精品解析：北京市东城区北京汇文中学2026-2027学年九年级上学期暑假学习调研数学试卷

初三数学暑假学习调研 2026.9 一、选择题（共20分，每题2分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（ ） A. 众数是5 B. 方差是1.5 C. D. 离差平方和是6 7. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④a－b+c＜0，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式______． 12. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 13. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，则y1_____y2．(填“＞”“＜”或“＝”) 14. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为____________． 15. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________． 16. 设，是方程的两实数根，则____________． 17. 如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点A，B分别在和上滑动（点A，B均可与O重合），连接（图中各点均在同一平面内），若，，则在木板滑动的过程中，线段长度的取值范围是________． 18. 已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为_________． 三、解答题 19. 计算：． 20. 解方程： （1）（配方法） （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为正整数，求方程的根． 22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． （4）当时，直接写出的取值范围． 23. 在学习了《四边形》的内容后，思思同学利用菱形的知识对已知角的角平分线的尺规作图法进行了新的探索： 如图，已知． 求作：射线，使射线平分． 作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O） ③作射线，则即为所求射线． （1）使用直尺和圆规，依思思的作法补全图形（保留作图痕迹） （2）思思的作法主要运用了菱形的哪些知识？ 菱形的判定：________________________； 菱形的性质：________________________； （3）若，，则线段的长为________． 24. 如图，在中，，D，E分别是线段中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 25. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； （2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 26. 为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学的10次测试成绩： 160，175，180，175，164，175，190，170，186，175 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 m p 乙 175 q 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________，p的值为________； （2）同学甲和乙中，稳定性更好的是________，理由是：________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是________． 27. 在等腰中，，，点在边上，点在边的延长线上，且满足，连接交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，在上截取，连接，设（），作点关于的对称点，连接、，与交于点，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） 28. 在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． （1）①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； （2）已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学暑假学习调研 2026.9 一、选择题（共20分，每题2分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ． 3. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移； 根据左加右减，上加下减的平移规律可得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线是． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点D的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点D的坐标为， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为， 故选：C． 5. 已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而增大． 【详解】解：当时，y的值随x的增大而增大， 解得：． 6. 小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（ ） A. 众数是5 B. 方差是1.5 C. D. 离差平方和是6 【答案】C 【解析】 【分析】方差公式： 【详解】解： 这组共4个数据，为，方差是1.5， 众数是5，， 离差平方和是， 只有C选项结论错误． 7. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的根的判别式等于，据此列方程求解的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个公共点， ∴根的判别式满足， 解得． 8. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④a－b+c＜0，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图形确定a、b、c的符号以及函数值的正负，据此即可作出判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，a＜0，对称轴x=-＜0，∴ b＜0，本选项正确； ②∵抛物线与y轴交于正半轴，∴ c＞0，本选项正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点，∴ △=b2-4ac＞0，本选项正确． ④当x=-1时，函数值y＞0，即a-b+c＞0，本选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 10. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答． 【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，． ，， ， 如图，连接， ， 当点M与点E，点H重合时， 此时，三点再一条直线上， 的面积都为0， 当点M与点F时重合， 此时， 的面积为， 当点M与点G时重合， 此时， 的面积为， 由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0， 时，的面积先增大后减小， 时，点M运动的路径是， 点M运动的路径是． 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二函数的图象和性质的应用，注意：当二次项系数时，抛物线的开口向下． 12. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程判别式的应用，对宇一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根． 13. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，则y1_____y2．(填“＞”“＜”或“＝”) 【答案】> 【解析】 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1 和y2的大小关系． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵该函数经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限得到，y随x增大而减小，不等式即求时对应x的取值范围，结合与x轴交点即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴随增大而减小， ∵一次函数与轴交于点， ∴当时，对应的取值为， 即关于的不等式的解集为． 15. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的图像及性质，运用数形结合思想是解题关键．由图象可知，抛物线经过原点，二次函数与y轴交点纵坐标为，所以，解得a的值．再图象开口向下，确定a的值． 【详解】解：由图像可知，抛物线经过原点， 所以，解得， 图像开口向下，， ． 故答案为：． 16. 设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 17. 如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点A，B分别在和上滑动（点A，B均可与O重合），连接（图中各点均在同一平面内），若，，则在木板滑动的过程中，线段长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点Q，连接，根据，求最大值，观察求最小值即可； 【详解】解：取的中点Q，连接， 矩形木板，， ，， 根据勾股定理，得， ， ， ， 三点共线时，取得最大值，此时； 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时， 故线段长度的取值范围是． 18. 已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】、两点关于抛物线对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，点即为所求，只要求出直线的解析式，把对称轴的值代入直线的解析式，可求的坐标． 【详解】解：如图，连接交对称轴于点，连接，点即为所求， 由二次函数，得， 令，得，， 故，， 故对称轴为， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线， 把代入直线的解析式，得， 的坐标为． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的轴对称性确定使当取得最小值时的点坐标． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 解方程： （1）（配方法） （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）把常数项移到等号的右边，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再两边同时开方即可求出方程的解； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为正整数，求方程的根． 【答案】（1）a＜；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围； （2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴＞0， 解得a＜， ∴的取值范围为a＜． （2）∵a＜，且a为正整数， ∴，代入， 此时，方程为． ∴解得方程的根为 【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根． 22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． （4）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图为二次函数的图象． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先通过表格找到顶点，设顶点式，再代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）根据顶点、与坐标轴的交点等关键点，画出抛物线图象； （3）先确定三角形三个顶点的坐标，再用三角形面积公式计算面积； （4）先找到区间内的顶点，再计算区间端点的函数值，比较后确定的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可知，二次函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 将代入，解得 ， 故二次函数的解析式为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点，，如图所示． 据图可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 故． 【小问4详解】 解：二次函数的解析式为， 当，有最小值， 当，， 当，， 故的取值范围为． 23. 在学习了《四边形》的内容后，思思同学利用菱形的知识对已知角的角平分线的尺规作图法进行了新的探索： 如图，已知． 求作：射线，使射线平分． 作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O） ③作射线，则即为所求射线． （1）使用直尺和圆规，依思思的作法补全图形（保留作图痕迹） （2）思思的作法主要运用了菱形的哪些知识？ 菱形的判定：________________________； 菱形的性质：________________________； （3）若，，则线段的长为________． 【答案】（1）作图如下， （2）四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干提示方法作图即可； （2）根据作图，结合菱形的性质求解即可； （3）根据菱形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据作图得到，， ∴四边形是菱形， ∴菱形的判定方法为：四条边都相等的四边形是菱形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴运用了菱形的性质为：对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，设对角线交于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，D，E分别是线段中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，点D是线段的中点， ∴，，即， ∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是 矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到，，证明，结合题意，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求解； （2）设，则，运用勾股定理得到，，结合矩形的性质得到，由此得到，再根据面积的计算即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∵，点D是的中点， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴． 25. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； （2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）11 （2）21，27 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【小问1详解】 解：由图可知当第11天之后，， 【小问2详解】 由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； 【小问3详解】 由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 26. 为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学的10次测试成绩： 160，175，180，175，164，175，190，170，186，175 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 m p 乙 175 q 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________，p的值为________； （2）同学甲和乙中，稳定性更好的是________，理由是：________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是________． 【答案】（1）175，74.2 （2）乙，乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强 （3）乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的概念求解m和p的值即可； （2）根据甲乙的方差，即方差越小，波动越小，稳定性越好判断即可； （3）根据甲、乙、丙、丁四位同学的平均数与四分位距比较即可． 【小问1详解】 解：甲同学的10次测试成绩：160，175，180，175，164，175，190，170，186，175， 则甲同学的平均数为， 故， 则方差为， 故； 【小问2详解】 解：∵甲的方差为74.2，乙的方差为40.5，其中， ∴同学甲和乙中，稳定性更好的是乙， 理由是：乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强； 【小问3详解】 解：甲，乙，丙平均数均为175，丁只有170，先淘汰丁； ∵四分位距上四分位数下四分位数， ∴箱线图箱体宽度就是四分位距，箱体越窄四分位距越小， 由箱线图可知，乙的箱体宽度最小，也就是乙的四分位距最小，选乙， 故代表班级进行跳绳比赛的同学是乙． 27. 在等腰中，，，点在边上，点在边的延长线上，且满足，连接交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，在上截取，连接，设（），作点关于的对称点，连接、，与交于点，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点D作交于点M， 、 ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，即点G是的中点， ∴， 在中，， ∴． （2）根据题意作图如下， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，过点D作交于点M，可证，，即点G是的中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解； （2）过点D作交于点，交于点，连接，证明，从而得到，再由（1）知，利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作交于点，交于点，连接， 由已知以及对称的性质知：， ， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 且， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． （1）①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； （2）已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； 【小问2详解】 解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $