专题03 全等三角形中常添辅助线问题6大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 本专项聚焦全等三角形辅助线添加，通过“题型解读-模型构建-分层训练”逻辑链，系统提炼倍长中线、截长补短等六大高频方法，实现从知识理解到综合应用的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倍长中线|4题|延长中线构造SAS全等，转化线段关系|从基础模型到综合探究，渗透转化思想| |截长补短|4题|截长法截取线段、补短法延长线段，证两次全等|结合角平分线、半角模型，强化线段和差证明| |角平分线|4题|向两边作垂线（AAS）、作平行线（等腰△）、截等线段（SAS）|三种辅助线策略覆盖距离、线段、角度问题| |作垂线|4题|构造直角三角形（HL/AAS），等腰三角形三线合一|利用垂直条件转化边边角关系| |作平行|4题|构造等边△或等腰△，转移角或线段|结合等边三角形性质实现等线段代换| |旋转类|4题|手拉手模型（SAS）、半角模型（旋转全等）|通过旋转实现元素重组，解决动态几何问题|

专题04 全等三角形常添辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 题型1 倍长中线辅助线（高频） 题型2 截长补短辅助线（高频） 题型3 角平分线辅助线（高频） 题型4 作垂线辅助线（高频） 题型5 作平行辅助线（高频） 题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 ◆题型1 倍长中线辅助线 【题型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    【答案】 （1）证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 、， ； （2） （3）且 【分析】（1）根据题意易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而证得； （2）延长到点，使，连接，由（1）知，，在中，利用三角形的三边关系进行解答即可； （3）延长到点，使，连接，由（1）知，得到、，进而得到，从而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到，据此解答即可． 【详解】（1） 略 （2）解：延长到点，使，连接，如图：    由（1）知， ， 在中，、， ，即， 即， 边上的中线的取值范围为； （3）解：且， 如图，延长到点，使，连接，    由（1）得， 、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、倍长中线及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法是解题的关键． 2．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④ （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH． E是AC的中点， ． 又，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又，， ， ， ． 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 【详解】（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3） 略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 3．综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； (3)拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) 延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)； 理由如下： 延长，取点Q，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得出，根据三角形三边关系得出，即，求出结果即可； （2）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （3）延长，取点Q，使，连接，证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】(1)①B；② (2) ①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②且 (3) ①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②6 (4)42000 【分析】（1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）①略 ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； （3）①略 ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； （4）如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． ◆题型2 截长补短辅助线 【题型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【题型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 5．综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 6．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1) 证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． (2) (3) ， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键． 7．小成在探究线段之间的和、差问题时，发现了一种添加辅助线的方法：截长补短．“截长”，即在某条线段上截取一条线段与已知线段相等；“补短”，即通过延长某条线段，使其与已知线段相等．再利用全等三角形的性质、判定等相关知识来解决数学问题． 【探究学习】 (1)已知中，，若，分别平分和，、交于点，则____________度．在线段上取一点，使，连接，可以证明，再通过全等三角形判定依据______来证明，得出线段、、之间存在数量关系：________________________． 【解决问题】 (2)如图2，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点，延长交的延长线于点，延长交延长线于点．请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【迁移运用】 (3)已知“等腰三角形的两个底角相等”．如图3，在中，，，．的角平分线交于点，、为线段、上的动点，且，连接、，当取得最小值时，求的度数． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）证明，可得，由，可得，进一步可得，可得. （2）如图，在上截取，证明，，进一步可得结论. （3）如图，作，，证明，可得当三点共线时，，此时最小，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当三点共线时，，此时最小， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 8．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． ◆题型3 角平分线辅助线 方法 1：向角两边作垂线（最常用） 题型：已知角平分线，求距离、证线段相等。 做法：过平分线上一点，分别向角的两条边作垂直，得到两条垂线段相等（角平分线性质），构造 AAS 全等。 方法 2：作平行线，构造等腰三角形 过角平分线上一点作角一边的平行线，出等腰△，转化边角。 方法 3：截等线段，构造轴对称全等 在角的两边截取相等线段，连接角平分线上点，得到 SAS 全等。 9．【结论探索】 （1）如图1，是的平分线，点在上，于点，延长交于点，则与全等吗？请判断并说明理由． 【结论应用】 （2）如图2，在中，于点，．求证：． （3）如图3，在中，，，是的平分线，交的延长线于点，直接写出与的数量关系． 【答案】 （1）．理由如下： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． （2）证明：如图，延长交于点，则． 在与中 ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，灵活掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用证明即可； （2）延长交于点，与（1）同理可证，则，再结合三角形的外角的性质即可证明； （3）延长交的延长线于点，与（1）同理可证，则，再证明得到，从而得到． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）．理由如下： 如图，延长交的延长线于点，则． ∵是的平分线， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 10．在中，． (1)如图①，当，为 平分线时，在上截取 ．连接，易证： ； （请直接写出结论，不用证明） (2)如图②，当，为 平分线时，模仿题（）的思路，求证：； (3)如图③，当为的外角平分线时，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)， (2) 解：猜想：． 证明：如图②，在上截取， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 猜想：． 证明：如图③，在的延长线上截取，连接． ∵平分， ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）证明，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得 （2）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （3）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图①，在上截取， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）略 11．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F． (1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明； (2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？ (3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？ 【答案】(1)答案不唯一，如平分，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）添加平分，依据证明，可得即可得垂直于，从而可得结论； （2）（3）方法同（1）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：答案不唯一，如平分， 证明如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ∴ ∴垂直于，即； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ∴ ∴垂直于，即； （3），理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ∴ ∴垂直于，即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判断，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 12． (1)【自主学习】填空： 如图1，点是的平分线上一点，点A在上，用圆规在上截取，连接，可得　　，其理由根据是　　； (2)【理解运用】如图2，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，SAS (2) ， 证明：在上截取， 平分， ， 在和中， ， ， ，AD=DE， ， ， ， 即， ， ， ， ． (3)5 【分析】（1）由角平分线的定义得出，根据可证明； （2）先截取，连接，根据判定，得出，，，进而得出结论； （3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可求出答案． 【详解】（1）解：点是的平分线上一点， ， 在和中， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）在上取一点，使， 在中，， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导． ◆题型4 作垂线辅助线 题型特征：没有现成直角，需要造直角；有垂直条件、等腰、证明边相等。 1. 过某顶点向对边作高，构造直角三角形全等（HL、AAS） 2. 遇到等腰三角形：作底边上的高，三线合一，直接得到全等。 13．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 14．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 15．如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 16．如图，在中，，，，为中点，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的最小值为________． 【答案】2 【分析】先过作于E，根据，可得，再根据当时，，即点E与点C重合，即可得出线段的最小值为2． 【详解】解：如图所示，过作于E，则， 由旋转可得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 当点与点重合时最小，此时，点在上，符合题意， 线段的最小值为2． ◆题型5 作平行辅助线 17．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1) 证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； (2) 以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 理由： 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)， 理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF， 又∵AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△DPF和△DQC中，， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴DP=DQ； (2)ED＝2 【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC， 可得AE＝EF， 由（1）知，△DPF≌△DQC ∴FD＝CD， ∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD， ∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED， ∵AC＝BC＝4， ∴2ED＝4， ∴ED＝2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． ◆题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等） 21．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________； 【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：； 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握： 深入研究： 证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ． 拓展延伸： 解：， 理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】[初步把握]易证，再证即可； [深入研究]易证，再证，即可得出结论； [拓展延伸]易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可． 【详解】[初步把握] 解：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：； [深入研究]：略 [拓展延伸]：略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 22．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为．请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数； (3)【解决问题】如图3，，试探究与的数量关系． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得到，再由三角形内角和定理可得； （2）先由等边三角形的性质得到，再证明，并求出；进一步证明，得到，则； （3）延长至点P使，连接，可得 是等边三角形，则可得 ，从而可证 ，继而 ，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图3，延长至点P使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 23．综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)； (2)①解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ； ②或． 【分析】（1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； ②分别讨论当点M在线段上移动时，当点M在线段的延长线上移动时，当点M在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①略； ②解：当点M在线段上移动时，，证明见小问①； 当点M在线段的延长线上时，如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在射线的反向延长线上时，如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 24．