2026-2027学年人教版八年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 2026-2027学年人教版七年级数学上册第一次月考卷，聚焦三角形与全等三角形，通过“一线三垂直”模型（解答题23）、风筝骨架设计（解答题22）等真实情境，融合几何直观与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形内角、全等判定、尺规作图|第5题以尺规作图依据考查推理意识，第3题直角三角板放置体现空间观念| |填空题|6/18|中线性质、折叠变换、四边形角度计算|第13题折叠求角度渗透转化思想，第11题平行线与等腰直角三角形结合考查几何直观| |解答题|8/72|周长计算、面积应用、模型探究|第23题“一线三垂直”模型培养创新意识，第22题风筝设计问题发展模型观念与应用意识|

2026-2027学年人教版七年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第十三章三角形第十四章全等三角形 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 3．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 4．已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 5．如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 6．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】明确本题核心是利用尺规作一个角等于已知角，依据是全等三角形判定定理，目标是作出相等的内错角以得到平行线；作一个角等于已知角的步骤，因为要保证所作角和已知角的对应边相等，所以首先以已知角顶点为圆心的弧截出的两条线段长度，在新作角时需要对应相等，结合本题作图步骤，因为步骤③需要确定新作角的另一边的位置，所以要选取和已知角中两个交点连线长度相等的线段作为半径． 【详解】解：本题是利用作一个角等于已知角得到相等内错角，从而作平行线，符合“内错角相等，两直线平行”； 根据作一个角等于已知角的尺规作图规则： 要作， 第一步已经以为圆心作弧，得到两边上的交点、； 第二步以为圆心、长为半径作弧后， 第三步需要以为圆心，取的长度为半径作弧，才能通过三边全等保证作出的角与相等， 因此的长度是线段的长度． 7．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 8．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 9．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 10．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 12．如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 13．如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 14．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 15．如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接并延长交边于点，过点作交于点．若，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】利用邻补角的定义得出，根据全等三角形的性质得出，，进而求出，根据平行线的性质得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵连接并延长交边于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 16．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的2倍，求等腰三角形三边的长． 【答案】、、 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意设等腰三角形的底边长为，则腰长为．利用三边之和等于列出方程求解即可； 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为． 三角形的周长是， ，解得， 等腰三角形三边的长分别为、、． 18．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 19．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 20．在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求， (2) (3) 解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3）略 21．如图，在四边形中，点是延长线上一点，连接交于点，且，，试说明：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】首先根据全等三角形的性质证明，进而证明，然后根据“同位角相等，两直线平行”证明结论即可． 【详解】略 22．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 23．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 24．在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版七年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第十三章三角形~第十四章全等三角形 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于F,DF交AC于E,图中有 ()个直角三角形. E B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为() A.75° B.90° C.105°或75 D.120°或20° 3.一副直角三角板按如图放置，点E在边BC的延长线上，BE∥DF,∠B=∠DEF=9O°，则∠CDE的 度数为() A 309 45o7F A.25 B.20° C.15 D.10° 4.已知下图是两个全等三角形，则∠I的度数为(). ⑧3 人63 C A.24° B.34° C.63° D.83° 5.如图，小明利用尺规作∠AOC=∠BOD,在作图过程中，得到△COE≌△DOF的依据是() A E B 试卷第1页（共3页） A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 6.数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线I及I外一点P,作直线m,使得ml,且m经过 点P(不写作法，保留作图痕迹)· m 图① 图② 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过点P作直线OP交直线！于点O,作 ∠MPN=∠COD.作法步骤如下： ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交直线I于点C,交直线OP于点D: ②以点P为圆心，以OC长为半径作弧，交OP于点N; ③以点N为圆心，以a长为半径作弧，交前面的弧于点M; ④过点M,P作直线m,则直线m即为所求. 则a的长度是() A.线段OC的长度B.线段OD的长度 C.线段CD的长度 D.线段PN的长度 7.如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O,已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则阴 影部分（四边形MCWO)的面积为(） A.4 B.5 C.6 D.7 8.己知AD是三角形ABC的高，BD=1,AD=4,三角形ABC的面积是12，则CD的长为() A.5 B.6 C.5或6 D.5或7 9.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12,过O作OD⊥BC 于点D,且OD=2,则△ABC的面积是() 4 D 试卷第2页（共3页） A.12 B.16 C.24 D.30 10.在锐角三角形ABC中AB=5,△ABC的面积为30，BD平分∠ABC交AC于点D,若M、N分别是 BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为() A.10 B.6 C.12 D.9 二、填空题（每题3分，共18分） 1.如图，已知平行于，△MC是等楼直角三角形，∠B4C=0,顶点4，B分别在，上，当 ∠1=70°时，∠2= 0 12.如图，在△MBC中，D是商，4B是中线，MD=8,Sa=48 EC= 则 D 13.如图，将△ABC沿经过点A的直线AD折叠，使边AC所在的直线与边AB所在的直线重合，点C落 在边AB上的E处.若∠B=45°，∠BDE=20°，则∠CAD= B 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC=DC,连接AC,∠BCA=50°，则∠CAD的度数 试卷第3页（共3页） 为 B l5.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,点E在AD上，连接BE并延长交AC边于点F,过 点F作FG∥AD交BC于点G.若FG=6,BE=I3,△ABE≌aAFE,则△BFG的面积为一 16.如图，在△ABC中，∠B=9O°，点D是AB边上一点，连接CD,DE⊥AC于点E,BD=DE,若 ∠ACD=20°，则∠A的度数为 A E D B 三、解答题（每题9分，共72分) 17.一个等腰三角形的周长是25cm,腰长是底边长的2倍，求等腰三角形三边的长. 18.如图，AD,AE分别是△ABC的中线和高，已知AE=10,BC=16,求△ACD的面积. B E D C 19.已知△ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数、 (1)若a=2,b=5,且c为奇数，求△ABC的周长： 试卷第4页（共3页） ②化简：口-c+-b-c-4-a+b+d 20.在如图所示的平面直角坐标系中， A(9,6)B(1,0）C(5,0) (I)作△ABC在边BC上的中线AD: (2)在(1)的条件下，求△ABD的面积， (3)在图中标出△ABC的重心G(保留画图痕迹)，并写出重心的坐标 21.如图，在四边形ADFB中，点C是FD延长线上一点，连接BC交AD于点E,且△ABE≌△DCE, ∠A=∠F,试说明：AD∥BF. A B E D 22.如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架AD1BC,垂足为点O,DE=DF, AD平分∠EDF,这样设计能够保证两翼宽度一致（即OB=OC),从而平稳飞行. B D 图① 图② (1)请说明这样设计的理由： (2)要给骨架贴上布面，连接BD、CD,若风筝主骨架AD的长为40cm,BC=50cm,则需要的布料面 积（即四边形ABDC的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 试卷第5页（共3页） 23.阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直， 所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形 D B A 图1 图2 图3 (1)问题解决： 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=9O0°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE 于点E,则CD与BE的数量关系是 (2)问题探究： 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE 于点E,AD=3cm,DE=1.8cm,求BE的长； (③)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中， A(-1,0)C(1,2.5)△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90 AC=BC,求B点坐标， 2A.在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB E 图① 图② (①)如图①，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BDC的度数： (2)如图②，连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积 试卷第6页（共3页）