精品解析：湖北襄阳市第六中学2025-2026学年高二上学期元月月考数学试题

襄阳六中2025-2026学年度上学期高二元月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由得，解得. 考点：等差数列. 2. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 3. 数列0，，，，…的一个通项公式是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符．所以选A. 【点睛】 对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项． 4. 已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解. 【详解】由题知，， 所以 ， 即线段的长为. 故选：C 5. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 6. 已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可得. 【详解】依题意，，准线的方程为， 因为点是上一点，所以设点，，则， 因为，所以，解得， 又是直线与的交点，所以由抛物线的定义可得． 故选：D. 7. 从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（ ） A. A与C互斥 B. B与C互斥 C. 任何两个都互斥 D. 任何两个都不互斥 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义进行判断即可 【详解】由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥. 故答案选：D 8. 正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，得到，发现点P的轨迹是抛物线，然后建立平面直角坐标系求解即可. 【详解】 如图所示，作，Q为垂足，则平面， 过点Q作，交于，则平面PQR，所以PR即为P到直线的距离． 因为，且，所以． 所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线． 如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是， 点，设，所以 ，所以当，取得最小值. 故选：B 二、多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】A由线面垂直的向量法判定；B由空间向量共面的推论判断；C由数量积的定义可判断；D由投影向量定义求在上的投影向量. 【详解】对于A：由，即，故，对； 对于B：在中，故P，A，B，C四点不共面，错； 对于C：当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角，错； 对于D：在上的投影向量为，对. 故选：AD 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 【详解】解：因为，， 所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 11. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（ ） A. B. 平面与平面可能平行也可能垂直 C. 的取值范围是 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可判断AB中的位置关系，利用空间距离公式计算CD后可判断它们的正误. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，所以， 则． 对于A，，所， 所以，故A正确； 对于B，当点与点重合时，平面平面， 当点与点重合时，平面平面，故B正确； 对于C，根据题意，可设点，其中， 则 ， 当]时，， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量为，则有 ， 故，取， 所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12. 将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，找规律可得是首项为，公差为的等差数列，即可求解. 【详解】易知数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以是首项为，公差为的等差数列，得到， 故答案为：. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线距离的向量公式直接求解即可. 【详解】由题意，， 所以点到直线的距离为：. 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，分别在、中，利用余弦定理运算求解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、， 设，，则，，， ，在中，由余弦定理， 即，整理得， 在中，由余弦定理， 即，整理得， 可得， 注意到，即，整理得， 故离心率. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知圆心为的圆经过点，和． （1）求圆M的方程； （2）若过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线m的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）法一，设圆的标准方程，利用待定系数法求圆的方程；法二，利用几何法求圆的方程； （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 法一：设圆M的标准方程为： 由题意得：，解得：． 圆M的标准方程为． 法二：设线段AB的中点为E，则，又因为 所以线段AB的垂直平分线的方程为：，即 同理可得：线段BC的垂直平分线的方程为： ，解得 所以圆心，半径． 圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意得：圆心M到直线m的距离为． ①当直线m垂直于x轴时，方程为，满足条件； ②当直线m斜率存在时，设直线m的方程为，即 由，解得． 所以直线m的方程为． 综上所述，直线m的方程为或． 16. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列. （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明：为常数， 所以为公差为的等差数列， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证， （2）根据等差数列的通项即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，平面与棱PC交于点G，且平面． （1）指出点G在棱PC上的位置，并说明理由； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）点G在棱PC上靠近点C的三等分点处，理由： 四棱锥的底面为正方形，底面，则直线两两垂直， 以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，则， 由平面，平面，得， 则，解得， 所以点G在棱PC上靠近点C的三等分点处. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，结合数量积的坐标表示求出位置. （2）求出平面平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 ，， 设平面的法向量，则取，得， 由平面，得平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值. 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. 【小问3详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳六中2025-2026学年度上学期高二元月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 A. B. C. D. 2. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 数列0，，，，…的一个通项公式是(　　) A. B. C. D. 4. 已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（ ） A. A与C互斥 B. B与C互斥 C. 任何两个都互斥 D. 任何两个都不互斥 8. 正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（ ） A. B. 平面与平面可能平行也可能垂直 C. 的取值范围是 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则______ 13. 已知点，点，则点到直线的距离为______． 14. 已知双曲线的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率__________. 四、解答题 15. 已知圆心为的圆经过点，和． （1）求圆M的方程； （2）若过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线m的方程． 16. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列. （2）求数列的通项公式. 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，平面与棱PC交于点G，且平面． （1）指出点G在棱PC上的位置，并说明理由； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $