25.1 一元二次方程的概念 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学人教版25.1一元二次方程同步练，分A/B/C三层，基础巩固概念与运算，提升强化推理与综合应用，综合培养创新与迁移能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础练|一元二次方程概念、系数识别、解法及简单实际应用|以选择、填空为主，如增长率问题（第7题）培养模型意识| |B组提升练|方程变形、根的性质、分类讨论及利润问题|含解答题，如分类讨论方程类型（第18题）发展推理意识| |C组综合练|新定义“同伴方程”及换根法迁移应用|新定义题，如换根法（第21题）提升创新意识|

九年级数学（人教版）第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 A组 基础练 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( ) A.x2－1＝0 B.y2＋x＝1 C.2x＋1＝0 D.x＋＝1 3.方程2x2＝8x＋2的二次项系数、一次项系数和常数项分别为( ) A.2，8，2 B.－2，－8，－2 C.2，－8，－2 D.2，－8，2 3. 把方程x(x+1)=5(x−2)化成一般形式，则a+b+c 的值是( ) A. −3 B. 7 C. −5 D. 1 4. 关于x的一元二次方程(4−a)x2+a2x=16x+1 化为一般形式后不含一次项，则a 的值为( ) A. 0 B. ±4 C. 4 D. −4 5.一元二次方程x2－6x＋8＝0的解是( ) A.x＝2 B.x＝－2或x＝－4 C.x＝4 D.x＝2或x＝4 6.若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－kx＋k＋2＝0的一个根，则k的值为( ) A.－2 B.2 C. D.6 7.国家粮食安全是一个国家发展的重要保障.某农科试验基地两年前有50种种子，经过两年的不断培育，现在有128种种子.若培育的种子种类平均每年的增长率为x，则符合题意的方程为( ) A.50x2＋1＝128 B.(50＋1)x2＝128 C.50(1＋x)2＝128 D.50(2＋x)2＝128 8.关于x的方程(m−)−x+2=0 是一元二次方程，则m 的值为 . 9.若m是关于x的方程x2−2x−1=0 的解，则代数式6m−3m2+2 的值是 . 10.已知一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边的长相差3.设较长的直角边长为x，则所列方程为　 　.(化为一般形式) 11.根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）某人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI 技术.据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次.求下载量的日平均增长率x ； （2）某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30 m、宽为20 m 的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用.如图,为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504 m2，求小路的宽x（单位：m ）. B组 提升练 12.方程(x＋2)(x－3)＝4x(x＋1)的一般形式是( ) A.3x2＋5x－6＝0 B.3x2＋5x＋6＝0 C.5x2＋5x＋6＝0 D.3x2＋3x＋6＝0 13.若a＋b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一根是( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 14. 若一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)+c=0 化为一般形式后为3x2−2x+8=0，则一次函数y=x+c 的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15.若a是方程x2＋2x－20＝0的一个实数根，则2a2＋4a－19＝ .  16.已知a是方程x2−2 026x+1=0 的一个根，则a2−2 025a+的值为_______. 17.设α，β是方程x2－2025x－3＝0的两个根，则(α2－2025α－1)(β2－2025β＋2)＝ .  18.已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0. (1)是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值. (2)是否存在m，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值. 19.某服装店销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元.为了减少库存，商店采取降价措施.已知每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装的利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？(列方程，并化为一般形式且二次项系数为正数) C组 综合练 20.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和(x−2)(x+3)=0 有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.若关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的参数同时满足a+b+c=0 和4a+2b+c=0，且该方程与(x+2)(x−n)=0 互为“同伴方程”，则n= ______. 21.请阅读下列材料：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝. 把x＝代入已知方程，得()2＋－1＝0，故所求方程为y2＋2y－4＝0. 这种利用根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用材料所提供的“换根法”求新方程.(要求：把所求方程化为一般形式) (1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数； (2)已知方程2x2－7x＋3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 A组 基础练 1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 7.C 8.- 9.-1 10.2x2－6x－91＝0 11.解：（1）48(1+x)2=150，化成一般形式为48x2+96x−102=0 . （2）30×20−(30x+20x−x2)=504 ，化成一般形式为x2−50x+96=0 . B组 提升练 12.B 13.B 14.D 15.21 16.2025 17.10 18.解：(1)存在，m＝1. (2)存在，m＝0或m＝－1. 19.解：设每件童装应降价x元. 根据题意，得(30＋6×)(40－x)＝1000，化为一般形式，得3x2－90x－200＝0. C组 综合练 20.1或2 21.解：(1)设所求方程的根为y，则y＝－x，所以x＝－y. 把x＝－y代入已知方程，得(－y)2＋(－y)－2＝0，故所求方程为y2－y－2＝0. (2)设所求方程的根为y，则y＝x，所以x＝3y. 把x＝3y代入已知方程，得2×(3y)2－7×3y＋3＝0， 故所求方程为6y2－7y＋1＝0. $