精品解析：湖北省武昌实验中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷

湖北省武昌实验中学2025-2026学年度12月阶段性检测 高二数学试卷 2025.12.05 一、单选题 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在轴上，且，即可求解双曲线的渐近线方程． 【详解】由双曲线，可知双曲线的焦点在轴上，且， 所以其渐近线方程为. 故选：B． 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为， 所以，所以. 所以焦点坐标为. 故选：C. 3. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两平行线间距离公式求解即可； 【详解】， 所以由两平行线间的距离公式可得， 故选：D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线与所成角的余弦值． 【详解】图， 设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ， 又异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 6. 椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 7. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合求解出离心率的值. 【详解】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 故选：C 二、多选题 9. 已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，，. 逐个代入选项化简与的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点，，. 当时，， . 故点的轨迹为除去两点的椭圆，A正确 ；当时，， 故点的轨迹为除去两点的双曲线，B正确； 当时，. ，即不含点， 轨迹是一条直线不含，C错误； 当时，则. 故的轨迹为除去两点的抛物线，D正确. 故选：ABD. 10. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线，使得，，，四点共圆 D. 面积的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，设直线，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得，从而得到A正确；B选项，，从而解得，故B正确；C选项，先得到，若点，，，四点共圆，则，利用向量数量积公式得到因为，故C错误，D选项，作出辅助线，得到轴，，得到，求出最小值. 【详解】A选项，由题意得直线过焦点，设直线， 联立直线与抛物线方程可得 设， 则， 所以， 则，当且仅当时，等号成立， 故，，故A正确； B选项，由A知，， 则， 解得，故B正确； C选项，，， 所以， 如果点，，，四点共圆，则， ，， 因为，故C错误， D选项，过点分别作⊥于点，⊥于点，⊥于点， 因为，的角平分线交于点，所以，， 故， 设为的中点，连接，则轴， 因为，所以， 由A知，，由B知，， ， 显然，当时，取得最小值，最小值为1，D正确， 故选：ABD 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若，则的面积为24 C. 若点处的切线交轴于，则轴 D. 当n过点时，光由所经过的路程为13 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，又，解出即可判断，对于B，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断，对于C，由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断，对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，又，解得，所以C的方程为故A正确； 对于B，由，得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故B错误； 对于C，由题意可知，平分，由角平分线定理，得， 又，解得，，， 即轴，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。 【详解】设, 因为实数， 所以两点在圆上，且, 所以，所以是等边三角形，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 在第三象限，所在直线与直线平行， 可设， 由圆心到直线的距离为，可得，解得， 即有两平行线之间的距离为， 所以， 所以， 所以的最大值为。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 13. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点位于第一象限），圆与内切，半径为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆与分别切于，利用圆的切线性质和双曲线定义可求得，同时知为的角平分线，设直线的倾斜角为，可求得，结合双曲线渐近线的倾斜角可确定的范围，由此可确定的范围. 【详解】由双曲线方程知：实半轴长，虚半轴长，且， 设圆与分别切于，如下图所示： 由圆的切线性质知：，， 由双曲线定义知：，即， 设，则，解得：， 由切线性质可知：与横坐标都为， 由三角形内切圆的性质知：为的角平分线， 设直线的倾斜角为，则， ， ， 双曲线渐近线为：，其倾斜角分别为和， 又直线与双曲线的右支交于两点，直线的倾斜角范围为， 则，，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的参数范围的求解问题，解题关键是能够将所求的表示为关于直线倾斜角的函数的形式，根据的范围，结合正切函数值域的求解方法可求得范围. 14. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______ 【答案】5 【解析】 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 由题意得， 故 ． 16. 已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. （1）求证：； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值； （3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 【答案】（1） 由双曲线的离心率，可知，即， 所以双曲线， 设，，， ， ， 所以； （2） 设，， ，即， 所以为定值； （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用坐标法表示两点间距离，即可证明； （2）利用坐标法，结合点在双曲线上，即可证明； （3）设直线的方程，与双曲线方程联立，再利用对称性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为， 则的最大内角为最大，此时，则， 设直线，联立双曲线方程， ，得，得或（舍）， 时，，即， 根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为， 所以满足条件的点坐标为，，，. 17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）①求证：； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系，并代点求解可得出椭圆的方程； （2）①当切线斜率不存在时，求出点、的坐标，验证；当切线斜率存在时，设切线方程为，与椭圆方程联立消去并由韦达定理验证，综合可得出结论； ②由①知当切线斜率不存在时，；当切线斜率存在时，由弦长公式可得，由韦达定理和换元的思想结合基本不等式可得此时的范围，综合可得的取值范围，从而求得面积的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线斜率不存在时，则切线方程为， 联立可得， 所以，直线与椭圆的两个交点分别为、， 此时，即， 同理可知，直线与椭圆的两个交点分别为、， 此时，即； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 与椭圆方程联立消去并整理可得， ，可得， 设点、，由韦达定理可得，， 因为直线与圆相切，则，即， 所以， ，所以，. 综上所述，； ②由题意可得点到直线的距离为， 由①知当切线斜率不存在时，，； 当切线斜率存在时，由弦长公式可得 ， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 所以， 综上，的取值范围为. 18. 拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. （1）若到焦点的距离为3，求； （2）若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 【答案】（1） （2）直线的方程为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的准线，再根据抛物线的定义求出，进而求出； （2）先求出点的坐标，设点，根据重心公式，求得，再利用点差法求得，又线段中点在直线上，由点斜式即可得到直线的方程； （3）设点，求得直线的方程，再与直线联立得到点坐标，则可得得表达式，转化为不等式恒成立问题，即可解出的取值范围. 【小问1详解】 根据题意作图如下： 由已知，得拋物线，则准线为，焦点，且点在第一象限内， 设点. 所以，解得，代入抛物线方程，解得， 所以. 【小问2详解】 根据题意作图如下： 由已知，代入抛物线方程，解得. 设点，又的重心为， 则，解得， 又在上，则，两式相减，得， 即，则直线的斜率. 又线段的中点，即也在直线上， 由点斜式，得，即， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 根据题意作图如下： 由已知设且与不重合， 由两点式，得直线的方程，即， 因为直线交于，联立，得点. 又为在上的投影，所以， 所以，化简得， 即对于任意恒成立， 则当时，不等式左边取到最小值， 得，结合，解得， 综上，的取值范围为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，由为中点，确定的长，结合三棱锥等体积转换求解点到平面的距离即可； （3）根据已知条件与二面角、线面角的定义，推出点在平面上的射影的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线一部分，再结抛物线与直线相交、等体积法，即可求解棱锥体积的最大值． 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， ， ， 所以， 故三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又，，，平面， 则平面， 又平面，所以，即， 又， 即， 解得， 由平面，平面，得， 则为等腰直角三角形，所以，， 因为为中点，所以，， 又，所以， 因为，则， 则，故， 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，有， 所以，则， 故点到平面的距离为； 【小问3详解】 如图，作平面，垂足为，作，垂足为，连接，，， 则，， 因为，所以， 又、平面， 所以，所以， 由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 取的中点为，如图以中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，， 则以为焦点，以为准线的抛物线方程为， 故点的轨迹为该抛物线在三角形内部部分，即图中的曲线部分， 直线斜率为，则直线方程为：， 联立，解得或（结合图形舍） 即， 当与重合时，此时可得在上，使得取最大值， 的最大值满足：， 所以， 三棱锥体积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武昌实验中学2025-2026学年度12月阶段性检测 高二数学试卷 2025.12.05 一、单选题 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线 10. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线，使得，，，四点共圆 D. 面积的最小值为1 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若，则的面积为24 C. 若点处的切线交轴于，则轴 D. 当n过点时，光由所经过的路程为13 三、填空题 12. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 13. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点位于第一象限），圆与内切，半径为，则的取值范围是___________． 14. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______ 四、解答题 15. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 16. 已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. （1）求证：； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值； （3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）①求证：； ②求面积的取值范围. 18. 拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. （1）若到焦点的距离为3，求； （2）若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $