精品解析：广东湛江市寸金培才学校 2025-2026学年第二学期八年级期中核心素养评价数学科试卷

湛江市寸金培才学校2025-2026学年第二学期 初二期中核心素养评价数学科试卷 满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案． 【详解】解：A. =，不是最简二次根式，故A不符合题意； B.= ，不是最简二次根式，故B不符合题意； C. 是最简二次根式，故C符合题意； D.，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，正确理解定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解决问题时根据题目所给的已知条件，利用平行四边形的性质：平行四边形的对角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定． 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形， ∴为矩形． 选项A：是平行四边形的对边相等性质，不能判定矩形； 选项B：是平行四边形的对角相等性质，不能判定矩形； 选项D：能判定平行四边形为菱形，不能判定矩形； 故选：C． 4. 如图，在数轴上点表示的数为2，过点作，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图、实数与数轴、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为2， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：C． 5. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质判断即可； 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 不能合并，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质应用，准确计算是解题的关键． 6. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质与勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， 根据勾股定理可得， ， ∴橡皮筋被拉长了：．， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，解题的关键是从题目中提取出垂直平分线． 9. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 10. 如图，在中，，，若以边和边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的面积是，的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质得出，，，即可得出结果． 【详解】解：，， 和为等腰直角三角形， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、DE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是_____m． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点A、点B分别是CD、DE的中点， ∴AB是△CDE的中位线， ∴AB＝DE＝8（m）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线，解题关键是熟练运用中位线的性质进行计算． 12. 如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是___________ 平方米． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：菱形花坛，米，米， ∴菱形花坛的面积是米， 故答案为：120 ． 13. 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿A→B→C所走的路程是____m．(结果保留根号) 【答案】 【解析】 【分析】由图形可以看出AB=BC，要求AB的长，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，运用勾股定理求出计算和即可． 【详解】解：折线分为AB、BC两段， AB、BC分别看作直角三角形斜边， 由勾股定理得AB=BC==米． 小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为+=2米 故答案为2米. 【点睛】本题考查了勾股定理的简单应用，在图形中正确找到直角三角形是解题关键. 14. 已知是的三边长，且满足关系式，则的形状为____ 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】首先根据非负数的性质即可列出方程组求得a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断． 【详解】解： 根据题意得：，解得：， ∵12+12=()2，即a2+b2=c2， 所以△ABC的形状是等腰直角三角形． 故答案是：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质以及勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是关键． 15. 如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、路径最短问题、勾股定理，掌握利用轴对称解决路径最短问题时解题的关键． 由正方形的性质可知，点B与点D关于对称，由轴对称的性质可知，当点E、P、D在一条直线上时，有最小值，最后根据勾股定理求得最小值即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 在正方形中，点B与点D关于对称， 、， ， ， ， 由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，有最小值， 最小值为， 在中，， 因此的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键 （1）先化简各二次根式，再合并同类项即可； （2）先计算二次根式的乘除运算，化简二次根式，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. （1）已知：，求代数式的值． （2）已知：，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先求出、的值，再对式子进行化简，最后整体代入是解此题的关键． （1）先求出、的值，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案； （2）先求出、的值，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴． 18. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．） 【答案】折断处离地面的高度是4.55尺． 【解析】 【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x）尺， 根据题意得：x2＋32＝（10−x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面的高度是4.55尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：∵四边形是平行四边形． ∴，，． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线． ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识， （1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论． （2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点A作，垂足为H，如图： 由（1）知，且，， ∴， ． ∵， ∴， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 20. 如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． （2）求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】（1） （2）24秒 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质： （1）作于D，求出的长，即可解决问题． （2）如图以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点，求出的长，利用时间、路程、速度的关系计算即可． 【小问1详解】 解：作于D， ∵， ∴， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离． 【小问2详解】 解：如图，以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵卡车P沿道路方向行驶的速度为， ∴卡车经过的时间秒， 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为24秒． 21. 如图1，在平行四边形中，，对角线，点是线段上的一个动点，连接．沿剪下，并将其沿方向平移至的位置，使点与点重合，点与点重合，得到如图2所示的四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）当四边形为矩形时，求的长度． 【答案】（1） 平行四边形，理由如下： 由平移的性质可得． ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行的性质、平行四边形的判定定理、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平移的性质可得，再根据平行四边形的判定定理即可得证； （2）由矩形的性质得出，由勾股定理逆定理得出，由等面积法得出，求出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动． 小亮准备了矩形纸片，其中是的中点，将沿折叠，点的对应点为． 观察发现：（1）如图1，当点恰好在边上时，小亮发现与存在一定的数量关系，其数量关系是______． 探索猜想：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）当点在矩形内部时，若，直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）； （2）．证明如下： 如图，连接， 在矩形中，，，． ∵是的中点， ∴． ∵沿折叠后得到， ∴，，， ∴． 在和中，，, ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形和折叠的性质可得到，故而证得四边形矩形，结合，可得出矩形是正方形，即可得出答案． （2）如图，连接，矩形和折叠的性质，得出，即可得出答案． （3）设，，故．结合（2）可得，故，．在中，结合勾股定理，得，列出方程，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）在矩形中， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠 ∴，， ∴， ∴四边形矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴． 答案为：． （2）略 （3）．证明如下： 设，， ∴． 由（2）得， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，折叠的性质，掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 23. 综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①证明：作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； （3）的长为或或或． 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①略 ②作于点L， 同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形， 同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ③当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； ④当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； 综上，的长为或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市寸金培才学校2025-2026学年第二学期 初二期中核心素养评价数学科试卷 满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上点表示的数为2，过点作，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 9. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 10. 如图，在中，，，若以边和边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的面积是，的面积是，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、DE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是_____m． 12. 如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是___________ 平方米． 13. 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿A→B→C所走的路程是____m．(结果保留根号) 14. 已知是的三边长，且满足关系式，则的形状为____ 15. 如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2） 17. （1）已知：，求代数式的值． （2）已知：，求代数式的值． 18. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． （2）求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 21. 如图1，在平行四边形中，，对角线，点是线段上的一个动点，连接．沿剪下，并将其沿方向平移至的位置，使点与点重合，点与点重合，得到如图2所示的四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）当四边形为矩形时，求的长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动． 小亮准备了矩形纸片，其中是的中点，将沿折叠，点的对应点为． 观察发现：（1）如图1，当点恰好在边上时，小亮发现与存在一定的数量关系，其数量关系是______． 探索猜想：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）当点在矩形内部时，若，直接写出线段与的数量关系． 23. 综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $