广东湛江市吴川市广大实验学校2024-2025学年度八年级第二学期期中考试数学试卷

**基本信息** 结合科技前沿（如机器狗技术）与生活实际（出租车计费），分层考查二次根式、函数、四边形等核心知识，注重推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义、勾股定理分类讨论、一次函数性质|第9题以机器狗腿部建模，考查解直角三角形| |填空题|5/15|实数比较、勾股定理应用、平行四边形性质|第14题出租车计费建立一次函数模型，体现应用意识| |解答题（一）|3/21|二次根式运算、平行四边形判定、一次函数求解|第18题结合蛇体长数据，考查函数表达式与实际意义| |解答题（二）|3/27|新定义“美丽三角形”、矩形性质、函数图像应用|第19题通过新定义考查勾股定理与分类讨论，培养创新意识| |解答题（三）|2/27|一次函数与几何综合、正方形综合证明|第23题正方形中综合全等、中位线等，考查逻辑推理与空间观念|

吴川市广大实验学校2024-2025学年度第二学期 第二阶段质量检测初二年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若在实数内有意义，则x的取值范围是（    ） A．x＞0 B．x＞－1 C．x≥－1 D．任意实数 2．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 4．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 5．一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与之间的函数表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（    ） A．和平行且相等 B． C． D． 8．如图，矩形的对角线交于点O，E、F分别为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（    ） A．40cm B． C． D． 10．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小： ． 12．若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c= ． 13．在平行四边形中，点在边上，且平分，，则的度数为 ． 14．某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米．每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为： . 15．如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 ． 3、 解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算： 17．如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形． 18．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示， 尾长 6 7 8 9 10 体长 45.5 53 60.5 68 75.5 （1） 当6≤x≤10时，尾长x每增加1cm,则体长y增加多少cm? （2） 已知x，y满足一次函数关系式，求y关于x的函数表达式。 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， (1)如图△ABC中，AB=AC=，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 20．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．    （1）求证：DF＝AB； （2）若∠FDC＝30°，且AB＝6，求AD的长． 21．某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 23．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 吴川市广大实验学校2024-2025学年度第二学期 第二阶段质量检测初二年级数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若在实数内有意义，则x的取值范围是（    ） A．x＞0 B．x＞－1 C．x≥－1 D．任意实数 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可． 【详解】根据题意得：x+1≥0， 即x≥-1时，二次根式有意义． 故选C． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 4．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 5．一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数y=3x+（m-1）的图象经过第一、二、三象限，可得m-1＞0，据此求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数y=3x+（m-1）的图象经过第一、二、三象限， ∴m-1＞0， 解得：m＞1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 6．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与之间的函数表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数表达式，腰三角形的性质，根据等腰三角形的两腰相等，结合三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：等腰三角形的周长为：， ， 即， 故选：D． 7．如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（    ） A．和平行且相等 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴和平行且相等，，，故A，B，C正确； ∵与不一定相等，故C错误． 故选C． 8．如图，矩形的对角线交于点O，E、F分别为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质和三角形中位线定理可证，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 9．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（    ） A．40cm B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 10．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】在正方形中：， ∴， ∵O为正方形对角线的中点， ∴， ∵为等边三角形, O为的中点， ∴，， ∴, ∴, 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】因为相比较的两个数都带根号，所以应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可； 【详解】解：∵， ∴ 故填：＞ 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数．也可以采用求近似值的方法来进行比较． 12．若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c= ． 【答案】5 【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，求出a,b的值，再利用勾股定理即可解答. 【详解】∵ ∴a-3=0,b-4=0 解得a=3,b=4, ∵a，b是直角三角形的两个直角边， ∴c= =5. 故答案为5. 【点睛】此题考查绝对值的性质和二次根式的性质，勾股定理，解题关键在于求出ab的值. 13．在平行四边形中，点在边上，且平分，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，角平分线的定义，证明，，而，可得，，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，而， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 14．某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米．每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为： . 【答案】y=1.2x+1.4 【分析】因为路程x≥3（千米）时，行驶x千米的路程被分为两部分付费，0～3千米5元，3千米以上每千米加收1.2元，所以用x-3求出3千米以上的路程，再乘1.2，然后加上5元即可． 【详解】根据题意得出： 车费y（元）与x（千米）之间的函数关系式为： y=5+（x-3）×1.2 =5+1.2x-3.6 =1.2x+1.4， 故答案是：y=1.2x+1.4． 15．如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解，． 【详解】解：延长到点H，使，延长到点I，使，延长到点J，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，， ∵，，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∵的最小值为的长度， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间，线段最短等知识，解题的关键是：构造全等三角形得到． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（每小题5分，共10分）计算： 【答案】-2 【详解】试题分析：根据平方差公式计算 =1-3 =-2. 17．如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，结合，，得到即可证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴     ∴， ∴四边形是平行四边形． 18．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示， 尾长 6 7 8 9 10 体长 45.5 53 60.5 68 75.5 （3） 当6≤x≤10时，尾长x每增加1cm,则体长y增加多少cm? （4） 已知x，y满足一次函数关系式，求y关于x的函数表达式。 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】（1）x=6, y=45.5: x=7,y-53,而53-45.5=7.5 所以当6≤x≤10时，尾长x每增加1cm,则体长y增加7.5cm。 （2）∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， (1)如图△ABC中，AB=AC=，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）BC=3或BC=4. 【分析】（1）由“美丽三角形”的定义知，要求出△ABC的中线长，再作比较，由AB=AC=，可知△ABC是等腰三角形，由“三线合一”，可作BC的中线AD,则AD即为BC的高线，由勾股定理求AD的长即可证明； （2）Rt△ABC中有三条中线，由斜边上的中线是斜边的一半，排除斜边的中线；则有两种可能：AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答. 【详解】（1）证明：如图，作BC的中线AD，如图， ∵AB=AC= ，AD是BC的中线， ∴AD⊥BC, BD=CD= , 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= , ∴AD=BC， ∴△ABC是美丽三角形. （2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”， 当BD=AC= 时， 则CD= , 由勾股定理得 . ②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”， 当BC=AD时， 则CD= , 在Rt△ACD中，由勾股定理得 ， 则 ，解得CD=2， ∴BC=2CD=4. 故BC=3或BC=4. 【点睛】本题考查了信息迁移，等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，明确“美丽三角形”的定义是解答本题的关键. 20．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．    （1）求证：DF＝AB； （2）若∠FDC＝30°，且AB＝6，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）12 【分析】（1）根据已知条件证明△ADF≌△EAB即可； （2）由（1）可知,利用同角的余角相等，可求得,再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 【详解】解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，    ∴∠FAD＝∠BEA． ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°＝∠B． 在△ADF和△EAB中， ∴△ADF≌△EAB（AAS）． ∴DF＝AB．       （2）,四边形是矩形 , 又∵△ADF≌△EAB DF＝AB， ∴AD＝2AB＝2×6＝12 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，熟练以上知识是解题的关键． 21．某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1)出租车的起步价是8元，y＝2x＋2(2)这位乘客乘车的里程是15km 【分析】（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x>3时，y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），运用待定系数法就可以求出结论； （2）将y=32代入（1）的解析式就可以求出x的值． 【详解】(1)由图象得： 出租车的起步价是8元； 设当x>3时,y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由函数图象，得 ， 解得： 故y与x的函数关系式为：y=2x+2； (2)∵32元>8元， ∴当y=32时， 32=2x+2， x=15 答：这位乘客乘车的里程是15km. 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要查了一次函数的图像和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）点代入，可得点C的坐标，再把点B，C得坐标代入，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，可得点D的坐标为，点E的坐标为，从而得到，然后根据的面积为15，列出关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵轴于点P， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵的面积为15，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 23．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）延长至F，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交于Q，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至F，且使，连接、，如图1所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点B作交于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $