14.2.1 三角形全等的判定（第1课时 SAS）导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形全等的SAS判定，从全等三角形性质逆向思考，通过“1个、2个条件不能判定全等”的探究实验，搭建从性质到判定的认知支架，衔接前置知识与新知生成。 导学案通过画图叠合实验培养几何直观，分步证明填空强化推理意识，反例辨析深化对“夹角”的理解，分层作业满足不同能力需求，助力学生掌握SAS判定及规范书写，发展逻辑推理与创新意识。

14.2.1 三角形全等的判定（第1课时 SAS）导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 由全等三角形性质逆向思考判定条件，经历 “条件由少到多” 的探究过程，知道仅给 1 个、2 个条件，不能保证两个三角形一定全等。 2. 通过画图、叠合实验，理解边角边（SAS）判定的生成过程，掌握 SAS 基本事实，学会分步完成证明填空，逐步规范几何推理书写格式。 3. 通过课本反例辨析，分清 “两边夹角” 和 “两边及其中一边的对角”，理解两边及其中一边对角不能判定三角形全等。 4. 会运用 SAS 证明三角形全等，借助全等得到线段、角相等，提升逻辑推理能力。 学习重点：边角边（SAS）判定；全等证明分步推理与书写规范。 学习难点：区分夹角与一边的对角；挖掘图形中公共边、公共角等隐含条件。 【前置补偿】 1. 全等三角形的性质：如果两个三角形全等，那么它们的________边相等，________角相等。 若△ABC≌△A'B'C'，则 AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 2. 想一想：已知全等，可以推出三组边、三组角全部相等。反过来思考：如果要说明两个三角形全等，是不是必须要验证6个条件全部满足？能不能减少条件，用更少的条件判定三角形全等？ 【学生自学】 ①逆向思考：由全等三角形性质反向提出判定问题； ②探究 1：分别尝试 1 个条件、2 个条件画三角形，观察发现不一定全等； ③探究 2：给定两边及其夹角，画图叠合，归纳 SAS 基本事实； ④例 1：跟随提示分步填空，模仿完整证明格式； ⑤课本思考栏目：两边及其中一边对角，结合图形反例辨析； 探究一 ：较少条件能不能判定全等 活动 1：只给 1 个条件，分两种情况：只一条边相等；或者只一个角相等。 动手画一画：满足同一个条件，小组同学画出的三角形，形状大小完全一样吗？ 结论：只给1个条件，两个三角形________（填 “一定” 或 “不一定”）全等。 活动 2：给出2个条件，有三类情况：两边分别相等；一边一角分别相等；两角分别相等。 再动手画图，互相对比，你发现，满足两个条件画出的三角形________（填 “一定” 或 “不一定”）全等。 思考：那如果给出 3 个条件，能不能保证两个三角形一定全等？ 三个条件有 种组合方式，我们先来研究：两边和一个角的情况。 两边和一角又分两种情况：①这个角夹在两条边中间（夹角）；②这个角不是夹角，是其中一条边的对角。 探究二 第一种情况：两边，并且角是这两条边的夹角。 如果△A'B'C' 与△ABC 中，∠A'=∠A，A'B'=AB，A'C'=AC。 想象图形叠合：把点 A' 与点 A 重合，射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合； 因为 A'B'=AB，所以点 B' 与点 B 重合； 因为 A'C'=AC，所以点 C' 与点 C 重合。 三个顶点全部重合，说明两个三角形可以完全________。 归纳基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 简写：____________ 或 ____________。 几何语言模板： 在△ABC 和△A'B'C' 中 ∴△ABC≌△A'B'C'(_SAS ) 【对点小练 】 SAS 判定中，角必须是两条已知边的________角。 简单记法：边‑角‑边，角夹在 。 探究三 【学以致用】 例 1：如图，AC=AD，AB 平分∠CAD， 求证：∠C=∠D。 分析思路引导： 我们想要证明角相等，之前学过：如果两个三角形 ，对应角就相等。 所以思路转化：先证三角形 ，再利用 得到角相等。 要证明∠C=∠D，可以先证明△ABC________△ABD。 我们来找条件：①AB 平分∠CAD，根据角平分线定义，可以得到： ； ②题目直接给的已知条件： ；③观察图形，两个三角形共用同一条线段 AB，这是隐含条件：________。 尝试补全下面证明过程，每一步填写条件或者推理依据： 证明：∵AB 平分∠CAD（已知） ∴________________（角平分线的定义） 在△ABC 和△ABD 中 ∴△ ≌ (________) ∴∠C=∠D（________________________________） 探究四 【思考辨析】 第二种情况：如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 观察右图： 在△ABC 与△ABD，满足：AB=AB，AC=AD， ∠B=∠B。 也就是：两边相等，并且∠B 是其中一条边的对角。但是从图形上直观观察，△ABC 与 △ABD________（填 “全等” 或 “不全等”）。 由此得到重要结论：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形________。 小组辨析思考： 1. 当已知两边一角求证三角形全等时，角能不能取一边的对角？_________。 2.证明线段或者角相等，常常可以转化为：证明它们是全等三角形的________。 【合作学习・判断正误】（对√，错 ×） （）1. 两边及任意一个角相等，两个三角形 SAS 全等。 （）2. 两边和它们的夹角相等，可以判定两个三角形全等。 （）3. 两边及其中一边的对角相等，不能判定三角形全等。 （）4. 证明角相等，可以先证三角形全等，利用对应角相等推导。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. SAS 核心：角必须是两条边的夹角，边‑角‑边，角夹在两条边中间；两边及一边对角不能判定全等，图 14.2‑5 就是反例。 🔔2. 找条件要会挖掘隐藏条件：公共边、公共角、角平分线推出相等角、对顶角相等。 🔔3. 证明书写逻辑：先写在哪两个三角形中，大括号罗列三组条件，注明来源（已知 / 已证 / 公共边）；得出全等，标注依据 SAS；最后由全等推出对应边、对应角相等。 🔔4. 证明线段、角相等常用思路：证全等，利用全等三角形对应边、对应角相等。 课堂笔记： 【课内自测】 1.如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一个点C, 从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B. 连接AC并延长到点D, 使CD=CA.连接BC并延长到点E, 使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么? 2.如图，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证∠A=∠D。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 如图，，，分别为，的中点。 试说明：。 2.如图，，，求证：． B 组【能力提升】 3.如图，点，在上，，，求证：≌． 4. 如图，点，在上，，，求证：≌． C 组【拓广探索・培优】 如图，点、在上，，，试说明：BE∥DF 6. 如图，，，是上一点，且，，与交于点． 试判断与的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.1 三角形全等的判定（SAS）导学案【解析版】 【学习目标】 1. 由全等三角形性质逆向思考判定条件，经历 “条件由少到多” 的探究过程，知道仅给 1 个、2 个条件，不能保证两个三角形一定全等。 2. 通过画图、叠合实验，理解边角边（SAS）判定的生成过程，掌握 SAS 基本事实，学会分步完成证明填空，逐步规范几何推理书写格式。 3. 通过课本反例辨析，分清 “两边夹角” 和 “两边及其中一边的对角”，理解两边及其中一边对角不能判定三角形全等。 4. 会运用 SAS 证明三角形全等，借助全等得到线段、角相等，提升逻辑推理能力。 学习重点：边角边（SAS）判定；全等证明分步推理与书写规范。 学习难点：区分夹角与一边的对角；挖掘图形中公共边、公共角等隐含条件。 【前置补偿】 1. 全等三角形的性质：如果两个三角形全等，那么它们的_对应边相等，对应角相等。 若△ABC≌△A'B'C'，则 AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 2. 想一想：已知全等，可以推出三组边、三组角全部相等。反过来思考：如果要说明两个三角形全等，是不是必须要验证6个条件全部满足？能不能减少条件，用更少的条件判定三角形全等？ 【学生自学】 ①逆向思考：由全等三角形性质反向提出判定问题； ②探究 1：分别尝试 1 个条件、2 个条件画三角形，观察发现不一定全等； ③探究 2：给定两边及其夹角，画图叠合，归纳 SAS 基本事实； ④例 1：跟随提示分步填空，模仿完整证明格式； ⑤课本思考栏目：两边及其中一边对角，结合图形反例辨析； 探究一 ：较少条件能不能判定全等 活动 1：只给 1 个条件，分两种情况：只一条边相等；或者只一个角相等。 动手画一画：满足同一个条件，小组同学画出的三角形，形状大小完全一样吗？ 结论：只给1个条件，两个三角形不一定（填 “一定” 或 “不一定”）全等。 活动 2：给出2个条件，有三类情况：两边分别相等；一边一角分别相等；两角分别相等。 再动手画图，互相对比，你发现，满足两个条件画出的三角形不一定（填 “一定” 或 “不一定”）全等。 思考：那如果给出 3 个条件，能不能保证两个三角形一定全等？ 三个条件有两种组合方式，我们先来研究：两边和一个角的情况。 两边和一角又分两种情况：①这个角夹在两条边中间（夹角）；②这个角不是夹角，是其中一条边的对角。 探究二 第一种情况：两边，并且角是这两条边的夹角。 如果△A'B'C' 与△ABC 中，∠A'=∠A，A'B'=AB，A'C'=AC。 想象图形叠合：把点 A' 与点 A 重合，射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合； 因为 A'B'=AB，所以点 B' 与点 B 重合； 因为 A'C'=AC，所以点 C' 与点 C 重合。 三个顶点全部重合，说明两个三角形可以完全重合。 归纳基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 简写：边角边 或 SAS。 几何语言模板： 在△ABC 和△A'B'C' 中 AB=A'B' ∠A=∠A' AC=A'C' ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) 【对点小练 】 SAS 判定中，角必须是两条已知边的夹角。 简单记法：边‑角‑边，角夹在两条边中间。 探究三 例 1：如图，AC=AD，AB 平分∠CAD，求证：∠C=∠D。 分析思路引导：如果两个三角形全等，对应角就相等。 所以先证三角形全等，再利用全等得到角相等。 要证明∠C=∠D，可以先证明△ABC≌△ABD。 我们来找条件： ①AB 平分∠CAD，根据角平分线定义，可以得到：∠CAB=∠DAB； ②题目直接给的已知条件：AC=AD； ③观察图形，两个三角形共用同一条线段 AB，这是隐含条件：AB=AB。 尝试补全下面证明过程，每一步填写条件或者推理依据： 证明： ∵AB 平分∠CAD（已知） ∴∠CAB=∠DAB（角平分线的定义） 在△ABC 和△ABD 中 AC=AD (已知) ∠CAB=∠DAB (已证) AB=AB (公共边) ∴△ABC≌△ABD(SAS) ∴∠C=∠D（全等三角形的对应角相等） 探究四 问题：如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 观察课本图 14.2‑5： △ABC 与△ABD，满足：AB=AB，AC=AD，∠B=∠B。 也就是：两边相等，并且∠B 是其中一条边的对角。 但是从图形上直观观察，△ABC 与△ABD不全等（填 “全等” 或 “不全等”）。 由此得到重要结论：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。 小组辨析思考： 证明线段或者角相等，常常可以转化为：证明它们是全等三角形的对应边、对应角。 【合作学习・判断正误】（对√，错 ×） （×）1. 两边及任意一个角相等，两个三角形 SAS 全等。 （√）2. 两边和它们的夹角相等，可以判定两个三角形全等。 （√）3. 两边及其中一边的对角相等，不能判定三角形全等。 （√）4. 证明角相等，可以先证三角形全等，利用对应角相等推导。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. SAS 核心：角必须是两条边的夹角，边‑角‑边，角夹在两条边中间；两边及一边对角不能判定全等，图 14.2‑5 就是反例。 🔔2. 找条件要会挖掘隐藏条件：公共边、公共角、角平分线推出相等角、对顶角相等。 🔔3. 证明书写逻辑：先写在哪两个三角形中，大括号罗列三组条件，注明来源（已知 / 已证 / 公共边）；得出全等，标注依据 SAS；最后由全等推出对应边、对应角相等。 🔔4. 证明线段、角相等常用思路：证全等，利用全等三角形对应边、对应角相等。 课堂笔记： 【课内自测】取自课本练习原题 1. 测池塘两端 A、B 距离：平地取点 C，CD=CA，CE=CB，连接 DE。求证：DE=AB。 证明：在△ABC 和△DEC 中 CA=CD ∠ACB=∠DCE CB=CE ∴△ABC≌△DEC (SAS) ∴DE=AB。 2.点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证∠A=∠D。 证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即 BF=CE 在△ABF 和△DCE 中 AB=DC ∠B=∠C BF=CE ∴△ABF≌△DCE (SAS) ∴∠A=∠D。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 如图，，，分别为，的中点。 试说明：。 证明：因为，分别为，的中点， 所以，。 又因为， 所以。 在和中， 因为，， ， 所以。 2.如图，，，求证：． 证明：， ，即， ，， ≌．  B 组【能力提升】 3..如图，点，在上，，，求证：≌． 证明：，． ， ，即． 在与中， ≌． 4. 如图，点，在上，，，求证：≌． 证明：因为， 所以， 所以． 在与中， 所以≌． C 组【拓广探索・培优】 5. 如图，点、在上，，，试说明：BE∥DF 证明：因为， 所以， 又因为， 所以，即， 在和中， ∴≌．  ∴∠BEC=∠DFA ∴BE∥DF 6. 如图，，，是上一点，且，，与交于点． 试判断与的位置关系，并说明理由． 证明：ACBE.理由如下: ABBD,DEBD, ABC=BDE=, 在ABC和BDE中, ABCBDE(SAS), A=CBF, ABC=, A+ACB=, CBF+ACB=, BFC=, ACBE.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $