精品解析：湖南衡阳市实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

湖南衡阳市实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 考生须知： 1．本试卷共三大题，26小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】解：A、∵ 中，，无平方因式，且不含分母， ∴ 是最简二次根式． B、∵，含有分母， ∴ 不是最简二次根式． C、∵，含有分母， ∴ 不是最简二次根式． D、∵，其被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 故选：A． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C、D进行判断． 【详解】解：A、，故选项的计算错误； B、不能合并，故选项的计算错误； C、，故选项的计算正确； D、，故选项的计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4. 不解方程，判断方程的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定． 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式进行求解并判断即可． 【详解】解：∵ ∴ 原方程中，，，， ， 原方程有两个不相等的实数根 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答此题的关键，当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 5. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【详解】解：设点P表示的数是， 图中虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【详解】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 7. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，由此代入计算即可． 【详解】解：若、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故选：B ． 8. 某公司今年1月的营业额为2400万元，按计划第二季度的总营业额要达到9200万元，设该公司2，3两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. 2400(1+x)2=9200 B. 2400(1+x%)2=9200 C. 2400(1+x)+2400(1+x)2=9200 D. 2400+2400(1+x)+2400(1+x)2=9200 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出2月，3月的营业额进而得出等式即可． 【详解】解：设该公司2、3两月的营业额的月平均增长率为x． 根据题意列方程得： 2400+2400（1+x）+2400（1+x）2=9200． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键． 9. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，如果面积为，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，由平行可判定，结合题意可得，，从而计算出，．根据平行四边形对角线平分的两个三角形的面积相等，则四边形的面积为． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 10. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点，利用勾股定理可计算出，容易证明，则，从而得到点的坐标为．根据题意可知，旋转次等同于旋转，即关于点对称，因此点的对应点的坐标为． 【详解】解：如图，作轴于点， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 根据题意，每次绕点旋转， ∴每旋转4次为一个循环， ∵， ∴旋转次等同于旋转，即关于点对称， ∴点的对应点的坐标为． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 要使有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数， 因此可得， 解得． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 14. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 15. 如图，在中，D，E分别是和的中点，F是延长线上一点，，交于点G，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考点了三角形的中位线定理及全等三角形的判定及性质，证得三角形全等是解题的关键．通过全等三角形和，可得出；根据是的中位线，可求出的值． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 16. 若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ___． 【答案】且 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝1﹣4k×（﹣）＝1+3k≥0，且k≠0， 解得： 且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的定义及根的判别式求系数，正确理解一元二次方程根的三种情况是解题的关键，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 17. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 18. 如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，恰好为直角三角形，有两种可能：①，②，设，运用三角形相似列比例式解方程即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 根据折叠的性质可知， 设，则． 分类讨论：①当时，则， ∴， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：； 故所求的长度为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 【答案】 解法一：矩形中，，， ． ， ， ． ． 解法二：矩形中，． ，， ， ． 【解析】 【详解】略 21. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 22. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 23. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【解析】 【分析】（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可； （2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，； ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：．， ∵让顾客得到更大的实惠，∴. 答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，在菱形中，点E在边上，连接，交对角线于点F，过点E作，交于点G． （1）若，求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据平行线的性质可证，可得，根据可得，再根据，可得，，从而证得，且，从而求得的长； （2）由（1）同理可证：，得到，证明，得到，进而得到，从而证得． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ， 又四边形为菱形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明： 由（1）同理可证：， ， ， ， ， ， ． 25. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）一元二次方程是“有爱方程”，见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． 【小问2详解】 证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． 【小问3详解】 是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 26. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）正方形的边长为 【解析】 【分析】（1）根据手拉手模型证明，即可得到； （2）根据等边对等角得到，，进而证明，则可证明，得到，再证明，即可证明； （3）连接，由正方形的性质得到，，证明，得到，再由正方形的性质得到，则，可得，设，则，由勾股定理得，，解得或（舍去），则正方形的边长为． 【详解】解：（1）∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示，连接， ∵，分别是正方形、对角线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是正方形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与的，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟知全等三角形和相似三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南衡阳市实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 考生须知： 1．本试卷共三大题，26小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不解方程，判断方程的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定． 5. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 6. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 8. 某公司今年1月的营业额为2400万元，按计划第二季度的总营业额要达到9200万元，设该公司2，3两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. 2400(1+x)2=9200 B. 2400(1+x%)2=9200 C. 2400(1+x)+2400(1+x)2=9200 D. 2400+2400(1+x)+2400(1+x)2=9200 9. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，如果面积为，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 要使有意义，则x的取值范围是______． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 13. 已知，则的值为________． 14. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 15. 如图，在中，D，E分别是和的中点，F是延长线上一点，，交于点G，且，则__________． 16. 若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ___． 17. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 18. 如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 20. 如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 21. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 22. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 23. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 24. 如图，在菱形中，点E在边上，连接，交对角线于点F，过点E作，交于点G． （1）若，求的长． （2）求证：． 25. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 26. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $