共线的坐标表示 (5)若a,b不共线，且入1a十b=2a十2b,则 设a=(x1y),b=(x2y2),则a∥b曰 入1=入2山=42： ·80 上篇：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 [小题查验] 3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA,记 1.已知向量a=(2,4),b=(一1,1)，则2a+b= CA=m,CD=n,则CB= ( ( A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n A.(5,7) B.(5,9) 4.在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线 C.(3,7) D.(3,9) 段AD的中点，若存在实数入和4，使得BM= 2.(2026·全国I卷)已知平面向量a,b不共线，且 入AB+4AC,则λ十：= 2a十yb=xa一3b,则 ( ) A.2 B.2 B.x=-2,y=3 c.- D.-2 A.x=2,y=-3 5.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b, C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 则m= 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一平面向量基本定理的应用（师生共研） [典例](I)如果e1,e2是平面&内一组不共线的 /规律总结/ 向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向 有向量的一组基底的是 量的加、减或数乘运算. A.e1与e1+e2 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选 B.e1-2e2与e1+2e2 择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示 C.e1十e2与e1-e2 成向量的形式，再通过向量的运算来解决. D.e1+3e2与6e2+2e1 [跟踪训练] (2)在平行四边形ABCD中，点E在线段AC (多选题)在△ABC中，D,E,F分别是边BC, 上，且AE=号AC.若ED=AAD+以AB,其中X, CA,AB的中点，AD,BE,CF交于点G,则 ∈R,则入十= A.-号 B.-2 3 B.BE=- c号 C.AD+BE=FC [尝试解答](1) (2) D.GA+GB+GC-0 考点二平面向量的坐标运算（自主练透） [题组集训] 如图2（线段长度代表速度大小，单位：m/s),则该 1.(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风 时刻的真风为 ( ) 力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海 等级 名称 风速大小（单位：m/s) 学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风 轻风 1.6～3.3 风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其 中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相 3 微风 3.4~5.4 等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与 4 和风 5.57.9 风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时 5 劲风 8.0≈10.7 刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量 图1 ·81 艺考生文化课百日冲关·数学 视风凤速 /技巧点拨/ 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数 船速 2 乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线 图2 段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同 2.已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5, 这一原则，通过列方程（组）来进行求解. 7),C(一3,4)，则第四个顶点D的坐标是 考点三平面向量共线的坐标表示（子母变式） [母题]平面内给定三个向量a=(3,2),b= [子题2]在本例条件下，若a+b与a一2b共 (-1,2),c=(4,1). 线，求的值. (1)求满足a=mb+c的实数m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k. [子题3]若本例条件变为：已知A(3,2),B(-1,2), C(4,1),判断A,B,C三点能否共线. [子题1]在本例条件下，若d满足(d-c)∥(a+ b),且|d-cl=√5，求d. 规律总结引 1.向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2):①a∥b→a=b (b≠0)；②a∥b曰x1y2-x2y1=0.至于使用 哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情 况涉及坐标的应用② 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线（平行），可解决三点共 线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件 可以列出方程（组），求出未知数的值。 C温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关二十五 ·82·(2)因为cosB三三，且B∈(0，x),所以sinB月 g=互.由△ABC的面积公式：S √/1-cosB√1-i6=4 2 acsin B、】 1 2acx 4 →ac=2, 根据正孩定理，设外接圃直径为2R,则sinA=元，sinC 2录sinB=2录， 2×6 7 由光可得：in Asin C=s0B代入教字：五=6， 62 整理b=2,解得b=√2， 在△ABC中，利用余弦定理b=a+-2 accos B, 得2=a+e-2×2×,即a2+c2=5, 因此(a+c)2=a+2+2ac=5+4=9,所以a+c=3, 所以，△ABC的周长为：a+b+c=3+√2. 第四章第1节 夯实·必备知识必备知识 1.方向向量的长度（或称模）任意的01个单位 相同相反平行相等相同相等相反2.b十ā a+(b+c)入a相同相反03.b=λa 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)、/(5)X(6)X (7)/ 小题查验 1.C2.C3.A4,1)AB(205.S 跃升·关键能力考点一 1.C[①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终 ,点：②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能 比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小； ③错误.当a=0时，不论入为何值，λa=0; ④错误.当入=以=0时，a=h,此时a与b可以是任 意向量，门 2.解析：①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不 一定相同， ②正确.AB=DC,∴.|AB引=|DCI且AB∥DC, 又，A,B,C,D是不共线的四点， .四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则AB∥DC且|AB引=|DCI, 因此，AB=DC.故“AB=DC”是“四边形ABCD为平行 四边形”的充要条件. ③正确.a=b,∴a,b的长度相等且方向相同： 又b=c,b,c的长度相等且方向相同， ∴a,c的长度相等且方向相同，故a=c. ④不正确.当a∥b且方向相反时，即使a=|b,也不能 得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条 件，而是必要不充分条件， 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③ 考点二 [典例](I)A[E店+F元-(AB+CB)+多(AC+ B0)=子店+AG=A成.] (2)[解析]D正=D店+BE=号A店+号C=2AB+ 号+0)=-日店+号心，所以A=-日， 人=号，即入+= [答案]之 1 ·3 参考答案 互动探究 解析：CD=CA+AD.CD=CB+BD. ..2 CD=CA+CB+AD+BD. 又：AD=2DB, 2i-i+c店+a访 -CA+i+gc-C)=号cA+台c成. 答案：号 跟踪训练 1.B[由MA+MB+MC=0,易得M是△ABC的重心，且 重心M分中线AE的比为AM:ME=2:1,∴.AB+AC =2AE=m·AM=2m.AE.2=2.m=3.] 3 3 2.解析：因为点E,F满足AE=B,C下=2F, 所以EF=xA店+yAC=EA+AF=之BA+子AC =+C所以=子=子 答案：-日 考点三 [母题][解析]，AB=e十e2,BC=2e1-3e, ..AC=AB+BC=3e-2e:. A,C,F三点共线， AC∥AF,从而存在实数入，使得AC=入AF. ∴.3e,-2e,=3λe1-λke,, 又e1e2是不共线的非零向量， 3-3, 因此k=2. )-2=一λk, [答案]2 [子题1]解析：，e1十e2与e1十ke:共线， ∴.存在实数入，使ke1十e2=A(e1十ke,), 即e,十e,=e,十Ae负二：解得=士1. {1=λk, 答案：士1 [子题2]证明：AB=e1-e2,BC=3e1+2e2, .AC=AB+BC=4e+e::CD=-8e-2e: ∴.CD=-2AC,.AC与CD共线. 又AC与CD有公共点C,∴A,C,D三点共线， 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.不共线有且只有入1e1+入e2基底2.互相垂直 3.(1)(x1+2M十2）(x1-x2'y-2）(x1,y） √+y(2)(2-x1y一y）√(x-x)+y一y 4.x1y2-x2y1=0 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√ 小题查验 1.D2.A3.B4.C5.5 跃升·关键能力考点一 [典例](1)D[选项A中，设e1+e2=e1,则 1=入无解； 1=0,1 选项B中，设6-20A0十26，别22以，无解： 艺考生文化课百日冲关·数学 选项C中，设6+6，=e,6,则公A无解， 1 选项D中，e,+36,=2(6e,+2e),所以两向量是共线 向量.] (2)[解析]由ED=EA+AD =-号ac+a0=-号ai+ B0+Ai-子Ad-号. 2 又ED=AAD十uAB,则入= 3= 3 1 故入十4=3 [答案]A 跟踪训练 CD[如图，因为，点D,E,F 分别是边BC,CA,AB的中 点，所以=0i=-号 BC,故A不正确；BE=BC+ B CE=Bc+2cA=Bc+合 或+)=成-吉配品-士店+号配故 B不正确：FC=AC-AF=AD+DC+FA=AD+BC +FA=AD+FE+FA=AD+FB+BE+FA=AD+ BE,故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以 G+G+G=号A+号+号0F=号xai+ 心+号x2Bi++号×+Ci-0 即GA十GB十GC=0,故D正确.] 考点二 1.A「由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为2√2≈ 2.828,等级上属于轻风，选A.] 2.解析：设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,则由AB =(1,5),DC=（-3-x,4-y), 得{，一3-x=1·所以=-4 14-y=5, {y=-1; 若平行四边形为ACBD,则由AC=(-7,2), DB=(5-x,7-),得x二。7，所以=12， ”17-y=2, 1y=5: 若平行四边形为ABDC,则由AB=(1,5), 得将a2 7y=9. 综上所述，第四个顶点D的坐标为（一4，一1）或(12,5) 或(-2,9). 答案：(-4，-1)或(12,5)或(-2,9) 考点三 [母题][解](1)由题意得(3,2)=m(一1,2)+n(4,1), 5 所以{。m十n。=3,得 m=9' 12m+n=2, 8 n=9 (2)a十c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3十4k)一（一5）×(2十k)=0. k=-16 3 [子题1]解：设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b= (2,4),由题意得4x-4)-2(-1D=0, 1(x-4)2+(y-1)2=5, ·3 得x=3,或{x=5, {y=-1{y=3. ∴.d=(3,-1)或d=(5,3). [子题2]解：m+b=(32-n,2m十2n),a-2b=(5,-2), 由题意得一2(3m一n)一5(2m+2n)=0. m=-2 1 [子题3]解：AB=(-4,0),AC=(1,-1), -4×(-1)-0×1≠0，.AB,AC不共线. A,B,C三点不共线. 第3节 夯实·必备知识必备知识 3.x1x2+y1y2√a·a/x1+y1 x1x2十y1y2 0 √x+y·√+ 思考辨析(1)/(2)√(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.D2.D3.B4.√25.1 a+号6-15 跃升·关键能力考点一 1.B[(a+b)·(a-b)=0,.a-b=0,.a=b2,则 |a=|b|,不能得到a=b或a=一b,充分性不成立；若a =b或a=一b,则(a十b)·(a-b)=0成立，必要性成 立.所以“(a十b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要 不充分条件.] 2.解析：a·b=一2×1十3×2=4. 答案：4 3解析：(2a+b).b=2ab+6=2X1X3×号+3=1. 答案：11 考点二 1.(1)C[由题设知，a-2b=3,得a2-4a·b+4b2=9, 代入a=1,b=√3，有4a·b=4,故a·b=1.] (2)C[充分性：若a,b不共线， 根据三角形的性质，可得|a一b <a一b,故充分性成立； 必要性：若a,b同向且a<|b, 则|a-|b1<0, 此时a一b=b||a>0, b 则|a一|b<|a一b成立，但此时a,b共线，故必要性不 成立， 则“a,b不共线”是“|a|一|b<|a一b”的充分不必要 条件，门 2.(1)A[IBA1=1,BC1=1,cos∠ABC=BA·BC BCI 9由BC[0180],得∠AK=30 (2)解析：因为a,b为单位向量，所以|a=b=1. |2a-b=V3两边平方，可得(2a-b)2=4|a2-4a·b+ 1b=3,解得a·b= 而a-bl=√/(a-b)'=√a2-2a·b+b √1-2×2+1=1， 12b-a=√(2b-a)'=√4b2-4a·b+1a ×12-4×3+1=, (a-b)·(2b-a)=3a·b-2b12-|al9 =3×分-2x12-1=-是. 设向量a一b与2b一a的夹角为9,0∈L0,π， 2