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 综合攻坚·知能拔高 1．已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，、相交于点M，、相交于点N，则下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和外角性质，平行线的判定及角平分线的判定．围绕等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质展开分析，逐个验证六个结论，选择出正确的结论即可． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， 而， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥如图，作于点H，于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故⑥正确， 综上所述，正确的结论有①②③⑤⑥，共5个， 故选：C． 2．如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，过点D作于点F，先根据等腰三角形三线合一的性质得，，再根据角平分线的性质得，然后证明、，得、，再根据，求得，由得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在四边形中，是上的动点，过点作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；延长至点，使，连接证明 ，根据全等三角形的性质以及线段的和的关系，可得，即可求解． 【详解】如图，延长至点，使，连接 ， ， 故选：C． 4．如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、点到直线的距离最短以及直角三角形的性质，熟练掌握构造辅助图形（等边三角形）转化线段关系，确定动点运动轨迹是解题的关键． 通过构造等边三角形，利用全等三角形判定（）确定点的运动轨迹，再结合点到直线的距离最短性质，求解的最小值． 【详解】解析：如图在的右边作等边，作射线． ∵， ∴， 在和中， ， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴点在射线上运动（点是定点，是定值）， 当时，的值最小，． 故选：． 5．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 6．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 7．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，，过点作于点H，若，，则五边形的面积为____． 【答案】 【分析】延长至点，使得，容易证明，则，，进而证明，则五边形的面积等于面积的两倍． 【详解】解：如图，延长至点，使得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】“半角”模型一般借助旋转构造全等三角形来解题． 8．如图，和是等腰直角三角形，，连接，．若，，当时，四边形面积的值为____________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长至，使得，连接，可得，过点作交延长线于点，先通过等腰直角三角形的性质证明，再通过所对的直角边等于斜边的一半求出的值，最后由四边形面积为即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，可得，过点作交延长线于点， ，，， ． 和是等腰直角三角形， ，，． ， ， ． 在和中， ， ， ， 四边形面积为 ． 故答案为14． 9．如图，在中，在边上，在边上，且，，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 根据题意，在上截取，连接，证明，再判定，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 设，则由题意得， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 10．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有________． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，，，故①正确，符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； 在和中，， ∴≌， ∴，，，故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形，故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中，， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线，故⑥正确，符合题意； 则正确的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 11．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 即（该数量关系的变形也可）； (3) 【分析】（1）根据全等三角形求出，进而即可求出； （2）先证明，再结合全等三角形性质分析推理，即可得出线段，，的之间的数量关系； （3）过点作的延长线于点，由（2）同理可证，结合全等三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ； （2）略 （3）解：过点作的延长线于点， 由（2）同理可证：， ， ， 的面积为：． 12．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2) 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）略 13．如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵在与中， ， ∴， ∴； (2) 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ， ， 由（1）得，， ∴， ∴， ， ， ，即，，即， ∴， ∴在与中， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形的内角和等知识点． （1）通过证明，得到对应角相等，从而得证结论． （2）延长至点，使得，连接，通过证明，得到对应边对应角相等，通过证明，得到对应边对应角相等，结合（1）中，得到，从而得证结论． （3）延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接，通过证明，得到对应边对应角相等，结合四边形的内角和为，得证，得到对应边对应角相等，继而再证明，得到，与之间的数量关系． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接， ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 15．【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) ，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3)的度数为或 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接并延长到，使，连接． 当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ∴； 当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或． 16．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，过点作于点；过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为_____． A．        B．       C．        D． [深入探究] 如图3，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； 【答案】[模型应用]A； [深入探究]证明：如图，过作于，过作于， 由“字”模型得： ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 即点是的中点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． [模型应用]由“字”模型可知，，，得出线段间的数量关系，然后结合图形求解面积即可； [深入探究]过作于，过作于，由“字”模型得出，再由全等三角形的判定和性质得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：[模型应用]如图中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ＋＋＋， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ， 故选：A； [深入探究]略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形常添辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 题型1 倍长中线辅助线（高频） 题型2 截长补短辅助线（高频） 题型3 角平分线辅助线（高频） 题型4 作垂线辅助线（高频） 题型5 作平行辅助线（高频） 题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 ◆题型1 倍长中线辅助线 【题型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    2．