第04章 一元一次方程 单元复习+小测（核心知识+7易错辨析+18典例精讲）2026-2027学年苏科版七年级数学上册复习+ 期考讲义专项

该初中数学一元一次方程单元复习讲义通过表格梳理解方程步骤、分点呈现核心知识，构建“概念-性质-解法-应用”的完整体系，清晰呈现一元一次方程的三要素、等式性质及实际应用解题六步等重难点。 讲义亮点在于7个易错辨析直击去分母漏乘等高频错误，18个典例精讲涵盖配套问题、《九章算术》古代问题等，通过“解题六步”培养模型意识和运算能力。分层练习设计让基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师精准教学。

第04章 一元一次方程 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+18典例精讲） 【知识点01】相关概念 方程：含有未知数的等式叫方程。 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。 三要素：①一个未知数；②未知数次数为1；③分母不含未知数（整式方程） 标准形式：（为常数，） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 解方程：求方程解的过程。 【知识点02】等式的基本性质（解方程的依据） 性质1：若，则；等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍成立。 性质2：若，则；若，，则；等式两边同时乘（除以不为0）同一个数，等式仍成立。 注意：等式两边必须同时做相同变形；除数不能为0。 【知识点03】解一元一次方程五大步骤 步骤 做法 变形依据 去分母 两边同乘各分母最小公倍数 等式性质2 去括号 运用乘法分配律去括号 乘法分配律 移项 含未知数项移左边，常数项移右边，移项要变号 等式性质1 合并同类项 化为形式 合并同类项法则 系数化为1 两边同除以，得 等式性质2 【知识点04】一元一次方程的实际应用 解题六步：审、设、列、解、验、答 1. 审：读懂题意，找出等量关系（核心） 2. 设：设未知数（直接设/间接设） 3. 列：根据等量关系列出一元一次方程 4. 解：解方程 5. 验：检验解是否符合实际意义 6. 答：完整写出答案 常见模型：行程、工程、销售利润、配套、和差倍分、等积变形问题。 易错点1：判断一元一次方程概念出错 ❌错例：判定为一元一次方程 ✅辨析：分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程；未知数次数是2，也不是一元一次方程。 易错点2：去分母漏乘不含分母的项（最高频错误） ❌错例：，去分母得： ✅正确： 提醒：等式每一项都要乘最小公倍数，常数项千万不要漏乘；分子是多项式，去分母后要加括号。 易错点3：去括号符号、漏乘 ❌错例：，去括号得 ✅正确： 提醒：括号前面是负号，去括号括号内全部变号；括号外系数要乘括号内每一项，不能漏乘。 易错点4：移项不变号（移项≠交换位置） ❌错例：，移项得 ✅正确： 辨析：跨等号移动才叫移项，必须变号；同一侧交换位置，不需要变号。 易错点5：系数化为1分子分母颠倒 ❌错例：，得 ✅正确： 辨析：，，未知数系数做分母。 易错点6：等式性质2忽略除数不为0 ❌错：若直接得到 ✅辨析：只有，才可以两边同除以；时不能除。 易错点7：应用题忘记检验实际意义 解方程得到解，但解不符合现实（人数为负数、小数人数），该解要舍去。 【题型一】方程与方程的解 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若是方程的解，则的值等于（   ） A． B．5 C． D．1 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 3．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 4．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 5．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【题型二】等式的性质 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列将等式变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）设x，y，c是有理数，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25七年级·江苏苏州·期中）把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得__________． 9．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】判断是否是一元一次方程与解 10．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列方程中，是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为______________． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【题型四】一元一次方程的解法 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 15．解方程： (1) (2) 16．（2024七年级上·江苏南通·阶段检测）解下列方程． (1)； (2)． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2) 18．解方程： (1) (2) 【题型五】已知一元一次方程的解，求参数 19．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D．的值不确定 20．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）马小虎同学在解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则代数式值为__________． 22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 【题型六】一元一次方程解的关系 23．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 24．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 25．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解______． 26．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相等，我们就称这两个方程为“兄弟方程”． 例如：与即为“兄弟方程”． (1)若关于的方程：与方程是“兄弟方程”，求的值． (2)若两个“兄弟方程”的解的和为4，请写出一对符合要求的两个方程使得他们为兄弟方程． 【题型七】绝对值方程 27．已知，则的值可能是（  ） A． B． C．或 D．无法确定 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若，则x的值为______． 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)求的值． 30．（24-25七年级上·江苏南京·期中）“距离”再探究． 【概念理解】 （1）数轴上，点A、B表示的数分别是、2，则A、B两点之间的距离可以表示为 ． A．  B．  C．  D． 【数学思考】 （2）数轴上，点C、D、E表示的数分别是2、4、10．P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … 点P到C、D、E三点的距离之和 … ① ② 9 10 … 当 时，取最小值． 【实际应用】 （3）如图，在一条笔直的道路l上分别有A、B、C、D四个停车场．为满足充电需要，在道路l上修建一个充电站P．已知A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电，其中m为正整数．请问充电站P建在道路l上何处时，四个停车场中的所有电动车到充电站P的距离之和最小？并简要说明理由．（在停车场内移动的距离忽略不计）． 【题型八】配套问题(一元一次方程的应用) 31．（24-25七年级上·江苏南京·期末）去年秋季，我市某果树基地安排名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装个苹果或者个梨，每个果篮中放个苹果和个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮．若设有名工人包装苹果，则可列方程（    ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）用张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面个或底面个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用x张彩纸制作圆柱侧面，则可列一元一次方程为______． 33．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）某车间有技术工人56人，平均每天每人可加工甲种部件18个或乙种部件15个，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问加工甲、乙两种部件各安排多少人才能使每天加工的两种部件刚好配套？ 34．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【题型九】工程问题(一元一次方程的应用) 35．（24-25七年级上·江苏南通·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需（    ） 天数 第3天 第7天 工作进度 A．35天 B．30天 C．15天 D．10天 36．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）一件工作，甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，先由甲、乙两人合作小时，再由乙单独完成剩余任务，则完成此任务还需______小时． 37．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 38．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 【题型十】销售盈亏(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某商品先按进价提高标价，后又降价元后销售，此时的售价为元，则该商品的进价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 40．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）某种商品每件的进价为120元，标价为195元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打______折． 41．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某超市第一次购进，两种月饼礼盒共个，上市一周全部售空，两种礼盒共获利元．如表列出了两种礼盒的进价与售价．根据下表，求该超市第一次购进礼盒有多少个． 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 礼盒 42．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某超市在“双11”期间推出优惠活动，优惠的具体方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元的部分 不予优惠 超过200元但不超过400元的部分 给予9折优惠 超过400元的部分 给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过元但不超过元时，他实际付款________元（用含的代数式表示，要求写化简后结果）； (3)如果小亮一次购物实际付款556元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【题型十一】比赛积分(一元一次方程的应用) 43．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）一份试卷共有26道选择题，答对一题得8分，答错一题扣5分，现有一个考生虽然做了全部26道题，但所得总分却为0分，那么他做对了_______道题． 44．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，可知胜一场积 _____分． 45．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）亲子互动游戏是家长和孩子之间的积极沟通方式．小明和爸爸一起玩投篮球游戏，两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共得了20分．若两人一共投中12个球，则小明投中几个球？ 46．某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【题型十二】方案选择(一元一次方程的应用) 47．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 48．某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠； 小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款_____元． 49．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）某超市笔记本价格为“硬面抄”每本8元，“软面抄”每本5元，问：能否恰好用366元买到50本上述价格的两种笔记本？为什么？ 50．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【题型十三】数字、日历问题(一元一次方程的应用) 51．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，，，均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则的值为(    ) A． B． C． D． 52．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图是某月份的日历，由如图所示的框，任意框出三个数a，b，c，则不可能是（      ） A．63 B．66 C．69 D．72 53．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）将正整数1至 1000 按一定规律排列如下表，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2033 54．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 55．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． (1)如图1是一个“和幻方”，则_____，_____； 2 6 5 8   图1 (2)如图2是一个“积幻方”，求的值． 2 2 m n    图2 【题型十四】几何问题(一元一次方程的应用) 56．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形，其中．长方形的面积是(   ) A．120 B．130 C．140 D．150 57．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为___________． 58．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 59．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 【题型十五】动点问题（一元一次方程的应用） 60．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点为原点，，为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点，分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 61．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知在数轴上有一点，将点向右移动3个单位得到点，点向右移动5个单位得到点，点分别表示有理数．若三个数的乘积为正数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值是___________． 62．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）点，，在数轴上，若点与点之间的距离是点与点之间的距离的倍，则称是【，】的伙伴点． 如图，点，，，在数轴上， 是原点， 是【， 】的伙伴点，也是【，】的伙伴点．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点，分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，当是【，】的伙伴点时的值为_______． 63．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是a，b，c．满足，原点O是中点．动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)则___，_____，_____． (2)若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．则点Q运动______________秒时，两点之间的距离为4． 【题型十六】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 64．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 65．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明比爸爸小26岁，今年爸爸的年龄正好是小明的3倍，求小明今年的年龄．设小明今年岁，由题意可列方程为__________． 66．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）甲组有37人，乙组有23人，现在需要从甲、乙两组抽调相同数量的人去做其他工作，已知甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍，求从甲组调出的人数． 67．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）七年级（1）班在植树节展开“把绿色种在春天里”活动，全班同学一起去种一批树苗，若每个人种6棵，则少16棵树苗；若每人种5棵，则剩下24棵树苗末种．（列方程求解） (1)七年级（1）班一共多少人？ (2)这批树苗一共多少棵？ 【题型十七】行程问题(一元一次方程的应用) 68．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 69．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿方向同向而行，同时出发，甲的速度为，乙的速度为，则______小时后两人相距． 70．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 71．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）云龙湖是国家级旅游景区，也是市民休闲运动的场所．已知，两地在湖畔同一直道上相距，甲、乙两人从地出发匀速跑向地，甲比乙提前出发，两人同时抵达地，乙的速度为． (1)甲的速度为______； (2)乙出发多久时，两人相距？ (3)当甲、乙两人的距离不超过时，他们可通过某种无线通讯设备进行联系，在甲的运动过程中，两人通过该设备联系的总时长为_____． 【题型十八】古代问题(一元一次方程的应用) 72．（25-26七年级上·江苏南通·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 73．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为尺，则可列方程为___________． 74．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 75．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 1. 两大工具：等式的两条基本性质，是解方程变形的根本依据。 2. 解方程流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；运算最容易丢分在符号与漏乘，每一步做完检查符号。 3. 思想方法：转化思想，把复杂方程逐步化简为的最简形式。 4. 应用题核心：不要死记题型公式，重点寻找题目中的等量关系；解完一定要检验结果是否符合实际。 5. 本章常见失分点：去分母漏乘常数项、去括号符号错误、移项忘记变号、系数化为1颠倒分子分母；做题重点盯住这四处。 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）马小虎同学在解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下列变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．下边的框图表示了琳琳同学解方程的过程，已知这个过程有错误，则开始出现错误的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第五步 6．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 7．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 8．整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣mx﹣2n＝2的解为（    ） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 mx＋2n 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．无法计算 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 二、填空题 11．若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为______． 12．甲､乙两人骑自行车同时从相距的两地相向而行，已知甲每小时行驶，乙每小时行驶，则他们________后相遇． 13．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却少了个字．问：两种诗各多少首？设七言绝句共有首，根据题意，可列方程为意____________________． 14．《九章算术》一书中记载了这样一道题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何．”大意是有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就还差16文钱．买鸡的有_______人，鸡的价钱为_______文． 15．一组数按一定的规律排列：，，1，，16，，…．其中某三个相邻数的和是，则这三个相邻数最中间的数是________． 16．某商场进行促销活动，发布两种消费券：券，满元减元；券，满元减元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款．用券后，两人共付款元，则他们所购商品的标价为________元． 17．某商场十一黄金周期间对顾客实行如下优惠： （1）一次性购物金额不超过200元，不予以优惠； （2）一次性购物金额超过200元但不超过500元，按全部金额九折优惠； （3）一次性购物金额超过500元，其中500元的部分按九折优惠，超过500元的部分按八折优惠． 顾客甲第一次在该商场购物原价为m元，第二次购物原价为700元，这样分两次购买比一次性购买同样数量的商品多付款36元，则m的值为___________． 三、解答题 18．已知关于x的一元一次方程3x+9＝2x﹣m的解与x+2m＝3的解相同，求m的值． 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．解一元一次方程． (1) (2) 21．已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 23．如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且，． (1)求A、B两点所表示的数各是多少； (2)P、Q为线段上两点，且，设，请用含m的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，M为线段的中点，若，请直接写出m的值． 24．已知点C在直线AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)画出示意图，并求线段MN的长度； (2)如图，点C在线段AB上时，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点B向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，在整个运动过程中，当C，P，Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，P点运动了多少秒？（画出示意图，并写出求解过程） 25．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04章 一元一次方程 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+18典例精讲） 【知识点01】相关概念 方程：含有未知数的等式叫方程。 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。 三要素：①一个未知数；②未知数次数为1；③分母不含未知数（整式方程） 标准形式：（为常数，） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 解方程：求方程解的过程。 【知识点02】等式的基本性质（解方程的依据） 性质1：若，则；等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍成立。 性质2：若，则；若，，则；等式两边同时乘（除以不为0）同一个数，等式仍成立。 注意：等式两边必须同时做相同变形；除数不能为0。 【知识点03】解一元一次方程五大步骤 步骤 做法 变形依据 去分母 两边同乘各分母最小公倍数 等式性质2 去括号 运用乘法分配律去括号 乘法分配律 移项 含未知数项移左边，常数项移右边，移项要变号 等式性质1 合并同类项 化为形式 合并同类项法则 系数化为1 两边同除以，得 等式性质2 【知识点04】一元一次方程的实际应用 解题六步：审、设、列、解、验、答 1. 审：读懂题意，找出等量关系（核心） 2. 设：设未知数（直接设/间接设） 3. 列：根据等量关系列出一元一次方程 4. 解：解方程 5. 验：检验解是否符合实际意义 6. 答：完整写出答案 常见模型：行程、工程、销售利润、配套、和差倍分、等积变形问题。 易错点1：判断一元一次方程概念出错 ❌错例：判定为一元一次方程 ✅辨析：分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程；未知数次数是2，也不是一元一次方程。 易错点2：去分母漏乘不含分母的项（最高频错误） ❌错例：，去分母得： ✅正确： 提醒：等式每一项都要乘最小公倍数，常数项千万不要漏乘；分子是多项式，去分母后要加括号。 易错点3：去括号符号、漏乘 ❌错例：，去括号得 ✅正确： 提醒：括号前面是负号，去括号括号内全部变号；括号外系数要乘括号内每一项，不能漏乘。 易错点4：移项不变号（移项≠交换位置） ❌错例：，移项得 ✅正确： 辨析：跨等号移动才叫移项，必须变号；同一侧交换位置，不需要变号。 易错点5：系数化为1分子分母颠倒 ❌错例：，得 ✅正确： 辨析：，，未知数系数做分母。 易错点6：等式性质2忽略除数不为0 ❌错：若直接得到 ✅辨析：只有，才可以两边同除以；时不能除。 易错点7：应用题忘记检验实际意义 解方程得到解，但解不符合现实（人数为负数、小数人数），该解要舍去。 【题型一】方程与方程的解 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若是方程的解，则的值等于（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴； 故选B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 3．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 4．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1) 解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； (2) 解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 5．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【题型二】等式的性质 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列将等式变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，需依据等式的两个性质逐一判断各选项的变形是否符合性质． 【详解】解：∵， ， ∴该变形不正确，符合题意； ∵， ， ∴该变形正确，不符合题意； ∵， ， ∴该变形正确，不符合题意； ∵， ， ∴该变形正确，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）设x，y，c是有理数，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，需依据等式的两条性质逐一分析选项，特别注意等式两边同除以一个数时，该数不能为0． 【详解】解：∵等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立， A：若，根据等式性质1，两边同时加有理数，得，结论正确； B：若，根据等式性质2，两边同时乘有理数，得，结论正确； C：若，先根据等式性质2两边同时乘2，得，再根据等式性质1两边同时减有理数，得，结论正确； D：若，当时，与无意义，无法推出，结论错误； ∴错误的结论是D， 故选：D． 8．（24-25七年级·江苏苏州·期中）把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得__________． 【答案】 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】根据等式的性质，把方程变形，得出用含有x的代数式表示y即可． 本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方程两边同时除以，得． 故答案为：． 9．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质． （1）两边都加6，化简即可； （2）两边都加，再把两边都除以2即可； （3）两边都除以3即可； （4）两边都除以即可． 【详解】（1）解：两边都加6得： 得： （2）解：两边都加得： 得： 两边都除以2得：，即 （3）解：两边都除以3得：，即 （4）解：两边都除以得：，即 【题型三】判断是否是一元一次方程与解 10．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列方程中，是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数的最高次数为1、整式方程），逐一判断各选项是否符合． 【详解】解：∵一元一次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方程． 选项A：，含两个未知数，不是一元一次方程 选项B：，未知数次数为2，不是一元一次方程 选项D：，非整式方程，不是一元一次方程； 选项C：，只含一个未知数x，次数为1，且为整式方程，符合所有条件． 故选：C． 11．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为______________． 【答案】4 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是掌握方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，进而求解即可． 【详解】解：由于方程是关于x的一元一次方程， ∴x的指数 解得． 故答案为：4． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【知识点】判断是否是一元一次方程、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 【题型四】一元一次方程的解法 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 方程两边同时乘以，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，， 将系数化为，得． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 16．（2024七年级上·江苏南通·阶段检测）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程的步骤． 按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解答即可； 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解答即可． 【详解】（1）解： （2） ． 18．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）方程去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． （2）方程去分母，去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：； （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：． 【题型五】已知一元一次方程的解，求参数 19．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D．的值不确定 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】设，则，代入方程，将关于的方程转化为与已知方程相同的形式，利用已知解直接求解． 本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程之合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【详解】解：设，则，代入方程， 得， 整理得，即， ∵方程 的解为， ∴，即， ∴． 故选：A． 20．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）马小虎同学在解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，把代入方程中求出k的值，进而求出原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，关于x的方程的解为， ∴， 解得， ∴原方程为， ∴， 解得， 故选：C． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则代数式值为__________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值． 将代入求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据“友好方程”的定义即可求解； （2）根据“友好方程”的定义得到方程，再解方程求出，最后代入求值即可； （3）先求出方程的“友好方程”，再求出两个方程的解，然后根据解都是整数即可求解整数c的值． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， ∴； （3）解：方程的“友好方程”为， 解得：， 解得：， ∵与其“友好方程”的解都是整数， ∴与都是整数， ∴既是5的倍数，也是5的因数， ∴． ∴或． 【题型六】一元一次方程解的关系 23．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 24．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程解的关系，解一元一次方程． 根据两个方程的解互为相反数，设第一个方程的解为a，则第二个方程的解为，分别代入方程得到，，将代入求解即可． 【详解】解：设方程的解为，则方程的解为， ∴，， 由第二个方程得：， 将代入得， 化简得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 25．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解______． 【答案】5 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程解的定义，是解题的关键．通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知解方程相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 令，则关于y的方程化为： ， ∵该方程与已知方程形式相同，且已知解为， ∴，即， 解得：． 故答案为：5． 26．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相等，我们就称这两个方程为“兄弟方程”． 例如：与即为“兄弟方程”． (1)若关于的方程：与方程是“兄弟方程”，求的值． (2)若两个“兄弟方程”的解的和为4，请写出一对符合要求的两个方程使得他们为兄弟方程． 【答案】(1)或 (2)， 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法． （1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再根据“兄弟方程”的定义可知方程的解为或，分别代入中求解即可； （2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，根据“兄弟方程”的定义，列出方程求解，最后根据方程的解写出符合题意的方程即可． 【详解】（1）解：解方程， 得， ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴或， ∴或． （2）解：∵两个“兄弟方程”的解的和为4， ∴设“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∴， 解得， ∴两个“兄弟方程”为，（答案不唯一）． 【题型七】绝对值方程 27．已知，则的值可能是（  ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．利用绝对值的性质即可解决． 【详解】解：∵， ∴或， 故选：C． 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若，则x的值为______． 【答案】0或2 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了解含有绝对值的方程；将等式化为，再根据绝对值的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为0或2． 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】绝对值方程、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了有理数的混合运算，绝对值，熟练掌握其运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值求出x与y的值，再根据题意确定出x与y的值，代入计算即可求出值； （2）根据x与y的绝对值分别求出x的平方和y的平方，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 则或； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 30．（24-25七年级上·江苏南京·期中）“距离”再探究． 【概念理解】 （1）数轴上，点A、B表示的数分别是、2，则A、B两点之间的距离可以表示为 ． A．  B．  C．  D． 【数学思考】 （2）数轴上，点C、D、E表示的数分别是2、4、10．P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … 点P到C、D、E三点的距离之和 … ① ② 9 10 … 当 时，取最小值． 【实际应用】 （3）如图，在一条笔直的道路l上分别有A、B、C、D四个停车场．为满足充电需要，在道路l上修建一个充电站P．已知A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电，其中m为正整数．请问充电站P建在道路l上何处时，四个停车场中的所有电动车到充电站P的距离之和最小？并简要说明理由．（在停车场内移动的距离忽略不计）． 【答案】（1）D； （2）2；9；8；4； （3）充电站建在停车场．理由如下： A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电， ∵m为正整数， ∴，， 如图， 先只考虑停车场A与停车场D，将停车场A的车辆数分为6辆和辆两个部分， 车辆数为6辆的停车场A与停车场D之间建充电站， 根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场D的共计12辆电动车到充电站P的距离之和最小； 现在讨论余下车辆数为辆的停车场A、停车场B、停车场C之间建充电站的问题， 如图， 同理：再将余下停车场A的车辆数分为辆和辆两个部分， 车辆数为辆的停车场A与停车场C之间建充电站， 根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场C的共计辆电动车到充电站P的距离之和最小； 现在讨论余下车辆数为辆的停车场A、停车场B之间建充电站的问题， 如图， ∵， ∴再将停车场B的车辆数分为辆和1辆两个部分， 车辆数为辆的停车场A与车辆数为辆的停车场B之间建充电站， 根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场B的共计辆电动车到充电站P的距离之和最小； 此时还剩下B停车场的1辆车， 当充电站建在停车场B时，B停车场剩下的1辆车到充电站的距离为0，即距离最小， 充电站的建设范围由缩小至，再缩小至，最后确定在点B， 综上：充电站建在停车场． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】（1）两数相减，再取绝对值即可作答； （2）（Ⅰ）先得出点P到C、D两点的距离之和为：，在分类讨论即可作答；（Ⅱ）点P到C、D、E三点的距离之和为：，同理分类讨论即可作答； （3）除距离外，还涉及到车的数量，总距离等于车的数量乘以单辆车所走的距离．为了运用第（2）的结论，则必须要构造出车辆数相等的点（停车场），据此逐步缩小范围即可作答． 【详解】（1）A、B两点之间的距离可以表示为， 故选：D； （2）（Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和为：， 当时，， 当时，， 当时，， 点P到C、D两点的距离之和的最小值为2， （Ⅱ）点P到C、D、E三点的距离之和为：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即有， 当时，， 即有，且当时，， 当时，， 即当时，取最小值，最小值为8． 故答案为：（Ⅰ）2；（Ⅱ）9，8，4； （3）略 【点睛】本题考查了数轴，代数式与数轴的应用，问题的难点在第（3）问，构造出车辆数相等的点（停车场），是解答本题的关键． 【题型八】配套问题(一元一次方程的应用) 31．（24-25七年级上·江苏南京·期末）去年秋季，我市某果树基地安排名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装个苹果或者个梨，每个果篮中放个苹果和个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮．若设有名工人包装苹果，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设有名工人包装苹果，根据使包装的水果刚好完整配成果篮，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有名工人包装苹果，则名工人包装梨，根据题意得， ， 故选：C． 32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）用张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面个或底面个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用x张彩纸制作圆柱侧面，则可列一元一次方程为______． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据题意可知等量关系为：侧面的数量的2倍等于底面的数量，据此可列出一元一次方程． 【详解】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有张纸作圆柱底面， 根据题意可得： 故答案为：． 33．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）某车间有技术工人56人，平均每天每人可加工甲种部件18个或乙种部件15个，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问加工甲、乙两种部件各安排多少人才能使每天加工的两种部件刚好配套？ 【答案】安排20人加工甲部件，安排36人加工乙部件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出加工甲的人数，表示出乙的人数，根据配套情况列方程求解． 设安排x人加工甲部件，则安排人加工乙部件，等量关系为：加工甲部件的人数加工乙部件的人数，依此列出方程，解方程即可． 【详解】解：设安排x人加工甲部件，则安排人加工乙部件，依题意得： ， 解得， 乙：（人）， 答：安排20人加工甲部件，安排36人加工乙部件． 34．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件 (2)补充新工人后每天能配套生产32套该产品 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，利用已知条件设出未知数和列出正确的方程是解题的关键． （1）根据已知条件列出x人生产A型部件，则有人生产B型部件，再利用已知条件列出方程即可求解； （2）根据已知条件列出安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件，再根据已知条件列出方程，注意引入的新工人只能独立进行B型部件的加工，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设有x人生产A型部件，则有人生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， 答：按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件； （2）解：设安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， ∴（套）， 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品． 【题型九】工程问题(一元一次方程的应用) 35．（24-25七年级上·江苏南通·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需（    ） 天数 第3天 第7天 工作进度 A．35天 B．30天 C．15天 D．10天 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题是一元一次方程的应用的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．首先求出甲的工作效率为，然后设乙的工作效率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴甲的工作效率为 设乙的工作效率为x， 根据题意得，， 解得 ∴乙的工作效率为， ∴若乙单独完成这项工作，则需30天． 故选：B． 36．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）一件工作，甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，先由甲、乙两人合作小时，再由乙单独完成剩余任务，则完成此任务还需______小时． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设完成此任务还需小时，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设完成此任务还需小时， 根据题意得， 解得：， 故答案为：． 37．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 【答案】还需天完成． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设还需要天完成，根据工作量关系列方程求解． 【详解】解：设还需要天完成， 甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 根据题意，得， ， ， ， 解得． 答：还需天完成． 38．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 【答案】7个月 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．设甲队还需要个月完成任务，根据合作3天的工作量+甲队单独完成的工作量列方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要个月完成任务．根据题意，得 解这个方程，得 答：甲队还需要7个月完成任务． 【题型十】销售盈亏(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某商品先按进价提高标价，后又降价元后销售，此时的售价为元，则该商品的进价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了实际问题与一元一次方程，理解题意正确列出相应的一元一次方程是解题的关键． 根据题意可以列出相应的一元一次方程，即可得解． 【详解】解：设该商品的进价为元， 可列方程：， ， ， 故选：D． 40．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）某种商品每件的进价为120元，标价为195元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打______折． 【答案】八 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设商店应打折，根据利润等于售价减进价，利润等于进价乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设商店应打折，由题意，得， 解得； 故商店应打八折； 故答案为：八． 41．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某超市第一次购进，两种月饼礼盒共个，上市一周全部售空，两种礼盒共获利元．如表列出了两种礼盒的进价与售价．根据下表，求该超市第一次购进礼盒有多少个． 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 礼盒 【答案】超市第一次购进礼盒有个． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 先设超市第一次购进礼盒有个，购进礼盒有个，根据表格可知礼盒单个利润为元，礼盒单个利润为元，根据总利润礼盒的单个利润礼盒的个数礼盒的单个利润礼盒的个数，列出等量关系并求解即可． 【详解】解：设超市第一次购进礼盒有个，购进礼盒有个． 据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：超市第一次购进礼盒有个． 42．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某超市在“双11”期间推出优惠活动，优惠的具体方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元的部分 不予优惠 超过200元但不超过400元的部分 给予9折优惠 超过400元的部分 给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过元但不超过元时，他实际付款________元（用含的代数式表示，要求写化简后结果）； (3)如果小亮一次购物实际付款556元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)这次购买商品的原价是620元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并分段计算是关键． （1）根据表格中的优惠方案直接计算即可； （2）根据优惠方案列出代数式即可； （3）先分析购买商品的原价的范围，结果超过400元．设商品原价为x元，根据题意列方程并求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，元中，不超过元的部分没有优惠，元的部分打九折， ∴原价元的商品实际付款元， 同理，原价元的商品实际付款元． 故答案为：；． （2）解：由题意可知，实际付款（元）． 故答案为：． （3）解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设商品的原价为x元， 根据题意，可列方程， 解得，， 答：他这次购买商品的原价是620元． 【题型十一】比赛积分(一元一次方程的应用) 43．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）一份试卷共有26道选择题，答对一题得8分，答错一题扣5分，现有一个考生虽然做了全部26道题，但所得总分却为0分，那么他做对了_______道题． 【答案】10 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题的等量关系为：得分-扣分=0；根据题意设出答对了x道题，可得关于x的方程式，求解可得答案． 【详解】解：设他答对了x道题，则： 8x-5（26-x）=0， 解得：x=10． 故答案为：10． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，本题的关键点和难点在等量关系上：对题得分-错题扣分=实际得分． 44．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，可知胜一场积 _____分． 【答案】2 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】根据C队情况确定胜一场和负一场共积3分，然后设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分，根据A队情况列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：观察C队情况，可知胜一场和负一场的积分之和为27÷9=3分． 设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分． 根据A队情况得14x+4（3﹣x）＝32． 解得x＝2． ∴胜一场积2分． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 45．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）亲子互动游戏是家长和孩子之间的积极沟通方式．小明和爸爸一起玩投篮球游戏，两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共得了20分．若两人一共投中12个球，则小明投中几个球？ 【答案】4个 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设小明投中x个球，小明爸爸投中个球，根据关键语句“结果两人一共得了20分”可得方程，解方程即可； 【详解】解：设小明投中x个球，小明爸爸投中个球，根据题意得， ， 解得，   答：小明投中4个球． 46．某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)6，； (2)他答对了道题； (3) 解：不可能，理由如下： 不是整数 他不可能得分 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）根据参赛者A和B的得分情况即可求解； （2）设答对道题，列方程或即可求解； （3）解方程，即可判断； 【详解】（1）解：由参赛者A的得分情况可知：参赛者答对1道题得：（分）； 参赛者B的得分情况可知：参赛者答错1道题得：（分）； 故答案为：6，； （2）解：设答对道题，根据题意得： 或 答：他答对了道题 【题型十二】方案选择(一元一次方程的应用) 47．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 【答案】C 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价，打八折即原价，分别得出等式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 当购买的书款9折销售时，设原价为x元，根据题意可得： ， 解得：， 当购买的书款8折销售时，设原价为y元，根据题意可得： ， 解得：， 故李明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是理解售书的三种方案． 48．某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠； 小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款_____元． 【答案】304或336 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元． 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：，解得：． 第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：，解得：． 即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了350元．因此均可以按照8折付款：（元），（元）． 故答案为:304或336． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 49．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）某超市笔记本价格为“硬面抄”每本8元，“软面抄”每本5元，问：能否恰好用366元买到50本上述价格的两种笔记本？为什么？ 【答案】 解：不能恰好用366元买到50本上述价格的两种笔记本．理由如下： 设“硬面抄”买了x本，则“软面抄”买了本，根据题意得 ， 解得， 表示“硬面抄”的本数，是正整数， 不合题意． 故不能恰好用366元买到50本上述价格的两种笔记本． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设“硬面抄”买了x本，则“软面抄”买了本，根据购买“硬面抄”的钱数购买“软面抄”的钱数建立方程，如果求出的x是非负整数且符合题意，则能够；否则，不能够． 50．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【答案】(1)8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠 (2)学生14人，非学生游客16人 【知识点】有理数四则混合运算、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的混合运算，利用方程解决问题是解题的关键； （1）让非学生游客享受8折优惠的同时，使尽量多的学生享受6折优惠即可； （2）设学生有x人，非学生游客有人，列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 【题型十三】数字、日历问题(一元一次方程的应用) 51．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，，，均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】考查了一元一次方程的应用，本题的解决首先把求的值作为入手点，因，等式左右两边含有公共，可相互抵消，即可求得．先根据其每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，寻找具有已知量最多且含有公共未知量的行或列，只能是，此时可解得；再以为等式，可知，依此类推求出各字母代表的值即可解答． 【详解】解：依题意知：， 解得； 又， ． 又∵， ， 此时可知幻方中每一行、每一列、每条对角线上三个数的和为． 所以， 解得； ， 代入得， 解得； ， 解得 ，，， ． 故选：A． 52．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图是某月份的日历，由如图所示的框，任意框出三个数a，b，c，则不可能是（      ） A．63 B．66 C．69 D．72 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用−日历问题，根据横排相邻的日期，下面的数总比上面的数多7，判断各结论即可． 【详解】解：根据图示知：，， ∴， ∴， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，当时，，不可能，故符合题意， 故选：D． 53．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）将正整数1至 1000 按一定规律排列如下表，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2033 【答案】D 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用一元一次方程解决有规律的数列问题”是解题的关键. 设表格中三个数下面的数为 则左上的数为，右上的数为，所以三个数的和为：，再分别列方程求解，再检验即可. 【详解】解：设表格中三个数下面的数为 则左上的数为，右上的数为， 所以三个数的和为：， 当，则，故A不符合题意； 当，则，故B不符合题意； 当，则， 而，是数列中第85行最后1个数，故C不符合题意 当，则，是数列中第86行第3个数，故D符合题意； 故选：D． 54．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 【答案】2 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题是一元一次方程的应用，能够理解新定义列出方程是解题关键． 根据“格子乘法”可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图， ， 解得， 故答案为：2． 55．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． (1)如图1是一个“和幻方”，则_____，_____； 2 6 5 8   图1 (2)如图2是一个“积幻方”，求的值． 2 2 m n    图2 【答案】(1)1，7 (2) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合题干要求进行列式计算，即可得出，． （2）理解题意，结合题干要求进行列式计算，即可得出，，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 整理得，， 解得：，． 故答案为：1，7； （2）解：根据题意得：，， 解得：，， ∴ 【题型十四】几何问题(一元一次方程的应用) 56．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形，其中．长方形的面积是(   ) A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设． 根据正方形的性质和线段的和差关系即可得出和．求出长方形的长和宽，再用长宽即可得出长方形的面积． 【详解】设，则，， ， ， ， 长方形的长为：， 宽为：． 所以长方形的面积为：． 故选：C． 57．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 58．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 59．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 【答案】(1)3；2，4； (2)； (3)5，8，12，15 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解图示，掌握代数式的运用，一元一次方程的计算是关键． （1）结合图形，由正方形的性质列式求解即可； （2）根据题意，设右上方的小正方形的边长为，由此得到，由此即可求解； （3）根据题意，分别画出3阶奇异长方形，结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：图1中，， ∴， 图2中，左边的图，， ∴， 右边的图，， ∴， 解得，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示， 设右上方的小正方形的边长为， ∴，， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∴； 如图所示， ∴， 解得，； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，b的值为，，，． 【题型十五】动点问题（一元一次方程的应用） 60．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点为原点，，为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点，分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及含参的一次函数的性质，解题的关键是正确用含的式子表示线段的长度．先求出点对应的数为，点对应的数为，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：，， ，， 点对应的数为，点对应的数为， 设经过秒，则，，， 当时，， ，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 当时，， ，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时，的值在某段时间内不随着的变化而变化， 故选：． 61．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知在数轴上有一点，将点向右移动3个单位得到点，点向右移动5个单位得到点，点分别表示有理数．若三个数的乘积为正数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值是___________． 【答案】或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，一元一次方程的应用，解决本题的关键是设出未知数，根据条件列一元一次方程并验证． 通过数轴移动表示出和，分“、、”三种情况列方程，并验证乘积是否为正数，筛选出符合条件的值即可． 【详解】解：根据题意可得，，三个数的和， 当时，，解得， 此时，，，乘积，符合题意； 当时，，解得， 此时，，，乘积，符合题意； 当时，，解得， 此时，，，乘积，不符合题意； 故的值为或． 故答案为：或． 62．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）点，，在数轴上，若点与点之间的距离是点与点之间的距离的倍，则称是【，】的伙伴点． 如图，点，，，在数轴上， 是原点， 是【， 】的伙伴点，也是【，】的伙伴点．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点，分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，当是【，】的伙伴点时的值为_______． 【答案】 或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据伙伴点的定义，结合初始条件点、点、点的坐标关系，以及运动过程中点的坐标变化，建立方程求解． 【详解】解：初始时点在原点，点在处，点在处，点在处， 点以每秒个单位向左运动，运动后坐标为， 点以每秒个单位向右运动，运动后坐标为， 点以每秒个单位向右运动，运动后坐标为， 点是【，】的伙伴点需满足， 即， 化简得：， 解方程：当时， 方程化为， 解得：； 当时， 方程化为， 解得：； 故答案为：或5． 63．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是a，b，c．满足，原点O是中点．动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)则___，_____，_____． (2)若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．则点Q运动______________秒时，两点之间的距离为4． 【答案】(1)，， (2)点对应的数为或2 (3)8，16， 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、绝对值方程 【分析】本题考查的是绝对值及平方的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用， （1）根据绝对值及平方的非负性求出a、b，再得出b、c互为相反数求得c值即可； （2）先求出点表示的数是，再根据两点之间的距离列绝对值方程，再根据绝对值的性质分别即可； （3）设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为，分三种情况分别求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵点O是中点， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，点表示的数是， 点到点的距离是点到点的距离的2倍， ∴ 即，解得 当时，      当时，； 点对应的数为或2； （3）解：点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， 设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为4， 当点在点的右侧，且点还没追上点，则， 解得8； 当点在点的左侧，且点追上点后，则， 解得，此时点Q到达C处； 当点到达点后返回，且点在点右侧，则， 解得； 综上，当点开始运动后第8，16， 秒时，、两点之间的距离为4． 【题型十六】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 64．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队， ∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人． 根据题意得：． 故选：B． 65．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明比爸爸小26岁，今年爸爸的年龄正好是小明的3倍，求小明今年的年龄．设小明今年岁，由题意可列方程为__________． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小明今年x岁，则爸爸今年岁，根据年龄差为26岁列出方程即可． 【详解】解：设小明今年x岁，则爸爸今年岁， 根据题意得：． 故答案为：． 66．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）甲组有37人，乙组有23人，现在需要从甲、乙两组抽调相同数量的人去做其他工作，已知甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍，求从甲组调出的人数． 【答案】9 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设从两组调出的人数均为x，根据调出后甲组人数是乙组人数的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设从甲组调出的人数为x，则甲组剩下人，乙组剩下人． ∵甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍， ∴， ， 答：从甲组调出的人数为9． 67．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）七年级（1）班在植树节展开“把绿色种在春天里”活动，全班同学一起去种一批树苗，若每个人种6棵，则少16棵树苗；若每人种5棵，则剩下24棵树苗末种．（列方程求解） (1)七年级（1）班一共多少人？ (2)这批树苗一共多少棵？ 【答案】(1)40人 (2)224棵 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键； （1）设七年级（1）班一共x人，则有树苗棵或棵，根据树苗数相等得到一元一次方程，解方程即可求解； （2）把求得的x值代入中即可求解． 【详解】（1）解：设七年级（1）班一共x人，则有树苗棵或棵， 由题意得：， 解得：； 答：七年级（1）班一共40人； （2）解：当时，（棵）； 答：这批树苗一共224棵． 【题型十七】行程问题(一元一次方程的应用) 68．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 69．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿方向同向而行，同时出发，甲的速度为，乙的速度为，则______小时后两人相距． 【答案】2或8 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小时后两人相距，分两种情况：当甲在乙后面相距时；当乙在甲后面相距时；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果，理解题意，找准等量关系，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设小时后两人相距． 当甲在乙后面相距时，由题意可得：， 解得：； 当乙在甲后面相距时，由题意可得：， 解得：； 综上所述，2或8小时后两人相距， 故答案为：2或8． 70．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 【答案】千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用(行程问题)，关键是根据轿车与货车行驶同样距离的时间差建立等量关系列方程求解． 【详解】解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：， 方程两边同时乘以得：， 合并同类项得：； 答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 71．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）云龙湖是国家级旅游景区，也是市民休闲运动的场所．已知，两地在湖畔同一直道上相距，甲、乙两人从地出发匀速跑向地，甲比乙提前出发，两人同时抵达地，乙的速度为． (1)甲的速度为______； (2)乙出发多久时，两人相距？ (3)当甲、乙两人的距离不超过时，他们可通过某种无线通讯设备进行联系，在甲的运动过程中，两人通过该设备联系的总时长为_____． 【答案】(1)； (2)乙出发时，两人相距 (3) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据甲乙路程相等列方程即可； （2）根据乙出发后，甲乙相距列方程即可； （3）分别计算乙出发前和出发后两人距离不超过的时间段长度再求和即可． 【详解】（1）解：设甲的速度为， ， 解得： 故答案为：； （2）解：设乙出发， ， 解得：； 答：乙出发时，两人相距； （3）解：乙出发前，两人相距时，时间为：， 乙出发后，两人相距时，时间为：， ∴乙出发前可联系时长为；乙出发后可联系时长为（从乙出发后第2分钟到第6分钟），总时长为， 故答案为：． 【题型十八】古代问题(一元一次方程的应用) 72．（25-26七年级上·江苏南通·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据绳长不变的等量关系，结合木长与绳长的两种测量情况列一元一次方程即可． 【详解】解：∵设木长为尺，用绳子量木时绳余3.2尺， ∴绳长为尺， ∵对折绳子量木时长木剩余1尺， ∴对折后的绳长为尺， 又∵对折后的绳长是原绳长的， ∴； 故选A 73．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为尺，则可列方程为___________． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据题意，用整条绳子量木头时，绳子比木头长4.5尺，因此绳长为尺；用对折绳子量时，绳子比木头短1尺，因此对折绳长为尺，原绳长是对折绳长的2倍，即为尺，利用绳长不变列方程即可． 【详解】解：设木头的长度为尺，由题意，得：； 故答案为：． 74．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 75．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)．4x (2)兔有只，鸡有只 【知识点】列代数式、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 1. 两大工具：等式的两条基本性质，是解方程变形的根本依据。 2. 解方程流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；运算最容易丢分在符号与漏乘，每一步做完检查符号。 3. 思想方法：转化思想，把复杂方程逐步化简为的最简形式。 4. 应用题核心：不要死记题型公式，重点寻找题目中的等量关系；解完一定要检验结果是否符合实际。 5. 本章常见失分点：去分母漏乘常数项、去括号符号错误、移项忘记变号、系数化为1颠倒分子分母；做题重点盯住这四处。 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查的是方程的含义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”，逐一判断各选项是否满足“含未知数”且“是等式”这两个条件即可． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 又∵A选项是代数式，不是等式，不符合方程定义， B选项是等式，但不含未知数，不符合方程定义， C选项是不等式，不是等式，不符合方程定义， D选项既含有未知数x，又是等式，符合方程定义， 故选：D 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）马小虎同学在解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，把代入方程中求出k的值，进而求出原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，关于x的方程的解为， ∴， 解得， ∴原方程为， ∴， 解得， 故选：C． 3．若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的指数为1的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a、b是常数，且），根据一元一次方程的定义求出答案． 【详解】解：根据题题意得：， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），且未知数的指数为1，一次项系数不是0，这是此类题目考查的重点． 4．下列变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确． 【详解】解：对于A：∵ 当时，除法无意义，∴ A不正确； 对于B：∵成立时，，两边同时乘以c得，∴ B正确； 对于C：∵ 等式两边应减同一个数，但此处左边减3、右边减2，∴ C不正确； 对于D：∵ 等式两边应加同一个数，但此处左边加2、右边加3，∴ D不正确． 故选：B． 5．下边的框图表示了琳琳同学解方程的过程，已知这个过程有错误，则开始出现错误的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第五步 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】根据去分母解一元一次方程的步骤计算判断即可． 【详解】解：， 去分母得2（2x-1）+6=3(3x+1) 去括号得4x-2+6=9x+3 移项得4x-9x=3+2-6 合并同类项得-5x=-1， 系数化为1得 ∴第三步出现了错误， 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程——去分母，正确掌握解一元一次方程的顺序及法则是解题的关键． 6．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与k的取值无关，得到，且，求解即可． 【详解】解：方程的解总为， 代入得， 化简得， 该式对任意成立， ，且， 解得， ，， 故选：A． 8．整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣mx﹣2n＝2的解为（    ） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 mx＋2n 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．无法计算 【答案】C 【知识点】方程的解 【分析】﹣mx﹣2n＝2即mx＋2n＝﹣2，根据表即可直接写出x的值． 【详解】解：∵﹣mx﹣2n＝2， ∴mx＋2n＝﹣2， 根据表可以得到当x＝0时，mx＋2n＝﹣2，即﹣mx﹣2n＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，正确理解﹣mx﹣2n＝2即mx＋2n＝﹣2是解题的关键． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查一元一次方程的定义，带有字母的绝对值化简问题．由方程为一元一次方程，得二次项系数为零且一次项系数不为零，解得；再根据，即，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：∵ 方程为一元一次方程， ∴ 且， 解得且， ∴ . 又∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 10．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【知识点】一元一次方程解的关系、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程是解题关键．根据一元一次方程的定义得出，，求解即可． 【详解】解：因为关于的方程是一元一次方程， 所以，， 所以． 故答案为：． 12．甲､乙两人骑自行车同时从相距的两地相向而行，已知甲每小时行驶，乙每小时行驶，则他们________后相遇． 【答案】2 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据甲x小时骑行的路程+乙x小时骑行的路程=相距距离，把相关数值代入求解即可． 【详解】设他们相遇，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程千米， 列方程为， 解得． 故答案为2 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解决本题的关键是要熟练掌握同时出发的相遇问题的等量关系． 13．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却少了个字．问：两种诗各多少首？设七言绝句共有首，根据题意，可列方程为意____________________． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设七言绝句有首，根据五言绝句比七言绝句多首，总字数却少了个字，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设七言绝句有首，一首五言绝句共有个字，七言绝句有个字，根据题意， ． 故答案为：． 14．《九章算术》一书中记载了这样一道题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何．”大意是有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就还差16文钱．买鸡的有_______人，鸡的价钱为_______文． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 买鸡的人数为人，根据“如果每人出文钱，就多出 文钱；如果每人出文钱，就还差文钱.”列出方程，即可求解． 【详解】解：买鸡的人数为人，根据题意得： ， 解得：， 鸡的价钱为. 答：买鸡的人数为人，鸡的价钱为文. 故答案为：①②． 15．一组数按一定的规律排列：，，1，，16，，…．其中某三个相邻数的和是，则这三个相邻数最中间的数是________． 【答案】256 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字变化的规律，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 由数字的排列规律可知，后面的数是它前面一个数的倍，设三个相邻的数分别为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：由数字的排列规律可知，后面的数是它前面一个数的倍，设三个相邻的数分别为， 根据题意得：， 合并同类项得， 解得：， 则， 则这三个数中最中间的数是， 故答案为：． 16．某商场进行促销活动，发布两种消费券：券，满元减元；券，满元减元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款．用券后，两人共付款元，则他们所购商品的标价为________元． 【答案】或 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设所购商品的标价为元，根据两人共付款156元，分和两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的标价为元， 若，则两人共付款， 解得，与矛盾，故． 当时，两人共付款，故． ∴这件商品的标价大于元． 当时，由题意可得，， 解得； 当时，由题意可得，， 解得． 综上所述，这件商品的标价为元或元． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解题的关键． 17．某商场十一黄金周期间对顾客实行如下优惠： （1）一次性购物金额不超过200元，不予以优惠； （2）一次性购物金额超过200元但不超过500元，按全部金额九折优惠； （3）一次性购物金额超过500元，其中500元的部分按九折优惠，超过500元的部分按八折优惠． 顾客甲第一次在该商场购物原价为m元，第二次购物原价为700元，这样分两次购买比一次性购买同样数量的商品多付款36元，则m的值为___________． 【答案】180或360 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．先求出第二次实付款，然后分三种情况：当时，当时，当时，列出方程，即可求解． 【详解】解：第二次实付款为元， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 整理得：，不成立． 综上所述，或360． 故答案为：180或360． 三、解答题 18．已知关于x的一元一次方程3x+9＝2x﹣m的解与x+2m＝3的解相同，求m的值． 【答案】12 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】可以分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：解第一个方程得：x=-m-9， 解第二个方程得：x=3-2m， 依题意有-m-9=3-2m， 解得m=12． 【点睛】本题主要考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程． 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）原方程去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）原方程去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号得， 移项合并得， 系数化为1，得． 20．解一元一次方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 21．已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【知识点】方程的解 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 【答案】(1)“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22 (2) “凹”形框框住的五个数的和不能为，理由如下： 假设“凹”形框框住的五个数的和能为， 由（1）得 解得，不是正整数，不符合题意， 故“凹”形框框住的五个数的和不能为． 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及列代数式、整式的加减、找规律，正确表示“凹”形框中每个数据是解题的关键． （1）设“凹”形框左上角的数为x，根据“凹”形框数据规律用x表示出各数，根据题意列方程求解即可； （2）用（1）中的规律，让5个数的和等于67，然后解方程，看x是否正整数，再结合日历结构即可得出结论． 【详解】（1）解：设“凹”形框左上角的数为x，则右上角的数为，下行从左到右依次为，，， 根据题意，得， 解得，符合实际， 则“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22； 23．如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且，． (1)求A、B两点所表示的数各是多少； (2)P、Q为线段上两点，且，设，请用含m的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，M为线段的中点，若，请直接写出m的值． 【答案】(1)A、B两点所表示的数各是-6，12 (2)线段的长是18-3m或3m-18 (3)m的值是4或8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由题意可求得OB＝12，OA＝6，从而可表示出点A，B所表示的数； （2）分两种情况进行讨论：①点P在点Q的左侧；②点P在点Q的右侧，再利用相应的线段的关系可以求解； （3）结合（2）进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵OB＝2OA，AB＝18，AB＝OA+OB， ∴18＝OA+2OA， 解得：OA＝6， ∴OB＝12， ∵点A原点左侧，点B在原点右侧， ∴点A表示的数为﹣6，点B表示的数为12． （2）解：∵QB＝2PA，设PA＝m， ∴QB＝2m， ∴①当点P在点Q的左侧时，如图， PQ＝AB﹣PA﹣BQ＝18﹣3m； ②当点P在点Q的右侧时，如图， PQ＝QB﹣（AB﹣PA）＝3m﹣18， ∴线段PQ的长是18﹣3m或3m﹣18． （3）∵P，Q在线段AB上， ∴P在数轴上表示的数为：﹣6+m， Q在数轴上表示的数为：12﹣2m， ∵M为线段PQ的中点， ∴M表示的数为：， ∵OM＝1， ∴或， 解得：m＝4或m＝8． 【点睛】本题主要考查列代数式，数轴，中点的定义，解一元一次方程，两点间的距离等知识，解答的关键是对点P的位置进行讨论． 24．已知点C在直线AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)画出示意图，并求线段MN的长度； (2)如图，点C在线段AB上时，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点B向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，在整个运动过程中，当C，P，Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，P点运动了多少秒？（画出示意图，并写出求解过程） 【答案】(1)画出示意图见解析；MN的长度是8厘米或2厘米 (2)P点运动了4秒或秒或秒 【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）画出符合的两种情况：①当B在线段AC延长线时；②当B在线段AC上时；求出CN、CM的长度，即可得出答案； （2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）分为两种情况：①如图1，当B在线段AC延长线时， ∵厘米，厘米，点M、N分别是AC、BC的中点， ∴厘米，厘米， ∴（厘米）； ②如图2，当B在线段AC上时， （厘米）； 即MN的长度是8厘米或2厘米； （2）①当时，C是线段PQ的中点，得，解得（秒）； ②当时，P为线段CQ的中点，，解得（秒）； ③当时，Q为线段PC的中点，，解得（秒）； ④当时，C为线段PQ的中点，，解得（舍）， 综上所述：P点运动了4秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 25．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $