专题01 有理数的巧算与24点（9重难点题型）（讲义）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版2024）

专题01 有理数的巧算与24点 题型梳理 题型方法 题型一 逆用乘法分配律 题型二 凑整法 题型三 分组相加法 题型四 组合法 题型五 倒数法 题型六 拆项法 题型七 裂项法 题型八 倒序相加法 题型九 算“24” 题型方法 【题型一】逆用乘法分配律 【例1】（2025六年级下·江苏无锡·专题练习）怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法进行计算： 【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2) 【变式3】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【题型二】凑整法 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州）简便方法计算．； 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【题型三】分组相加法 【例3】（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： ． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·江苏·阶段练习）计算： ． 【变式2】（20-21七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算：111﹣112+113﹣114+115﹣116+…+2019﹣2020＝ ． 【变式3】计算：1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−11−12+⋯+97+98−99−100 . 【题型四】组合法 【例4】计算：（）×（）×（）×...（） 【举一反三】【变式1】数学上往往是先有猜想，猜想被证明正确后便成为定理．黎曼猜想（也称黎曼假设）是100多年前由德国著名数学家黎曼提出的，它是世界上最重要的数学猜想之一．有大约1000个数学命题，一旦黎曼猜想得到证明，它们就必然成立．黎曼猜想与物理学、密码学也有深刻的联系．黎曼猜想与以下数学式有关： 当时，上式就是所有正整数的倒数的和（*） 随着n的无限增加，（*）式中的第n项将无限接近于0，那么（*）式的值会比10大吗？会比10000大吗？ 自然的感觉是“聚沙成塔”、“积少成多”，即设法把很多小小的项累加起来变大．下面是实现这个想法的一种组合法： 用这种方法可以判定（*）式中： （1）从第一项1开始，一共 项的和就可以大于3； （2）从第一项1开始，一共 项的和就可以大于6 【题型五】倒数法 【例5】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知_________． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算． 【变式2】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【题型六】拆项法 【例6】（2023七年级上·江苏·专题练习）阅读材料：对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：． 【举一反三】【变式1】（2023七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”   计算：． 解：原式=== (1)观察发现： (2)启发应用：用上面的方法计算： 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【题型七】裂项法 【例7】（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： 【变式2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容： ，，，…，请完成下面的问题： 如果有理数，满足．试求： (1)______，______； (2)的值． 【变式3】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）【情景创设】 ，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律是第________个数； 【阅读理解】． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）请直接写出计算结果：________； （3）探究并计算：． 【题型八】倒序相加法 【例8】计算：； 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： 计算：． 【题型九】算“24” 【例9】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 【变式3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，小明有张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为． 好题必刷 一、填空题 1．（七年级上·江苏南京·期末）计算（++）﹣2×（﹣﹣﹣）﹣3×（++﹣）的结果是 ． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连结起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“”这4个数字算“24点”，列出的算式是 ． 3．计算： = ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．用归纳的方法得到的结论不一定正确，智慧学习小组用归纳的思想方法探索得出下面三个结论：正确的有 ．（填序号） ①从1000到2024共有1024个整数（含1000与2024这两个数）； ②； ③． 二、解答题 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）计算或化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2022七年级上·江苏·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读与应用计算：， 解：因为：=，=，=，…=， 所以： = = = =， 计算： (1)+++…+； (2)+++…+． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的巧算与24点 题型梳理 题型方法 题型一 逆用乘法分配律 题型二 凑整法 题型三 分组相加法 题型四 组合法 题型五 倒数法 题型六 拆项法 题型七 裂项法 题型八 倒序相加法 题型九 算“24” 题型方法 【题型一】逆用乘法分配律 【例1】（2025六年级下·江苏无锡·专题练习）怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)63 【分析】本题考查有理数的混合运算及简便计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将原式变形为，再逆用乘法分配律，即可求解； （2）先计算小括号内加法，再计算中括号内减法，最后计算除法； （3）逆用乘法分配律，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法进行计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律：先提取99，再利用运算律得，再将99化为，再利用运算律即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，灵活运用乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）先对式子进行变形，再利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了乘法分配律，有理数的混合运算，熟练掌握乘法运算律是解答本题的关键． （1）把除法改为乘法，根据乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可 【详解】（1）解： （2）解： 【题型二】凑整法 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州）简便方法计算．； 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数混合运算．利用加法结合律计算即可． 【详解】解： 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加法进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减进行计算即可求解； （3）根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合再计算加减即可； （2）先结合再计算加减即可； 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘除混合计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）根据有理数加减计算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型三】分组相加法 【例3】（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减运算．解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，利用结合律进行简算． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·江苏·阶段练习）计算： ． 【答案】1 【分析】观察可知：以4个数为一组，结果都为-4，从而计算． 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2018-2019-2020+2021 =（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+…+（2017+2018-2019-2020）+2021 =-4+（-4）+…+（-4）+2021 ∵2020÷4=505， ∴原式=-4×505+2021 =1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是发现算式中的规律． 【变式2】（20-21七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算：111﹣112+113﹣114+115﹣116+…+2019﹣2020＝ ． 【答案】-955 【分析】从左向右每四项为一组，根据加法的交换律与结合律简算即可． 【详解】解：111﹣112+113﹣114+115﹣116+…+2019﹣2020 =[（111-112）+（113-114）]+[（114-115）]+…+[2019-2020] =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) =×(-1) =-955， 故答案为：-955． 【变式3】计算：1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−11−12+⋯+97+98−99−100 . 【答案】-100 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的 关键，解题时，注意找出正确的规律 【详解】1+2−3−4=−4，5+6−7−8=−4，9+10−11−12=−4，⋯ , 97+98−99−100=−4，所以原式=−4×25=−100 . 【题型四】组合法 【例4】计算：（）×（）×（）×...（） 【答案】 【详解】原式=×（）×（）×（）×...（）×（）× =×1×1×1×⋯×1×1× = 【举一反三】【变式1】数学上往往是先有猜想，猜想被证明正确后便成为定理．黎曼猜想（也称黎曼假设）是100多年前由德国著名数学家黎曼提出的，它是世界上最重要的数学猜想之一．有大约1000个数学命题，一旦黎曼猜想得到证明，它们就必然成立．黎曼猜想与物理学、密码学也有深刻的联系．黎曼猜想与以下数学式有关： 当时，上式就是所有正整数的倒数的和（*） 随着n的无限增加，（*）式中的第n项将无限接近于0，那么（*）式的值会比10大吗？会比10000大吗？ 自然的感觉是“聚沙成塔”、“积少成多”，即设法把很多小小的项累加起来变大．下面是实现这个想法的一种组合法： 用这种方法可以判定（*）式中： （1）从第一项1开始，一共 项的和就可以大于3； （2）从第一项1开始，一共 项的和就可以大于6 【答案】 16 1024 【分析】（1）根据题意，先找出，然后由题意估算数k的值，即可得到答案； （2）与（1）的方法一致，估算出k的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意， ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴项数为：； 故答案为：； （2）由（1）可知， ∵， ∴， 即， ∴， ∴项数为：； 故答案为：； 【点睛】本题考查了乘方的运算法则，规律的探索与计算，解题的关键是熟练掌握乘方的定义，正确化简得到． 【题型五】倒数法 【例5】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，解题关键是理解倒数的定义：两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算，然后相加减即可； （3）由倒数的定义得出答案即可． 【详解】（1）解：根据倒数的定义我们知道，若， 则． 故答案为：； （2）原式 ； （3）结合（2），可知， 所以． 故答案为：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算． 【答案】(1)解法一是错误的 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算与有理数的乘法运算律，解题关键是牢记运算法则． （1）根据运算律运用错误直接判定即可； （2）根据题干中的两种运算方法，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：解法一是错误的，理由：除法没有分配律． （2）解：方法一： ； 方法二： 的倒数 ； ∴原式． 【变式2】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)一 (2)原式 【分析】此题考查了有理数的除法．熟练掌握除法法则，取倒数计算除法，乘法分配律，是解本题的关键． （1）解法一是错误的．根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．（2）被除数是一个数，除数是一个复杂算式，计算其倒数值，计算的倒数值，即得的值． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）解：∵ ， ∴ 【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）原式 ； （2）原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则． 【题型六】拆项法 【例6】（2023七年级上·江苏·专题练习）阅读材料：对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】先将每一个带分数拆为整数和真分数两部分，再分别相加，最后求出结果，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，理解阅读材料中拆数法是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（2023七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解． （2）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数中的加减简便运算，根据示例结合有理数中的加减简便运算法则进行计算是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”   计算：． 解：原式=== (1)观察发现： (2)启发应用：用上面的方法计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题拆项解答； （2）将每个分数根据拆项法拆项，再分别计算整数和分数的值． 【详解】（1）, 故答案为：； （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的计算，正确理解题中的计算方法：拆项法并熟练应用解决问题是解题的关键． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，； （2）解： ． 【题型七】裂项法 【例7】（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．利用列项进行计算即可； 【详解】解： ； 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容： ，，，…，请完成下面的问题： 如果有理数，满足．试求： (1)______，______； (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算，绝对值与偶次的非负性； （1）根据非负数的性质得到，，即可解得，； （2）利用（为正整数）进行计算． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为2，1； （2）原式 【变式3】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）【情景创设】 ，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律是第________个数； 【阅读理解】． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）请直接写出计算结果：________； （3）探究并计算：． 【答案】（1）10（2） （3） 【分析】本题考查数字类规律探究理由是的混合运算． （1）根据题目可得第n个数为，即可解答； （2）根据题目所给的简便算法的运算方法进行计算即可； （3）将原式化为求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， 第五个：， …… 第n个：， ∵， ∴是第10个数， 故答案为：10； （2） ； （3） ． 【题型八】倒序相加法 【例8】计算：； 【答案】500500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：． 【答案】15000 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： 【答案】2500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： 计算：． 【答案】15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】设，① 则，② ①②得：， ， ． 【题型九】算“24” 【例9】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：或（答案不唯一）． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据有理数的四则运算法则求解即可； （3）由于，那么只需要把3和8都平方，再各字除以其本身后作乘法即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，小明有张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且数值最大的数，即可求解； （2）根据张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，据此求解即可； （3）用加减乘除只要答数是即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽出张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：； （2）由题意可得，从中抽出张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）由题意可得，． 好题必刷 一、填空题 1．（七年级上·江苏南京·期末）计算（++）﹣2×（﹣﹣﹣）﹣3×（++﹣）的结果是 ． 【答案】﹣ 【详解】试题分析：原式利用乘法分配律计算，即可得到结果． 解：原式=++﹣1+++﹣﹣﹣+=+（+﹣）+（+﹣）+（﹣1++﹣）=﹣+=﹣， 故答案为﹣ 考点：有理数的混合运算． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连结起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“”这4个数字算“24点”，列出的算式是 ． 【答案】 【分析】利用运算符号将四个数连接，结果为24即可．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：． ∴列出的算式是． 3．计算： = ． 【答案】 【详解】原式=== =. 点睛：解答本题有两个关键点：（1）要知道对于正整数，等式始终成立；（2）原式中提出因数“”后，括号中的每一个数都可以借助（1）中的式子化为：的形式. 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．用归纳的方法得到的结论不一定正确，智慧学习小组用归纳的思想方法探索得出下面三个结论：正确的有 ．（填序号） ①从1000到2024共有1024个整数（含1000与2024这两个数）； ②； ③． 【答案】② 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，找出数字规律进行计算是关键，根据题目中给出条件，找出规律计算即可． 【详解】解：①从1000到2024共有个整数（含1000与2024这两个数）； ②； ③ ； 三个结论中正确的有：②， 故答案为：②． 二、解答题 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简绝对值，再进行加减运算，即可求解； （2）先计算乘方，然后将除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行运算，最后进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值，含乘方的有理数混合运算，有理数乘法运算律等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）计算或化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键： （1）根据加减运算法则进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减； （3）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 7．（2022七年级上·江苏·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）、（2）根据有理数的加法法则，结合有理数的加法运算律进行计算即可． （3）、（4）按有理数的加法法则，利用交换律，结合律，将分母相同的交换并结合在一起进行计算即可． 【详解】（1）解：原式= = =； （2）解：原式= = = =； （3）解： = = =； （4）解： = = = =． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，有以下两个解题要点：（1）熟记“有理数的加法法则”；（2）知道有理数的加法交换律和结合律，并能在解题中灵活应用． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读与应用计算：， 解：因为：=，=，=，…=， 所以： = = = =， 计算： (1)+++…+； (2)+++…+． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中已有的方法即可计算； （2）根据题目给出的方法，类推即可求解． 【详解】（1）+++…+ ； （2）+++…+ ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，结合题目给出的方法，得到，是解答本题的关键． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$