14.2.4 三角形全等的判定（尺规作图）导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形全等的判定（尺规作图），引导学生复习SSS判定及全等三角形性质，通过前置补偿搭建学习支架，逐步探究作一个角等于已知角的原理，进而拓展过直线外一点作平行线、已知两边及其夹角作三角形的尺规作图。 资料以原理理解为核心，拆解作图步骤并分析画弧目的培养推理意识，规范“已知、求作、作法”的几何语言表达提升数学语言能力，分层作业与合作辨析设计助力学生自主探究，有效发展几何直观与空间观念，帮助学生掌握尺规作图本质与方法。

14.2.4 全等三角形的判定（尺规作图）导学案【解析版】 【学习目标】 1. 复习SSS 三角形全等判定，理解作一个角等于已知角的作图原理，明白作图本质：构造三边对应相等的全等三角形，利用全等三角形对应角相等得到等角。 2. 熟记尺规作图工具要求：无刻度直尺、圆规；直尺只画直线 / 射线，圆规用来截取转移相等线段。 3. 掌握“作一个角等于已知角” 完整步骤，能填空默写作图流程。 4. 会模仿例题，完成拓展尺规作图：①过直线外一点作已知直线的平行线；②已知两边及其夹角作三角形。 5. 规范书写尺规作图 “已知、求作、作法” 几何语言，提升几何作图严谨意识。 学习重点：作一个角等于已知角的作图步骤、作图原理 SSS；模仿例题作平行线、作两边夹角三角形。 学习难点：读懂课本思考探索推理过程；理解每一步画弧的目的；准确书写规范的作图语言。 【前置补偿】 1. 三边分别相等的两个三角形全等，简写：SSS。 2. 如果两个三角形全等，则对应角相等。 【学生自学】 ①思考探索：把角安置到三角形，利用 SSS 构造全等三角形； ②作图：作一个角等于已知角，分步拆解作图；分析原理； ③例 4：尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线（利用同位角相等两直线平行）； ④例5：尺规作图，已知两边及其夹角作三角形； 【探究过程】 线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素。我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图。 思考：如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 探索推理： 对于一个三角形，它的三条边、三个角是确定的。 ①如果我们把已知∠AOB 放在某一个三角形之中，把∠AOB 作为这个图形的一个内角； ②我们可以用直尺、圆规作出与它三边对应相等的三角形； ③根据全等三角形的性质，新三角形对应的内角，就和∠AOB 大小_相等。 具体设想： 在∠AOB 的两边OA、OB 上分别取点 C、D，连接 CD，得到△COD，此时∠AOB 就是△COD 的一个内角。 我们再作出△C'O'D'，使△C'O'D'≌△COD， 那么∠C'O'D'_=∠COD，也就是∠C'O'D'=∠AOB。 设问：由此我们能不能得到作一个角等于已知角的操作方法？能 探究一 尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB。 作法： (1) 以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； (作图区) (2) 作一条射线 O'A'，以点O'为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； (3) 以点 C' 为圆心，线段CD的长为半径作弧，与上一步所作的弧相交于点 D'； (4) 过点 D' 作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角。 思考： 连接 CD、C'D'，在△OCD 和△O'C'D' 中 {OC=O'C' OD=O'D' CD=C'D' } ∴△OCD≌△O'C'D'(SSS) ∴∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形对应角相等） 小组辨析： 尺规作图的直尺不可以（填 “可以” 或 “不可以”）量取线段长度。 作一个角等于已知角作图依据：SSS 全等，全等三角形对应角相等。 探究二 例 4：过直线外一点作已知直线的平行线 已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C。利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD。 分析：依据同位角相等，两直线平行。 思路：①先画一条截线经过点 C，与 AB 交于点 E；②在点 C 处，作一个角等于∠CEB（同位角），得到平行线。 作法填空： (1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点E； (2) 在点 C 处作∠FCD，使∠FCD=∠CEB； (3) 反向延长射线 CD，得到直线 CD。 则直线CD∥AB。 拓展提示：也可以利用内错角相等，两直线平行完成作图。 探究三 例 5：已知两边及其夹角作三角形 已知线段 a，b 和∠α，求作△ABC，使 AB=a，AC=b，∠A=∠α。 作法： (1) 作∠DAE=∠α； (2) 在射线 AD 上截取 AB=a；在射线 AE 上截取 AC=b； (3) 连接BC，则△ABC就是所求作三角形。 