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 3．综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； (3)拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 4．【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． ◆题型2 截长补短辅助线 【题型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【题型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 5．综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 6．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 7．小成在探究线段之间的和、差问题时，发现了一种添加辅助线的方法：截长补短．“截长”，即在某条线段上截取一条线段与已知线段相等；“补短”，即通过延长某条线段，使其与已知线段相等．再利用全等三角形的性质、判定等相关知识来解决数学问题． 【探究学习】 (1)已知中，，若，分别平分和，、交于点，则____________度．在线段上取一点，使，连接，可以证明，再通过全等三角形判定依据______来证明，得出线段、、之间存在数量关系：________________________． 【解决问题】 (2)如图2，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点，延长交的延长线于点，延长交延长线于点．请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【迁移运用】 (3)已知“等腰三角形的两个底角相等”．如图3，在中，，，．的角平分线交于点，、为线段、上的动点，且，连接、，当取得最小值时，求的度数． 8．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． ◆题型3 角平分线辅助线 方法 1：向角两边作垂线（最常用） 题型：已知角平分线，求距离、证线段相等。 做法：过平分线上一点，分别向角的两条边作垂直，得到两条垂线段相等（角平分线性质），构造 AAS 全等。 方法 2：作平行线，构造等腰三角形 过角平分线上一点作角一边的平行线，出等腰△，转化边角。 方法 3：截等线段，构造轴对称全等 在角的两边截取相等线段，连接角平分线上点，得到 SAS 全等。 9．【结论探索】 （1）如图1，是的平分线，点在上，于点，延长交于点，则与全等吗？请判断并说明理由． 【结论应用】 （2）如图2，在中，于点，．求证：． （3）如图3，在中，，，是的平分线，交的延长线于点，直接写出与的数量关系． 10．在中，． (1)如图①，当，为 平分线时，在上截取 ．连接，易证： ； （请直接写出结论，不用证明） (2)如图②，当，为 平分线时，模仿题（）的思路，求证：； (3)如图③，当为的外角平分线时，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 11．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F． (1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明； (2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？ (3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？ 12． (1)【自主学习】填空： 如图1，点是的平分线上一点，点A在上，用圆规在上截取，连接，可得　　，其理由根据是　　； (2)【理解运用】如图2，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长． ◆题型4 作垂线辅助线 题型特征：没有现成直角，需要造直角；有垂直条件、等腰、证明边相等。 1. 过某顶点向对边作高，构造直角三角形全等（HL、AAS） 2. 遇到等腰三角形：作底边上的高，三线合一，直接得到全等。 13．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 14．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 15．如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 16．如图，在中，，，，为中点，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的最小值为________． ◆题型5 作平行辅助线 17．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 18．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 20．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． ◆题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等） 21．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________； 【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：； 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 22．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为．请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数； (3)【解决问题】如图3，，试探究与的数量关系． 23．综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 24．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 综合攻坚·知能拔高 1．已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，、相交于点M，、相交于点N，则下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 3．如图，在四边形中，是上的动点，过点作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 5．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 6．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 7．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，，过点作于点H，若，，则五边形的面积为____． 8．如图，和是等腰直角三角形，，连接，．若，，当时，四边形面积的值为____________． 9．如图，在中，在边上，在边上，且，，则__________． 10．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有________． 11．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 12．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 13．如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 14．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 15．【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 16．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，过点作于点；过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为_____． A．        B．       C．        D． [深入探究] 如图3，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $