2026～2027学年北师大版八年级数学上册第一次月考卷（第一～二章勾股定理、实数）

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第一次月考卷，聚焦勾股定理与实数，通过“引葭赴岸”文化情境、消防云梯实际问题及遥控赛车动态模型，考查抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数判断、勾股数识别、立方根概念|基础概念辨析，如第2题区分勾股数与非整数组| |填空题|8/24|直角三角形边长计算、二次根式意义、折叠问题|第12题分类讨论第三边，考查推理意识| |解答题|6/66|勾股定理应用、二次根式运算、阅读理解创新|23题遥控赛车运动建模，24题类比探究二次根式化简，发展模型观念与创新意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年北师大版新教材八年级数学上册 · 第一次月考卷（第一~二章勾股定理、实数） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数； B、是有限小数，属于有理数； C、是无限不循环小数，因此仍是无限不循环小数，属于无理数； D、是分数，属于有理数. 2．下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的判断，勾股数必须为正整数且满足两小边的平方和等于最大边的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，且均为正整数，是勾股数． B、，且均为正整数，是勾股数． C、，且均为正整数，是勾股数． D、，但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数． 故选：D． 3．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 是的立方根， 故选：D． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或式子；②被开方数不含分母，据此求解即可． 【详解】选项A：，被开方数7是质数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 选项B：，即，被开方数含分母10，故不是最简二次根式． 选项C：，被开方数12可分解为，其中4是平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式． 选项D：，被开方数为完全平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故不符合条件． 故选：A． 5．我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算．先确定，再根据四舍五入法保留一位小数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用四舍五入法把的结果保留一位小数为， 故选：B． 6．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 7．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了求绝对值，求算术平方根，求立方根，实数的大小比较． 估算出的取值范围，可判断A、D，根据算术平方根的定义，立方根的定义，可判断B、C． 【详解】解：∵， ∴， ∴，A错误； ，B错误； ，C错误； ∵， ∴，D正确； 故选：D． 8．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，整式的加减运算，熟知和绝对值的性质是解题的关键． 先判断，的取值范围，并分别判断，的符号，再根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：且， ，， ， 故选：D． 10．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．______． 【答案】/ 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】本题考查的是实数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案. 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 12．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为______． 【答案】34或16/16或34 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理求出第三条边长的平方即可． 【详解】解：当3和5都是直角边时，第三条边长的平方为； 当5是斜边长时，第三条边长的平方为． 故答案为：34或16． 13．若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此列出不等式组求解即可，解题关键是正确列出不等式并求解。 【详解】解：由代数式有意义可得 且 解不等式得， 由解得， ∴不等式组的解集为． 14．如图，根据图中标注在点所表示的数为______．    【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：到的距离为：， ∴点所表示的数为； 故答案为：． 15．如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高． 连接，交于点，由折叠性质知，，，得到垂直平分，推出，根据，，，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，即可得出． 【详解】解：如图，连接，交于点F． 由折叠知，． 垂直平分， ． ，，， ． ． ， ． ． 故答案为： 16．一个三角形的底边长为，该边上的高为，将其底边长增加1，高减少1，面积不变，则和满足的关系是______． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据三角形面积公式计算变化前后三角形的面积，结合“面积不变”建立等式并整理即可获得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的底边长为，该边上的高为， 则面积为， 将其底边长增加1，高减少1，则面积为， ∵底和高变化后面积不变， ∴， 整理可得． 故答案为：． 17．如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 【答案】 4 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了程序的流程图，有理数的混合运算，解方程，弄清题中的程序流程是解本题的关键．根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3，将代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果；输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，即，解方程即可． 【详解】解：把代入可得： ， ， ， ， ∵， ∴再把代入可得： ， ， ， ， 故最后输出的结果是； ∵输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为， ∴， ， ， ， ． 故答案为：，4． 18．如图，M为矩形纸片的边上的一点，将纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线上的点处，点B落在点处，折痕为．若，则的长为 __．    【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形和折叠问题，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（1）计算： （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值、二次根式的混合运算、二次根式的性质， （1）先化简二次根式，再计算乘除，最后计算加减； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ． 21．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 【答案】(1) 是直角三角形，理由： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由勾股定理求出，得出，从而求解； （）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则____________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图②，在，，求的面积． 【答案】（1）；（2）9；（3）12 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， 即， 解得， 所以， 所以． 23．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 24．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 试卷第6页（共16页） 试卷第11页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 20262027学年北师大版新教材八年级数学上册 第一次月考卷（第一二章勾股定理、实数） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列实数中，属于无理数的是() A.4 B.3.1415 C.π-3 D.7 2.下列各组数中，不是勾股数的是() A.3,4,5 B.6,8,10 C.7,24,25 D.1.5,2,2.5 3.-2是下列哪个数的立方根() A.4 B.8 C.-4 D.-8 4.下列二次根式中，最简二次根式是() AV分 B.V0.3 C.12 D.vm? 5,我们知道万是一个无理数，用四合五入法把万的结果保留一位小数为《) A.2.5 B.2.6 c.2.7 D.2.8 6.如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm,高度为12cm,吸管长为 25cm a cm (底端在杯子底上)，露在水杯外面的吸管长度为，则“最小为() A.11 B.12 C.13 D.14 7.下列各式正确的是() A.2-6=2-6 B.-V2+8=0 c.V25=t5 D.V6<2.5 试卷第1页（共16页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先鸟笔 8.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适 与岸齐，问水深、葭长各几何”，其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有 一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？ 这个问题中，池水的深度是( A.8尺 B.28尺 C.12尺 D.10尺 9.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简6+a+b-口-的结果为(） a 06→ A.-3b B.-2a C.a-2b D.-b 5m(AB=CD=25m） 10.如图，已知消防云梯最长只能伸长到 消防车高3m,救援时云梯伸长至最长， 23m(AE=23m) 在完成从 高的A处救援后，还要完成比A处高4m的点C处的救援，则消防车需要从点B 处向点D处移动的距离为()m, 救援点C 救援点④ D E 地面 A.8 B.7 C.4 D.3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 2-5= 12.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为一， 1 13.若代数式 x-2+3-x有意义，则x的取值范国是 14.如图，根据图中标注在点A所表示的数为一· 0 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,D是AC边上的一点.将△ABC沿BD所在直线折叠，点 试卷第2页（共16页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 C的对应点为点E.若CD=1,则C,E两点之间的距离为」 B 16.一个三角形的底边长为m,该边上的高为n,将其底边长增加1，高减少1，面积不变，则m和n满 足的关系是一。 17.如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算.请根 据这个程序回答问题，当输入x为-2时，最后输出的结果y是一；若输入x时，运算进行了一次停止， 输出的结果y为-3，则输入的x为 输入x 立方 >() 是 否 结果是否大于1> 输出y 18.如图，M为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，将纸片沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处， MD'与BC交于点N.继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线MD'上的点A处，点B落在点B处，折 痕为妮，若Mw=35, EC 则心的长为一· B 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19.计算： -列5 2(5+15-1+(32-月 试卷第3页（共16页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 20.()计算：（⑧+V24)-2 (2)已知a=5+1,b=V2-1 ,求代数式0-b 的值. BCD中，∠B=90°，AC为四边形1BCD的对角线，已知 AB=15 BC=10 21.如图，在四边形 CD=4.AD=3 D B (I)请判断△ACD的形状，并说明理由； (2)过点D作DE⊥AC于点E,求线段CE的长. 22.【合作探究】如图①，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15,过点A作AD⊥BC交BC于点D, 求BD的长.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过 程 B C 图① 图② (1)设BD=x,则CD= (用含x的代数式表示)： (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程，并求出x的值： 【类比应用】如图@，在M8C,4B=65,BC=4,4C=10,求△MBC的面积 23.小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4s的速度由西向东行驶，同时小林的 赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶（如图），已知赛车之间的距离小于或等于25m时，遥控 信号会产生相互干扰，AC=40m,AB=30m. 试卷第4页（共16页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 北 C →东 6 B (1)出发3s时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 24.阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 例如：3+25=(+V2,善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m,n均为整数时，若a+bN5=(m+nN2,则有a+6N2=m+2m+2mnN2.a=m㎡2+2， 6=2m。这样小敏就找到了一种把类似4+65 的式子化为平方式的方法 例如：化简V3+2V2 解：因为3+25=1+2+22=1P+(2j+2x1xV2=(1+2. 所以3+2W反=1+2=1+V2 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： 0当a、6,m、均为整数时，若+6N5=(m+m5,用合m、n的式子分别表示a、b则：a=一 b二5 (2)化简： V11-6N2 8aa1sas2,化：o2w6i-0wo司 试卷第5页（共16页）