江苏省常州市北郊高级中学2026-2027学年高三上学期9月调研数学试卷

**基本信息** 高三九月调研数学卷以AI辅助诊断、军事演习等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率统计等核心知识，梯度设计适配一轮复习初期能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数运算、解三角形|基础题考查数学眼光（几何直观）| |多选|3/18|统计相关系数、向量运算|结合数学思维（推理能力）设题| |填空|3/15|样本分位数、函数单调性、概率计算|小切口检测数学语言（数据意识）| |解答|5/77|AI诊断统计分析、导数应用、立体几何翻折|综合题融合科技情境，如15题用回归方程与独立性检验体现数学语言（模型观念），19题新定义问题考查数学思维（逻辑推理）|

2026~2027学年第一学期九月调研 高三数学 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题卡 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 贴条形码区 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本大题共6小题，共计7分，请在答题卡指定区域内作答，解 班级： 姓名： 答时应写出文字说明、证明或演算步骤 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 15。 16 10000 50000 20000 60000 30000 70000 40000 80000 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 90000000000000 100000 11000000000000000 44444444444444444444444444444444444444444444444 444 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡 相应的位置上 12. 17. 17. 44040044.4…44s44▣40444000440044044004404444e4044404440440444044440404444404▣444 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各愿的答题区域内答愿，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1nt497n9nF7tn与年n年行tt与T1n99nF于9n，9年4nnn 18. P(E) P(E) 9 B 44444444444444444444444444444444444444444 44444444444444444444444444444441444444441414 图1 图二 444444444444444004444444444444444404444044444404044440444444444444444 444… 4420262027学年第一学期九月调研高三数学解答 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C【详解】由题知CuA={-3,-2,0,2},所以(CwA)∩B={-3,-2} 2.C【详解】设z=a+bi,则三=a-bi,则2(+)+3(=-)=4a+6bi=4+6i, 4a=4 所以，6b-6,解得a=b=1,因此，z=1+i 3.B【详解】对于A项，已知两边a,b及其夹角Y, 根据余弦定理AB2=a+b2-2 b cos y,可以唯一求出AB的长度，故A项能确定； 对于B项，已知三个内角，B,y,只能确定三角形的形状（即三角形相似）， 无法确定三角形的大小，因此AB的长度不确定，故B项不能确定： 对于C项，已知a,B,y,根据三角形内角和定理可得a=π-(B+), 再由正弦定理245，可得asin, sin(π-B-y）' 可以唯一求出AB的长度，故C项能 sin a sin y 确定； 对于D项，已知&，B,b,根据三角形内角和定理可得y=兀-(a+B), 再由正弦定理bAB 和。m可得B0s&,可以唯一求出B的长度，故D项 sin B 能确定综上所述，不能确定AB长度的是B项 4.D【详解】对于选项A,由2-1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A 正确： 对于选项B.因为西数()a是定义城为x=0叫的奇函数， 所-0)=0，a2ta+3-0,解得a 21-1 - 所以f(-= (2+1)3(2+) 2(2-1)2(1-2) =-寸，则a=多符合题意，所以B正确： 于选项C,当x>0时，y=2-1>0,且在(0，+∞上递增，则y=,在(0，+∞)上递 所以f(x)在(0，+o)上递减，又f()是奇函数， 则f(x)的单调递减区间为(-∞，0)和(0，+∞)，故C正确： 3,3 选项D,由选项B可知，f☒)+，，当x>0时，y=21>0,则y2 所以7-子产号又是商高流：当<0时号 所以的值城为a引昼，故D腊误 5.A【详解】将函数f(x)=smax(o>0)的图象向左平移兀个单位， 30 因为点[受0为=()在y轴右侧的首个对称中心， 第1页共8页 23 4 对于A, 将f)-sm的图象向左平移平个单位，得到g()-m(含+写 的图象，符合 题意，所以A正确： 对于B,将f)=smx的图象向右平移买个单位，得到()=sm行-名 4 的图象，不符 3 合题意，所以B不正确： 对于C,将f(x)=$inx的图象向左平移5个单位，得到g(x)=si如 42π 3 3x+ 3 的图象，不符 合题意，所以C不正确： 对于D,将f()=snx的图象向右平移5个单位，得到8()=sim 的图象，不 符合题意，所以D不正确. 6.B【详解】设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为A,A,A, 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件B, 则P4)P4)P4)-写P4)=a2P4)若P(4)= 6+x 所以，根据全概率公式得：P(B)=P(4)P(BA)+P(A)P(B4)+P(4)P(BA) -1×x+1+1x3+1x4=3x+3+6+4.3x+13 Γ26+x36+x66+x(6+9(6+9 3x+135 所以66+日立，整理得：6x+26≤5x+30,解得x≤4，所以满足题意的x的最大值为4， 7.C【详解】因点A在线段BC上（不含端点），OA=2xOB+vOC,得2x+y=1,x>0,y>0, 则2(x+1)+(y+2)=5, 此六4号2 --1 -2(x+)+0v+2 1+21-4+4246+1 x+1y+25x+1y+2 y+24(x+1) 11 3 Vx+1 y+2 当且仅当y+2=4(c+1) r+1+2,即2(x+1)=y+2，且2x+y=1时，等号成立 D 即当2=，)中2取得最小值为号 F A B 8.B【详解】因为E,F分别为棱AB,AB的中点，所以EF/1AA, 在棱A4上取点K,使得AK=GH=2,连结KH, G 则四边形AGHK为平行四边形，故AG=H, 又因为A关于EF的对称点为B,连结BH,则AH=BH, 因此AH+AG=BH+H, B 当B,H,K三点共线时，BH+KH取得最小值，此时B班=AK=3 2 2 由于EH⊥底面ABCD,连结CE,则直线CH与底面ABCD所成的角为∠HCE, 第2页共8页 3 而此时tan∠HCE= EH 2 3W5 CE√22+4220 故当AH+AG取得最小值时，直线CH与底面ABCD所成角的正切值为35 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BCD【详解】选项A,若所有样本点都在斜率为负的直线上，说明两组数据完全负线性 相关，线性相关系数，=1，而非直线斜率-子，故A错误， 选项B,由条件概率公式P4)-Pa,若P(AB)=P④，可推得P(AB)=P(AP(B), P(B) 符合相互独立事件的定义，故B正确； 选项C,将x=3代入回归方程得预测值少=0.26×3-0.7=0.08，残差为真实值减去预测值， 即0.06-0.08=-0.02，故C正确： 选项D,决定系数R2是判断回归模型拟合效果的指标，R越趋近于1，说明残差平方和越 小，模型对样本数据的拟合效果越好，故D正确 10.ABD【详解】选项A,由余弦定理可得， COS _BAC=4B+AC2-BC249+25-81 2.AB.AC 2×7x5 i0<(所以∠BAC 1 为钝角： 选项B,由余弦定理可得， cosB=BA+BC2-AC3_49+81-255 0，∠B是锐角， 2.BA.BC 2×7×9 6 血8o8=名.所以m88-四 12511 cosB 5 7 因为1BLAD,所以△DAB是直角三角形，在aDAB中，AD=ABmB=7×_面 5 选项C,在RtDAB中，BD=AB?-4 CosB-5 5 ≠8 6 选项D,因为∠ADC+∠ADB=π，所以 sin∠ADC=sin(r-∠ADB)=sin∠ADB=AB=Z-35=5 BD42426,即sin∠ADC=. 11.BC【详解】对于A,若f(x),g(x)的图象均关于原点对称，则f(x),g(x)为奇函数 即f(-)=-f(x),g(-)=-g(x),不妨设f()=x,g(x)=x, 因为)m(够.又付)分g行所以付)日 (2-8 即A ,不满足h(-x)=-h(x),因此，h(x)的图象不一定关于原点对称，选项 A错误 对于B,已知f(x)≥M,g(x)≥N,且M≥N, 对任意x∈R,h(x)=mim{f(x),g(x},即h(x)是f(x)和g(x)中的较小值. 由于f(x)≥M≥N,g(x)≥N,故它们的较小值h(x)≥N,因此选项B正确 对于C,若f(x),g(x)在R上均为严格减函数且连续，需分析h(x)=min{f(x),g(x)}的 第3页共8页 单调性即x,x2∈R,当x<x3时，∫(x)>f(),g(s)>g(x) 分情况讨论若f(x)与g(x)没有交点，不妨设∫(x)>g(x),可得∫(x)与g(x)在R上严格 单调递减，且f(x)>g(x),则h(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)严格单调递减， 若f(x)与g(x)有交点，即存在x(位=1,2,3n川使得f(s)=g(s), 当x∈[s,]时，不论h(x)=f(x)还是h(x)=g(x), 都有h(x)在x∈[s,+]均单调递减，又f(x)=g(), 所以(x)为R上的严格减函数，没有极值点，因此选项C正确。 x<0 x<0 -1 x=0 -1 x=0 对于D,令f(x= 1 0<x<1,g(x)= 1 0<x<2,则f(x)与g(x)的最大值均为0， 0 X=1 0 x=2 1- 1 x>1 x>2 (1 x<0 x 因为h(x)=min{f(x),g(x},所以h(x)= -1x=0,没有最大值，因此选项D错误， x>0 x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.21【详解】将数据从小到大排序得：10,13,14,14,15,20,22,24， 8×75%=6,所以该组数据的上四分位数为20+2=21 2 13.a<5【详解]因为()=-4血x-2+a且定义线为(01o,所以了()=-是x+a, 又f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，等价于x∈[1,4]使得f'(x)<0成立， 即不等式a<4+x在xL,4到上有解，即a<1+x) 设()=+x,xL制，则田=1-￥二4 x2 令h(x)=0,解得x=2(负根x=-2不符合定义域，舍去). 所以函数()在儿]单润递减，在2利单调运增，经计算A0-是+1-5，从④-+45， 所以h(x)ms=5,所以a<5. 4.。【详解】从9个球中取6个球有A9种不同的取法 游戏结束时取球次数恰好为6次有两种情况： ①最后盒子里剩余的全是白球，则第六次摸出的必是红球，且前五次有一次摸出的是白球， 四次摸出的是红球有CC4A;种不同的取法： ②最后盒子里剩余的全是红球，则第六次摸出的必是白球，且前五次中有两次摸出的是红球， 三次摸出的是白球有CCA种不同的取法； 所以游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为CSCA+CCA_ Ag 42 第4页共8页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 180 18 198 识别为良性 20 282 302 合计 200 300 500 记事件A=“抽中结节被系统识别为恶性”，事件B=“抽中结节实际为恶性”， 所求为条件概率P(8A)= P(AB)(AB)180.10 P(A)(A)19811 ……4分 (2)由题意得x=35,万=93,6-1974-6x3.5x9 =1.2, 91-6×3.52 a=-bx=93-1.2×3.5=93-4.2=88.8, 故经验回归方程为少=1.2x+88.8, 当x=8时，=1.2×8+88.8=98.4(%). 因为98.4%>97%，所以建议全院推广DeepFAN系统， …9分 (3)零假设为H:“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”无关， 由列联表，a=150,b=50,c=180,d=20,n=400, n(ad-bc)2 _400×150×20-50×180)2 -(a+b)cd)a 200×200×330×70 400×36000000=14400000000≈15.58， 200×200×330×70924000000 因为15.58>6.635， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“是否使用A1辅助与判断是否正确有 关. …13分 16.(1)因为当a=1时，f(x)=e*(x-1)2,所以f'(x)=e*(x-1)(x+1), 所以f1=e-1-2=4,f'(-1)=0, e 所以切线方程为p0x+),整理得) …3分 (2)因为函数f()在[1，+o)上单调递增， 所以f'(x)=e(x-a)(x-a+2)≥0在[1，+w)上恒成立， 所以(x-a(x-a+2)≥0在[1，+o)上恒成立， 又(x-a)(x-a+2)20的解为x≥a或x≤a-2, 所以当(x-a(x-a+2)≥0在[1，+o）上恒成立时，a≤1， 即实数a的取值范围(-o,]: …7分 (3)由(2)可知，f'(x)=e*(x-a)(x-a+2), 当x∈(-o,a-2)和x∈(a,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当xe(a-2,a)时，f(x)<0,f(x)单调递减 当a-2≥1即a≥3时，f(x)在[-1,1]上单调递增， 则f(x)=f四)=e(1-a}-9e,解得a=4或a=-2(舍去)： 当a≤1时，f()在[-1]上单调递增，则f(x)mx=f)=e(1-a°=9e, 第5页共8页 解得a=-2或a=4(舍去). 当-1<a<3时， 若-1<a<1,则a-2<-1,则f(x)在[-1，a]上单调递减，在[a,1]上单调递增， (x)=max (1).(-1), 又f四=e1-≤4e9e,(-)-+a49无解； e 若a=1,则a-2=-1,则f(y在[-l上单调递减，故f(x)=了(1)=4≠e,无解； 若1<a<3,则-1<a-2<1,则f(x)在[-1，a-2]上单调递增，在[a-2,1]上单调递减， 故fefa-2)e=9c,解得a=3+h号>3，无解 综上可得，实数a的值为-2或4 ..…15分 17.(1)记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件A,A, Pa)=P4)- 甲队、乙队空中栏截对方炮弹成功分别为事件，马，P②)号，P(因，)青 P0P4)P国P4加Pa] =4a-40-Pa]-1-5 …4分 (2)经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差X的可能取值为1,0，-1. Px-=Pa)=rQP6)4i-PB子}号 Px=0)=(®)+Pa画-5写112 Pnx=-=Pi)=P(团P)=[-P4]P--}分若 X的概率分布为： X 0 -1 1 3 1-? 6 所以X的数学期望8(0=1x兮+(x名名 …9分 66 (3)记3轮对抗后训练结束为事件C,记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件D. 记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为Y, P(Y=2)=P(X=1)P(X=0)P(X=1)+P(X=0)P(X=1)P(X=1) =1×1x11111 =32323391 P(Y=-2)=P(x=-1)P(X=0PX=-1HPK=0PK=-1PK=-1) -1×1x1+1x1x11 62626636 y 所以PC)-PV-2P-2)GPCD)-号所以Poc)- P(CD)9 4 P(C) 55 36 第6页共8页 在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为 …15分 18.(1)如图，作出符合题意的图形， P(E) 连接AC,BD相交于点O,连接OM, 四边形ABCD为菱形，所以O为BD中点， 又M为PD中点，所以PBIIOM, 又OMc平面MAC,PB丈平面MAC,所以PB∥平面MAC. …4分 B (2)如图，作出符合题意的图形， 因为VM-ABP=2M-ACD,有VRP=2C-AD, 所以V,-Ar=2VcD,得SAr=2S△AD, 有M是PD靠近D的三等分点，则AM=A正 2 又AD⊥AP,AP=√2，AD=1,所以 P(E) 6 12 3 PD=,DM-IPD- B 3 3 总 则AM+DM=AD'2,即AM⊥DM,AM⊥PD, C 又AM⊥CD,PDOCD=D,PD,CDC平面PCD, 所以AM⊥平面PCD,又AMc平面PAD,所以平面PAD⊥平 面PCD; …9分 (3)由ADLAE,以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如 P(E) 图所示 可得4@，0.0，c3-5。） 220D0,0),P0,5. 由题意得平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1) B 设平面PCD的一个法向量为n=(5,,),DC= 13。 (22,0 DP=(-1,y,z）, i DC=0 由 得 i.DP=0 2 -光+y+2=0 3-V3y i元 cos(m,n)= 同 令t=3-5y 因为AE=V2,所以y2+2=2,令y=√2sin6,三=√2c0s0, 则有1-3-5.5sn6,得V6m0+V21cs0=3, √2cos0 有sin(8+)= 31,得≥ √22+6 第7页共8页 3-√3y 即cos伉，)= 流列 网同 3-V3y V12+e 12+ 即二面角M-CD-A的余弦值的最小值 …17分 19.1)f=内在区同-牙9 4’4 上的最大值为 ,最小值为0 g(x)=tanx在区间 ππ 4’4 上的最大值为图=1，最小值为8 4 =-1, 所以（四的授值距"为行“中值为牙：g()的最值距"为2，“中值为0.4分 (2)假设y=h(x)在区间I上有最大值M,最小值m,存在x,x∈I,使得h(s)=M,(s)=m, 则：M-m=h(s)-h()=a(x2-x3,2)+b(x-为)+1g立， 又只与b有关，则 ∫x2-2=0 解得：+6=0， x-6≠0 这与y=h(x)定义域为(0，+o)矛盾， .不存在区间I使函数h(x)=x2+bx+lgr+c在区间I上的“最值距只与b有关. ……9分 (3)由题意可得：P(=1+2smxc0st=1+sm2x=1+2G(),即Gx)-P)-1 2 设F(x)在区间I上的最小值为a,最大值为b,设F(x)与G()的“最值距”分别为L,LG 则F2(x)的最小值为0，最大值为max(ad,b), ①如果F(x)在区间I上变号，即a<0<b, 若max(d2,b)=B,则Z。-6,0=1,=b-a,解得：a=b 2 2 a<06,则a8空0，则62，这与5m日5牙后，东去： 同理，若max(d,B)=a2,可得aK-2,这与F(y)=√反sinx+≥-√反矛盾，舍去： 4 ②如果F(x)在区间I上恒正，即0<a≤b, 此时L,-分，4-么-aa+b）L,=b-a,解得：a+b-2: 2 2 ③如果F(x)在区间I上恒负，即a≤b<0, 此时L-a,公-a-ba+b),=b-a,解得：a+b=-2: 2 2 综上：F()在区间1上的中值”为2或-2. …17分 第8页共8页 2026～2027学年第一学期九月调研高三数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：张敏 2026年9月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 5．将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6．若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．若一组样本数据所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B．设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C．若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D．线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 10．在中，，，，为直线上一点，且，则（    ） A．为钝角 B． C． D． 11．对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为，若，，当时，，则称为区间上的严格减函数．已知函数，的定义域为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称 B．若，，且，则 C．若，在上均为严格减函数且连续，则没有极值点 D．若，均存在最大值，则也一定存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．样本数据13，10，14，24，20，15，22，14的上四分位数为_________． 13． 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 14．有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的5个红球和4个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． (1)从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； (2)为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） (3)研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 16．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 17．某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 18．如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． (1)请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； (2)求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； (3)若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． ( 第 4 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年第一学期九月调研 高三数学 答题卡 贴条形码区： 班级： 姓名： 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1 CAT CB]CCJ CD] 5 CA]CB]CC]CD] 2 CA]CB]CC]CD] 6 CA]CB]CC]CDJ 3 CA]CB]CC]CD] 7 CAT CB]CC]CD] 4 C4]CB]CC]CD] 8 CAT CB]CC]CD] 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9 CA]CB]CC]C0] 10 CATCB]CCJ CD] 11 CAJ CB]CC]CD] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡 相应的位置上. 12 13. 14 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本大题共6小题，共计77分，请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明或演算步骤 15. 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16. 。。。。。。 .... 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。 。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. P(E) P(E) A D 图1 图二 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ￥卷号斡☒其的郵继到县盖杆屏‘蹈号癣☒蹈号蹈县安 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 61 2026～2027学年第一学期九月调研高三数学解答 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．C【详解】由题知，所以. 2．C【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 3．B【详解】对于A项，已知两边及其夹角， 根据余弦定理，可以唯一求出的长度，故A项能确定； 对于B项，已知三个内角，只能确定三角形的形状（即三角形相似）， 无法确定三角形的大小，因此的长度不确定，故B项不能确定； 对于C项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故C项能确定； 对于D项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故D项能确定.综上所述，不能确定长度的是B项. 4．D【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得， 当时，， 所以，则符合题意，所以B正确； 对于选项C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C正确； 对于选项D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域为，故D错误. 5．A【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到的图象， 因为点为在轴右侧的首个对称中心， 则，可得，即， 对于A，将的图象向左平移个单位，得到的图象，符合题意，所以A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以B不正确； 对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以C不正确； 对于D，将的图象向右平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以D不正确. 6．B【详解】设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得，所以满足题意的的最大值为. 7．C【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 8．B【详解】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．BCD【详解】选项A，若所有样本点都在斜率为负的直线上，说明两组数据完全负线性相关，线性相关系数，而非直线斜率，故A错误； 选项B，由条件概率公式，若，可推得，符合相互独立事件的定义，故B正确； 选项C，将代入回归方程得预测值，残差为真实值减去预测值，即，故C正确； 选项D，决定系数是判断回归模型拟合效果的指标，越趋近于1，说明残差平方和越小，模型对样本数据的拟合效果越好，故D正确. 10．ABD【详解】选项A，由余弦定理可得，，所以为钝角； 选项B，由余弦定理可得，，是锐角，，所以， 因为，所以是直角三角形，在中，； 选项C，在中，； 选项D，因为，所以，即． 11．BC【详解】对于A，若，的图象均关于原点对称，则，为奇函数， 即，，不妨设，， 因为，又，，所以， 同理，，， 即，不满足，因此，的图象不一定关于原点对称，选项A错误. 对于B，已知，，且， 对任意，，即是和中的较小值. 由于，，故它们的较小值，因此选项B正确. 对于C，若，在上均为严格减函数且连续，需分析的单调性.即，，当时，，. 分情况讨论若与没有交点，不妨设，可得与在上严格单调递减，且，则严格单调递减， 若与有交点，即存在使得， 当时，不论还是， 都有在均单调递减，又， 所以为上的严格减函数，没有极值点，因此选项C正确. 对于D，令，，则与的最大值均为0， 因为，所以，没有最大值，因此选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．21【详解】将数据从小到大排序得：， ，所以该组数据的上四分位数为. 13． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）. 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以. 14．【详解】从9个球中取6个球有种不同的取法， 游戏结束时取球次数恰好为6次有两种情况： ①最后盒子里剩余的全是白球，则第六次摸出的必是红球，且前五次有一次摸出的是白球，四次摸出的是红球有种不同的取法； ②最后盒子里剩余的全是红球，则第六次摸出的必是白球，且前五次中有两次摸出的是红球，三次摸出的是白球有种不同的取法； 所以游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 识别为良性 合计 记事件“抽中结节被系统识别为恶性”，事件“抽中结节实际为恶性”， 所求为条件概率． ………………4分 （2）由题意得，，，， 故经验回归方程为， 当时，（）． 因为，所以建议全院推广DeepFAN系统． ………………9分 （3）零假设为：“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”无关， 由列联表，，，，，， ， 因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关． ………………13分 16．（1）因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； ………………3分 （2）因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； ………………7分 （3）由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）. 当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解. 综上可得，实数的值为或. ………………15分 17.（1）记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，． ， ． ………………4分 （2）经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差的可能取值为，，． ， ． ， 的概率分布为： 所以的数学期望． ………………9分 （3）记3轮对抗后训练结束为事件，记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件． 记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为， ， ， 所以，，所以． 在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为． ………………15分 18．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． ………………4分 (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； ……………9分 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． ………………17分 19．（1）在区间上的最大值为，最小值为， 在区间上的最大值为，最小值为， 所以的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0．…………4分 (2)假设在区间上有最大值，最小值，存在，使得， 则：， 又只与有关，则  解得：， 这与定义域为矛盾, ∴ 不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关． ………………9分 （3）由题意可得：，即， 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则的最小值为0，最大值为， ①如果在区间上变号，即， 若，则，解得：， ∵，则，则，这与矛盾，舍去； 同理，若，可得，这与矛盾，舍去； ②如果在区间上恒正，即， 此时，解得：； ③如果在区间上恒负，即， 此时，解得：； 综上：在区间上的“中值”为2或. ………………17分 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年第一学期九月调研高三数学试卷 (时间：120分钟满分150分) 命题：顾冬生审卷：张敏 2026年9月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2},集合A={-1,1},B={-3,-2,-1},则(CA)∩B=() A.{-1} B.{-1,1} C.{-3,-2} D.{-3,-2,-1} 2.设2(=+)+3(=-)=4+6i,则z=() A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i A B 3.如图，为了测量障碍物两侧A,B之间的距离，根据以下数据， 不能确定AB长度的是() A.a,b,y B.a,B,y Q C.a,B,Y D.B,b 2 4.已知函数f(x)=a+ 2一1为奇函数，则下列结论不正确的是 3 () A.f(x)的定义域为{x|x≠0} B.a=3 C.f(x)的单调递减区间为(-o,0),(0,+o) D.f(x)的值域为 (0.a) 5.将函数f)-s@>0的图象平移得到函数()-snx+）的图象，且点（0 为曲线y=g(x)在y轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是() A.向左平移元个单位长度 B.向右平移汇个单位长度 4 C.向左平移号个单位长度 D.向右平移5个单位长度 6.若甲盒中有3个红球，2个黄球，1个白球，乙盒中有x个红球(x∈N),2个黄球，3个 白球，这些球的大小、材质完全相同现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随 机攻出，个球。芳件可状取到塔额色相同的强率不超过音·则的最大植为《) A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且OA=2xOB+yOC,则 士)的最小值是() 13 A·28 B.8 3 C. 11 5 D. 8.在正四棱柱ABCD-ABC1D中，AB=4,A4=5,E,F分别为棱AB,AB的中点， G,H均为线段EF上的动点，GH=2,点G在线段FH上，当AH+AG取得最小值时， 直线CH与底面ABCD所成角的正切值为() A.3V5 B.35 C.v5 D.4V5 10 20 5 15 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是() A。若一组样本数据所有样本点（化，y）(i=12心）都在直线y=子+1上，则这组 样木数据的战性相关系数？-号 B.设A、B为两个随机事件，P()>0,若P(AB)=P(A),则事件A与事件B相互独 立 C.若y关于x的线性回归方程为=0.26x-0.7,则样本点(3,0.06)的残差为-0.02 D.线性回归分析可用决定系数R判断模型拟合效果，R越趋近于1，则拟合效果越好 10.在△ABC中，AB=7,AC=5,BC=9,D为直线BC上一点，且AB⊥AD,则() A.∠BAC为钝角 B.AD=7N页 5 C.BD=8 D.sin∠ADC= 11.对严格减函数有如下定义：设函数∫(x)的定义域为I,若x,x2∈I,当x<x时， f()>f(x),则称∫(x)为区间I上的严格减函数.已知函数∫(x),g()的定义域为R, 若h(x)=min{f(x)g(x)},则下列说法正确的是() A.当∫(x),g(x)的图象均关于原点对称时，h(x)的图象也关于原点对称 B.若f(x)≥M,g(x)≥N,且M≥N,则h(x)≥N C.若∫(x),g(x)在R上均为严格减函数且连续，则h(x)没有极值点 D.若f(x),g(x)均存在最大值，则h(x)也一定存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.样本数据13,10,14,24,20,15,22,14的上四分位数为 13.已知函数f(x)=-4nx-x+m在[L,4]上存在单调递减区间，则a的取值范围为 14.有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的5个红球和4个白球， 不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏 结束时取球次数恰好为6次的概率为 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 l5.肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶 性.某医院回顾性抽取500枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性200 枚、实际为良性300枚：其中系统正确识别恶性180枚、正确识别良性282枚，其余识别错 误. (1)从500枚结节中随机抽取1枚，已知该结节被系统判读为恶性，求它实际为恶性的概率； (2)为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前6个月医生 的平均诊断准确率(%)与月份x的数据： 2 3 5 6 y(%) 90 91 93 93 95 96 求y关于x的经验回归方程y=bx+a,并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全 院推广DeepFAN系统；（若预测值超过97%，则建议全院推广） (3)研究团队进一步让12名低年资医生在“无AI辅助与“有AI辅助”两种情形下，各自独立 判读200枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算x统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“是否使用AI辅 助与“判断是否正确有关？ (参考数据：①2-21，宁y=58, x91,y=1974,6-网 ∑x2-1m2 a=y-bx; n(ad-be)? (a+b)()d6.635) 16.己知函数f(x)=e(x-a),a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程： (2)若函数f(x)在[1，+o)上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在[-1,1]上的最大值为9e,求实数a的值. 第3页共4页 17.某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，己知无障碍时甲、乙 两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分 别为}，}，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方日标，另一方再进行空中拦截，轮流进行， 各攻击对方目标一次为1轮对抗训练.经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目 标两次时，演习训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为 事件A,乙队击中甲队目标为事件B. (1)求概率P(A)、P(B): (2)设随机变量X表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求X的分布列和 数学期望： (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率。 18.如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， AD⊥AE,AE=√互.将AADE沿AD翻折至△ADP,如图2.点M在线段PD上运动. P(E) B D (1)若PM=MD,证明：PB∥平面MAC; (2)若AM⊥CD,且VM-ABP=2YM-AcD,证明：平面PAD⊥平面PCD; (3)求二面角P-CD-A的余弦值的最小值. l9.定义：设函数y=f(x)在区间I上有最大值M,最小值m,则称M-m为函数y=f(x) 在区间I上的“最值距，M+为y=∫(x)在区间I上的“中值” 1)请直接写出f(x)=州和g(x)=tanx在区间44] ππ 上的“最值距和“中值”； (2)求证：不存在区间I使函数h(x)=ax2+bx+lgx+c在区间I上的“最值距'只与b有关； 3)若F(e)=sinx+cosx与G(x)=】sin2x在区间I上的最值距相同，求：F(d)在区间1上 2 的“中值”. 第4页共4页