【对点小练】 作一个角等于已知角的依据判定是SSS。 过直线外一点作平行线的作图理论依据：同位角相等，两直线平行。 【合作学习・判断正误】（对√，错 ×） （×）1. 尺规作图中直尺可以用来测量线段长短。 （√）2. 作一个角等于已知角，原理是 SSS 全等，全等三角形对应角相等。 （√）3. 作平行线作图，用到 “同位角相等，两直线平行”。 （√）4. 已知两边及夹角作三角形，先作夹角，再截取两条边。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. 尺规作图工具：无刻度直尺只画线；圆规用来截取相等线段，不能度量角度。 🔔2. 课本思考核心思路：把角放到三角形中，构造 SSS 全等三角形，利用全等得到对应角相等，实现作等角。 🔔3. 作等角核心逻辑：构造△OCD 与△O'C'D' 三边对应相等，借 SSS 得到三角形全等；画弧过程中，相同步骤圆规半径不能随意改动。 🔔4. 过点作平行线：先构造相等同位角（尺规作等角），再利用平行线判定定理得到平行。 🔔5. 已知两边及夹角作三角形顺序：先作角，再在角两条射线上截取已知线段，最后连接端点。 🔔6. 作图答题格式：规范写 “已知、求作、作法”，最后给出结论，不需要证明。 课堂笔记： 【课内自测】 1.用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC 的顶点 A，并且与边 BC 平行，只写出简要作图步骤。 解：①过点 A 作截线，交 BC 于一点；②在 A 点处作同位角等于∠B；③延长得到直线，该直线即为过 A 且平行 BC 的直线。 1. 用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段 a，写出简要步骤。 解：①作线段等于 a；②在线段两端分别作角等于∠α、∠β；③两条角射线交点为三角形第三个顶点，得到所求三角形。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 尺规作一个角等于已知角的依据是（B） A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 2. 尺规作图工具是：没有刻度的直尺和圆规。 B 组【能力提升・选做】 3.简述课本思考中，作一个角等于已知角的整体探究思路。 解：把已知角放置在一个三角形内部，利用尺规作出三边对应相等的全等三角形，借助全等三角形对应角相等，作出和已知角大小相等的角。 4.已知∠β，尺规作∠γ=2∠β，简述作图步骤。 解：①作∠γ₁=∠β；②以这个角的一条边为公共边，在外侧再作一个等于∠β 的角；合并得到的大角就是 2∠β。 C 组【拓广探索・培优】 5.已知∠1，∠2，求作∠AOB，使∠AOB=2∠2−∠1。（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作射线 OA； （2）以 OA 为一边，在 OA 同侧作∠AOC=∠2； （3）再以 OC 为一边，在∠AOC 外侧作∠COD=∠2，此时∠AOD=2∠2； （4）在∠AOD 内部，以 OD 为一边作∠DOB=∠1； ∠AOB 即为所求作的角，满足∠AOB=2∠2−∠1。 作图要点 （1）尺规作图，保留全部圆弧痕迹； （2）∠1 要作在 2∠2 的内部； （3）最后标注所求角∠AOB。 6. 简答：在作一个角等于已知角的时候，圆规第一步为什么要取 “任意长”，不能取得过小？ 解：半径过小，画出来的两段弧无法相交，得不到交点，作图无法完成。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.4 三角形全等的判定（尺规作图）导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1.复习SSS 三角形全等判定，理解作一个角等于已知角的作图原理，明白作图本质：构造三边对应相等的全等三角形，利用全等三角形对应角相等得到等角。 2.熟记尺规作图工具要求：无刻度直尺、圆规；直尺只画直线 / 射线，圆规用来截取转移相等线段。 3.掌握“作一个角等于已知角” 完整步骤，能填空默写作图流程。 4.会模仿例题，完成拓展尺规作图：①过直线外一点作已知直线的平行线；②已知两边及其夹角作三角形。 5.规范书写尺规作图 “已知、求作、作法” 几何语言，提升几何作图严谨意识。 学习重点：作一个角等于已知角的作图步骤、作图原理 SSS；模仿例题作平行线、作两边夹角三角形。 学习难点：读懂课本思考探索推理过程；理解每一步画弧的目的；准确书写规范的作图语言。 【前置补偿】 1. 三边分别相等的两个三角形全等，简写：________。 2. 如果两个三角形全等，则________角相等。 【学生自学】 ①思考探索：把角安置到三角形，利用 SSS 构造全等三角形； ②作图：作一个角等于已知角，分步拆解作图；分析原理； ③例 4：尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线（利用同位角相等两直线平行）； ④例5：尺规作图，已知两边及其夹角作三角形； 【探究过程】 ________和 都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素。我们已经学习了作 的尺规作图。 思考：如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 探索推理： 对于一个三角形，它的三条边、三个角是确定的。 ①如果我们把已知∠AOB 放在某一个________之中，把∠AOB 作为这个图形的一个内角； ②我们可以用直尺、圆规作出与它三边对应相等的________； ③根据全等三角形的性质，新三角形对应的内角，就和∠AOB 大小________。 具体设想： 在∠AOB 的两边OA、OB 上分别取点 C、D，连接 CD，得到△COD，此时∠AOB 就是△COD 的一个内角。 我们再作出△C'O'D'，使△C'O'D'≌△COD， 那么∠C'O'D'________∠COD，也就是∠C'O'D'=∠AOB。 设问：由此我们能不能得到作一个角等于已知角的操作方法？________。 探究一 尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB。 作法： (1) 以点____为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； (作图区) (2) 作一条射线 O'A'，以点____为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； (3) 以点 C' 为圆心，线段________的长为半径作弧，与上一步所作的弧相交于点 D'； (4) 过点 D' 作射线________，则∠________就是所求作的角。 原理思考： 连接 CD、C'D'，在△OCD 和△O'C'D' 中 ∴△OCD≌△O'C'D'( ) ∴∠A'O'B'=∠AOB（________________________） 小组辨析： 尺规作图的直尺________（填 “可以”或“不可以”）量取线段长度。 作一个角等于已知角作图依据：________。 探究二 例 4：过直线外一点作已知直线的平行线 已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C。利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD。 分析：依据同位角相等，两直线平行。 思路：①先画一条截线经过点 C，与 AB 交于点 E；②在点 C 处，作一个角等于∠CEB（同位角），得到平行线。 （作图区） 作法：(1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点____； (2) 在点 C 处作∠FCD，使∠FCD= ； (3) 反向延长射线CD，得到直线 CD。 则直线 ∥AB。 拓展提示：也可以利用内错角相等，两直线平行完成作图。 探究三 例 5：已知两边及其夹角作三角形 已知线段 a，b 和∠α，求作△ABC，使 AB=a，AC=b，∠A=∠α。 （作图区） 作法：(1) 作∠DAE= ； (2) 在射线 AD 上截取 AB= ；在射线 AE 上截取 AC= ； (3) 连接，则________就是所求作三角形。 【对点小练】 1. 作一个角等于已知角的依据判定是________。 2. 过直线外一点作平行线的作图理论依据：________________。 【合作学习・判断正误】（对√，错 ×） （）1. 尺规作图中直尺可以用来测量线段长短。 （）2. 作一个角等于已知角，原理是 SSS 全等，全等三角形对应角相等。 （）3. 作平行线作图，用到 “同位角相等，两直线平行”。 （）4. 已知两边及夹角作三角形，先作夹角，再截取两条边。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. 尺规作图工具：无刻度直尺只画线；圆规用来截取相等线段，不能度量角度。 🔔2. 思考核心思路：把角放到三角形中，构造SSS全等三角形，利用全等得到对应角相等，实现作等角。 🔔3. 作等角核心逻辑：构造△OCD 与△O'C'D' 三边对应相等，借 SSS 得到三角形全等；画弧过程中，相同步骤圆规半径不能随意改动。 🔔4. 过点作平行线：先构造相等同位角（尺规作等角），再利用平行线判定定理得到平行。 🔔5. 已知两边及夹角作三角形顺序：先作角，再在角两条射线上截取已知线段，最后连接端点。 🔔6. 作图答题格式：规范写 “已知、求作、作法”，最后给出结论，不需要证明。 【课内自测】 1. 用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC 的顶点 A，并且与边 BC 平行，只写出简要作图步骤。 2. 用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a，写出简要步骤。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 尺规作一个角等于已知角的依据是（） A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 2. 尺规作图工具是：________________________。 B 组【能力提升】 3.简述课本思考中，作一个角等于已知角的整体探究思路。 4.已知∠β，尺规作∠γ=2∠β，简述作图步骤。 C 组【拓广探索・培优】 5.如图，已知∠1,∠2,求作∠AOB,使∠AOB= 2∠2-∠1.(不写作法，保留作图痕迹) 6.思考：在作一个角等于已知角的时候，圆规第一步为什么要取 “任意长”，不能取得过小？ 学科网（北京）股份有限公司 $