北京市东城区汇文中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学练习卷

北京市东城区汇文中学 九年级上学期开学考试数学练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月，神舟十三号搭载的万粒作物种子顺利出舱，其中万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图为(    ) A. B. C. D. 3.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为(    ) A. B. 且 C. D. 且 4.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.一只不透明的袋子中装有个白球、个红球和个绿球，这些球除颜色外都相同将球搅匀，从中任意摸出个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出个球求次摸到的球颜色不同的概率为(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，某仿古墙上原有一个矩形的门，现要将它改为一个圆弧形的拱门，圆弧所在的圆外接于矩形已知矩形门的宽为，高为，则改建后拱门的圆弧长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转给出以下结论：；；；其中正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 9.若在实数范围内有意义，则的取值范围为____． 10.将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 11.分解因式            12.图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为          ． 13.如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点给出下面四个结论： 是的切线； ； ； 若，，则图中阴影部分的面积为． 上述结论中正确的有______． 14.如图，点，，，在同一条直线上，，，若，，，，则的长为            15.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初三班举办了“古诗词”大赛，现有小中，小雅，小双三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第，，名没有并列，对应名次的得分均分别为，，，且，，均为正整数，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据所给信息，判断小中同学共得到了______轮第一名． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 第七轮 小中 小雅 小双 三、解答题：本题共13小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点，，的周长为． 求中边的长度； 若，求的度数． 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 计算：； 解不等式组：； 解方程：； 先化简，再求值：，其中． 19.本小题分 北京中考真题已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 20.本小题分 【问题背景】在学习了三角形的相关知识后，某中学数学兴趣小组的几个同学对等腰直角三角形进行了探究如图，在中，，，点，分别在边、上不同时在点，连接． 【初步感知】如图，当点、分别与点、重合时，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接试判断四边形是正方形． 【问题探究】如图，当点，不与点，重合时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接则与的位置关系是怎样的？请说明理由． 【拓展延伸】如图，当点不与点重合，且为的中点时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值． 21.本小题分 如图，一个可绕公共顶点旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，两层抽屉形状大小都相同图，图为上层抽屉旋转过程中的俯视图，下层抽屉的长，宽，，当上层抽屉旋转至边恰好经过点时如图，与边平行． 求此时点到的距离为______； 当上层抽屉旋转至碰到边时如图，求此时点到的距离． 22.本小题分 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图其中，，输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为．           ，          ，           小明在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图． 当随的增大而增大时，求的取值范围． 若关于的方程为实数在时无解，求的取值范围． 23.本小题分 如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，，． 求的度数； 求证：是的切线； 若平分，，，求，的值． 24.本小题分 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级 八年级 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 八年级 请解答下列问题： ______； ______； 估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ 小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由写出一条即可 25.本小题分 综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图所示，设，矩形的面积为单位：剪切并得出以下数据： 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析如图，得出了一些结论 问题解决： 博学小组剪布料问题中，当______时，能够使剪出的矩形的面积最大，关于的函数表达式为______不要求写的取值范围； 选择一块特殊废料如图所示，，，，当______时，能够使剪出的矩形的面积最大； 建模分析： 如图所示，若，，其中，，为常数，设，当矩形的面积取最大值时，求的长用含常数的代数式表示． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，设二次函数是实数． 当时，判断函数图象与轴有几个交点； 小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ 已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 27.本小题分 几何探究 【课本再现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明≌即可推导出来．请帮助小新完成下列问题： 求证≌； 连接，则，，之间的数量关系是          ． 【类比迁移】 如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 28.本小题分 在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      如图，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； 如图，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； 当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【解答】 解：万． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：根据从上面看到的图形可知：榫的俯视图为： 故选：． 根据从上面看到的图形即可求解解答． 本题考查了物体的三视图，掌握物体三视图的画法看不见的线条用虚线是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解答】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且． 4.【答案】  【解析】解：选项，，， ，故该选项不符合题意； 选项，，，， ，故该选项不符合题意； 选项，，故该选项不符合题意； 选项，， ，故该选项符合题意； 故选：． 根据有理数的乘法法则判断选项；根据有理数的加法法则判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据不等式的基本性质判断选项． 本题考查了实数与数轴、不等式的基本性质，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：画树状图如图所示： 共有种等可能的结果，其中次摸到的球颜色不同的结果有种， 次摸到的球颜色不同的概率为， 故选：． 画树状图，共有种等可能的结果，其中次摸到的球颜色不同的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 6.【答案】  【解析】解：由题意，二次函数的图象经过点，， 对称轴是直线，故错误． ，且当时，随的增大而减小，故正确． 对称轴是直线， 点的对称点为． 又当时，随的增大而增大， 当时，，故错误． 抛物线开口向上， 函数有最小值，图象有最低点，故正确． 综上，正确的是． 故选：． 依据题意，由二次函数的图象经过点，，可得对称轴是直线，再结合二次函数的性质，逐个判断可以得解． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 7.【答案】  【解析】设矩形的外接圆圆心为点，如答图所示标注字母，连结，，，． ，是的直径． 由题意，得，， ，， ，， 8.【答案】  【解析】解：正方形和， ，，， ，即． 在和中， ， ≌， ， 故结论正确，符合题意． 正方形绕点旋转， 与在不断的变化， 不一定等于， 不一定与全等， 故BG不一定等于，故不正确； 如图所示，设交于点，交于点． 由可知，即． 又，，， ， ． 故结论正确，符合题意． 如图所示，连接、， 由知，， 则在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ． 在中，， 在中，， ． 故结论正确，符合题意． 故选：． 根据正方形的性质可得，，，利用得到≌，利用全等三角形对应边相等，即可得到结论； 根据旋转的性质和全等三角形的性质即可得到结论； 设交于点，交于点，并由知，≌，利用全等三角形的性质得到，由对应角相等知，然后利用三角形的内角和定理，可得到，从而证得结论； 连接、，由知，，从而知、、、均是直角三角形，分别利用勾股定理得到，，，；然后利用等式的变换，可得，再次利用勾股定理，在中得到，在中得到，最后将、的值代入即可证得结论． 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9.【答案】且  【解析】解：在实数范围内有意义， ． 且， 故答案为：且 10.【答案】  【解析】解：图中五边形为正五边形， ， ， 正方形中， ， ， 故答案为：． 先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 本题考查了正多边形的内角问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 11.【答案】  【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解：  故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为 ． ， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；故正确，符合题意； 连接， 是的直径， ，即， ， ， ，故正确，符合题意； ，， ， ，故正确，符合题意． 故答案为：． 如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线； 本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，平行线分线段成比例，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 14.【答案】  【解析】，． 又，∽， ，，． ，，． 15.【答案】  【解析】解：因为决赛共六轮，每轮分别决出第，，名，对应名次的得分都分别为，，，且选手最后得分为各轮得分之和，小中、小雅、小双三人的总得分分别为、、，所以等式两边同时除以，可得已知，，均为正整数，且若每轮比赛第一名得分为，那么即使轮都得第一名，最后得分最高也为，而，所以必大于又因为，且，，为正整数，所以最小取由可得，因为最小为，所以最大为，即，所以，那么，所以，小中同学最后得分分，因为，所以小中轮第一，轮第二． 故答案为：． 先根据三人的总得分求出每轮比赛三人得分之和，再结合条件确定、、的值，然后根据三人的总得分情况推出各自每轮的名次，从而得出小中获得第一名的轮数． 本题结合比赛得分，考查逻辑推理能力． 16.【答案】解：的中垂线交于，的中垂线交于， ，， 则的周长， ， ， ， ，， ，， ，， ， ．  【解析】证明的周长即可解决问题． 求出即可解决问题． 本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 根据运算法则进行计算即可． 本题主要考查零指数幂，负整数幂以及三角函数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.【答案】；   ；   ，；  ，．  【解析】原式 ； 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为； ， ， 则，即， ， ，； 原式 ， ， 或， 且， ， 则原式． 先化简各二次根式，再计算除法和乘法，最后计算减法即可； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； 利用配方法求解即可； 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出的值，代入计算即可． 本题考查的是二次根式的化简、分式的化简求值、解一元二次方程、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19.【答案】见详解；   【解析】【分析】由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； 设关于  的一元二次方程  的两实数根为  ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得  ，进而可得  ，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】证明：由题意得：  ，   ，   ，   ， 该方程总有两个实数根； 解：设关于  的一元二次方程  的两实数根为  ，则有：  ，   ，   ， 解得：  ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 20.【答案】见解析；   ；   ．  【解析】由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形； ，理由如下： 如图，过作交的延长线于点， 则， ，， 是等腰直角三角形， ，， 由旋转的性质得：，， ， ，即， ≌， ， ， ； 如图，连接、，过作于点，延长交于点， 则， 由可知， ，， 为的中点， ， ≌， ， 点是点关于直线的对称点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 点是点关于直线的对称点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ≌， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 先证，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论； 过作交的延长线于点，证明≌，得，则，即可得出结论； 连接、，过作于点，延长交于点，证四边形是正方形，得，，，再证≌，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，即可解决问题． 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 21.【答案】；  ．  【解析】解：如图中，过点作交的延长线于点． ， ， ，， ≌， ， ， 点到直线的距离为． 故答案为：； 在中，， 的三边比：：：：， 如图中，过点作交的延长线于点． 由题意可知，图中的与图中相似， 可以假设，，， 在中，则有， 解得或舍去， ， ， 点到的距离为． 如图中，过点作交的延长线于点证明≌，即可求出； 如图中，过点作交的延长线于点设，，，利用勾股定理构建方程求出即可． 本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】【小题】 【小题】 ，，， 一次函数表达式为，二次函数表达式为， 当时，，其对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而增大． 当时，， 当时，随的增大而增大． 综上所述，的取值范围是或． 在时无解， 在时无解， 问题转化为抛物线与直线在时无交点． 对于，顶点为， 当时，；当时，，图象如答图． 观察图象可得，当或时，关于的方程在时无解．   【解析】  解：， 将，代入，得，解得． ，， 将，和，分别代入， 得解得 23.【答案】【详解】解：对角线为的直径， ， ． 证明：如图，连接， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 解：，， ， ， ， ， ， 平分， ，， ， 由圆周角定理得：， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作于点，则是等腰直角三角形， ， 设，则，， ， ， 或， 当时，，则， 又， 矛盾，即不符合题意，舍去， ， ．   【解析】【分析】根据圆周角定理可得，再根据邻补角的定义即可得； 先根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； 先求出，从而可得，根据正切的定义即可得的值；再根据圆周角定理可得，解直角三角形可得，过点作于点，设，则，，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得． 本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键． 24.【答案】，；   名；   小明的说法不正确，理由见解析．  【解析】解：八年级学生的竞赛成绩从小到大排列第、个数为，， 中位数， 七年级中得分的人数最多， 众数； 故答案为：，； 名， 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有名； 小明的说法不正确， 理由如下：因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位线和众数都比七年级大，因此不能说两个年级成绩一样好． 根据中位数和众数的定义求解即可； 利用样本估计总体思想求解即可； 根据中位线和众数以及方差进行解答即可答案不唯一． 本题主要考查平均数、方差、中位数、众数、用样本估计总体和频数率分布表，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． 25.【答案】，；  ；   当矩形的面积取最大值时，长．  【解析】由题意得：是的二次函数，二次函数的开口向下， 二次函数过，， 当时，最大， 当时，能够使剪出的矩形的面积最大， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； ，，， ， 设，则，， ， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，的面积最大， ， 故答案为：； 四边形是矩形， ，， ，∽， ， ，，，，， ， ， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，矩形的面积取最大值， ， 答：当矩形的面积取最大值时，长． 根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大；长，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到的长度，即可得到与的关系式； 设，则，，得到用表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值； 用含的代数式表示出的长，进而可得长，那么可得用表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值． 本题考查二次函数的应用．判断出用自变量表示的的长度是解决本题的关键． 26.【答案】【小题】 解：当时，， 令，则， 解得：， 函数图象与轴有个交点； 【小题】 小明说法正确； 由题意得，顶点是， 当时，， 顶点在直线上． 故小明说法正确； 【小题】 证明：，都在二次函数的图象上， 对称轴是直线， ， ， ， ．   【解析】  把代入解析式，令，求出值即可判断；   根据题意得出顶点是，代入，即可判断小明说法正确；   由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴是直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到． 27.【答案】证明：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ≌； ； 猜想， 证明：连接，延长交于点，连接，如图： 是矩形的中心， 点是的中点， ， 在矩形中，，， ，， 在和中， ≌， ，， 在矩形中，，即， 垂直平分线段， ， 在中，， ， ； 或．  【解析】【分析】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 根据正方形的性质得出，，，进而得出，再利用全等三角形的判定定理“”进行解答，即可证明结论成立； 由可知，进而推出，在中，利用勾股定理得出，根据等量代换即可得出； 连接，延长交于点，连接，根据矩形的性质可得点是的中点，再证明，可得，，再由线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理进行解答，即可得出结论； 设，分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在延长线上时，分情况画出图形，结合图形，利用勾股定理构造关于的方程，解方程，即可求解． 【解答】 解：见答案； 连接，如图： 由可知≌， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在中，， ， ． 故答案为： 见答案； 设，当在线段上时，如图： ， ， 在中，， ，即， 又由可知， ， ， 解得； 当点在延长线上时，过点作交的延长线于点，连接，如图： ， ， ，， 又， ≌， ，， 又， 垂直平分线段， ， 在中，， ， ， 又在中，， ， ，解得； 的长度为或． 28.【答案】解：当，，时，，， ，． 如图所示， 点绕“完美等直点”逆时针旋转， ，则是等腰直角三角形， 点的中点坐标为 ，且， 旋转中心点在线段的垂直平分线上， ， 点于点重合， 点以点为中心逆时针旋转后， 线段的“完美等直点”坐标是 ． 故答案为： ． 解：当，时， ． 直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， 设，． 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ． 轴， ，且，， ， ， ． ， ， 解得，， ， ，， ， ， ，即 ． 解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ． 点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， 根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ，，即是等腰直角三角形， 由中证明可得四边形是正方形， ， 的横坐标为． 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ，，， ， ，， ， ，即点的横坐标大于． 当时，，如图所示，作轴于点， ，，， ，则， ，即， 是的垂直平分线， 的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：．   【解析】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； 当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； 根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$