精品解析：江苏淮安名校协作体2026-2027学年高三上学期9月质量监测数学试题

2026-2027学年高三9月数学质量监测 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过解不等式求出集合，再利用交集的定义求得 【详解】由得，解得. ∴， 所以. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法计算化简，然后利用虚部概念求解即可. 【详解】， 的虚部是 故选：C 3. 已知非零向量，，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，所以，所以； 当时，， 所以. 所以“”是“”的充分必要条件. 4. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为， 所以样本点在处的残差为. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果. 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 6. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： .  7. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立等量关系式求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 即， 又，， 中，， ， 即 解得 由此可得双曲线的离心率 故选：C． 8. 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围. 【详解】由得：， 当时，或； 作出图象如下图所示， 则有三个不等实根，与有四个不同交点， ，解得：； 当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，分别过点作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与相切 B. 为锐角三角形 C. 三点共线 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的性质可判断A；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断B；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断C；求出，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以线段的中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与准线相切，故A项正确； 对于B，连接，如图， 因为，， 所以，所以， 所以即，故B项错误； 对于C，抛物线的焦点为， 设直线，， 将直线方程代入抛物线方程化简得，，则， 又， 因为，， 所以，所以，，三点共线，故C项正确； 对于D，，， 则，得， 因为，所以，等号成立时，， 故， 故D项正确． 故选：ACD 10. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是周期为的周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 11. 如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面BOD截该正方体所得截面的面积为 B. 点Q的轨迹长度为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面截该正方体所得截面为，面积为，得A错误；分别取的中点，由平面平面，得点的轨迹长度为，B正确；由平面平面可知，点到平面的距离为定值，取点在点的位置，利用等积法求得点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，根据，当点为线段的中点时，取得最小值，取得最大值，最大值为，得C错误；根据点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取得最大值，得三棱锥体积的最大值为2，D正确． 【详解】对于A，如图，延长，与交于点，连接， 所以平面截该正方体所得截面为，易知是边长为的正三角形，其面积，故A错误； 对于B，分别取的中点，连接， 则六边形为正六边形， 因为分别为棱的中点，所以∥，又平面，平面， 所以∥平面， 因为∥，∥，所以， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，所以平面平面， 则点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，由平面平面可知，点到平面的距离为定值， 不妨取点在点的位置，设点到平面的距离为， ， 得，即=，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点运动到线段的中点时，取得最小值，取得最大值，此时易得， 则直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C错误； 对于D，因为∥，∥，所以∥， 又平面，平面，所以∥平面， 要使三棱锥的体积取得最大值，则点到平面的距离最大， 易知当点在上运动时，点到平面的距离最大，不妨取点与点重合， 设，连接，显然， 由于，易得，，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确． 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 13. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，定义域为， ，所以为奇函数. 因为，在上递增，易知函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过在区间上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得的范围，再通过在区间上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得的范围，综合可得答案. 【详解】对于函数， ，令， 则，因为在区间上单调递减， 所以恒成立，即恒成立，又， 所以， 又在区间上单调递增， 所以恒成立， 所以，解得， 综合得. 故答案为：. 四、解答题：共5大题，满分77分． 15. 已知数列的前n项和为，，且点在直线上． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的关系消去易得，（），检验时满足，得等比数列，即可求得其通项； （2）将（1）结论代入得，写出，利用错位相减法，即可求得. 【小问1详解】 由题意，，当时，， 因 ①，当时， ②， 由①-② 可得，，即， 又因时，， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则. 【小问2详解】 由（1）可得，则， 于是，， ③ ， ④ 由③-④：， ， ， ， 则得. 16. 已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 （1）求答完前两道题后两人各得1分的概率； （2）设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： X 3 5 7 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）设事件为第i道题甲得1分，事件为第j道题乙得1分，由题可得，，据此可得答案； （2）由题可得随机变量X的取值为，由（1）可得，然后可得分布列及对应期望. 【小问1详解】 由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得1分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”. 设事件为第i道题甲得1分， 事件为第j道题乙得1分， 事件为答完前两道题后两人各得1分，则. 则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥， 所以，, ； 【小问2详解】 随机变量X的取值为. ； ； . 所以随机变量X的分布列为 X 3 5 7 P 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 综上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三9月数学质量监测 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，分别过点作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与相切 B. 为锐角三角形 C. 三点共线 D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是周期为的周期函数 D. 11. 如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面BOD截该正方体所得截面的面积为 B. 点Q的轨迹长度为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为2 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 14. 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______． 四、解答题：共5大题，满分77分． 15. 已知数列的前n项和为，，且点在直线上． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 16. 已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 （1）求答完前两道题后两人各得1分的概率； （2）设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $