2.4 函数的对称性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以对称性概念为核心，构建从基础性质到综合应用的递进训练体系，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|3类对称性（奇偶函数、自身对称、两函数对称）|概念辨析与关系推导|从奇偶函数对称性（基础）到函数自身对称（f(a+x)=f(b-x)等），再到两函数对称（如y=f(x)与y=f(2a-x)），形成概念生成链条| |题型一：求解析式|14题（选择/填空/解答）|结合奇偶性、对称中心/轴求解析式|应用对称性定义转化函数关系，强化数学思维的转化能力| |题型二：研究单调性|16题（含多选/解答）|利用对称性判断单调区间及不等关系|对称性与单调性结合，体现知识应用的关联性| |题型三：求函数值/参数|20题（含解答证明）|对称中心/轴的参数求解及函数值计算|通过方程思想应用对称性条件，培养数学语言表达能力| |题型四：综合应用|20题（含多选/创新题）|对称性与周期性、导数等综合考查|覆盖高考高频考法，提升综合解题能力|

2.4 函数的对称性 基础知识梳理 1.奇、偶函数的对称性 （1）若函数是偶函数,则函数的图象关于直线  对称. （2）若函数是奇函数,则函数的图象关于点  中心对称. 2.（1）若函数满足则的图象关于直线  对称;特别地,当即即时的图象关于直线  对称. （2）若函数满足则的图象关于点  中心对称. （3）若函数满足则函数的图象关于点  中心对称. 3.两个函数图象的对称性 （1）函数与函数的图象关于直线（即轴）对称. （2）函数与函数的图象关于点  中心对称. （3）函数与函数的图象关于直线  对称. （4）函数与函数的图象关于直线  对称. （5）函数与函数的图象关于直线  对称.特别地,当时,函数与函数的图象关于直线（即轴）对称. 题型一 由对称性求函数解析式 1．已知函数，则（     ） A．是减函数，且曲线存在对称轴 B．是减函数，且曲线存在对称中心 C．是增函数，且曲线存在对称轴 D．是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用函数对称中心定义判断对称中心，再由指数函数的单调性结合复合函数单调性可判断函数的单调性. 【详解】函数定义域为R，关于原点对称， 满足， 所以曲线存在对称中心， 函数， 在上单调递增， 在上单调递增，所以是增函数. 2．连续型随机变量，记函数，则的图像（） A．在上不单调 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合函数的单调性，和必过的点，再通过函数的中心对称性进行证明，即可作出判断. 【详解】 由连续型随机变量，可知根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 函数表示正态分布密度函数与及轴围成的面积，且易知. 对于A、B：函数在上是单调递增的，而递增函数不可能有对称轴，故A、B错误； 对于C、D：由，可猜想的图象关于点对称，证明： ， 所以的图象关于点对称，故C错误，D正确. 3．已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称， 利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 4．(多选)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．当时， C．函数的图象是中心对称图形 D．当且时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，利用导数求出递增区间判断A；取特值判断B；求出函数图象的对称中心判断C；利用单调性及对称性推理判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得，解得，则在上单调递增，A正确； 对于B，取，，则，B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，由且，得， 由在上单调递增，得，则，D正确. 5．(多选)已知函数，则（    ） A．是减函数 B．的图象是轴对称图形 C．的图象是中心对称图形 D．曲线存在斜率为的切线 【答案】AC 【分析】求导，并判断导数的符号得函数的单调性即可判断A；根据是单调函数得知其图象不是轴对称图形即可判断B；利用结论“若函数关于点对称，则”进行判断即可判断C；通过判断方程是否有解可以判断D. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，是R上的单调减函数，故A正确； 对于B，由A知是R上的单调函数，所以的图象不是轴对称图形，故B错误； 对于C，由 所以的图象关于点成中心对称图形，故C正确； 对于D，由A选项知，，令，则，当且仅当时等号成立. 所以，即，故D错误. 6．已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________. 【答案】28 【分析】先由对称轴条件得到下标和相等，按两数之和分组求出每组、，列出有序数对，剔除跨组重复的数对，统计得到答案. 【详解】由对称轴是， 结合题意所以，即； 因为为等差数列，根据等差数列的性质可得， ，设，，统计满足条件的不同有序对. 5 项数列下标1，2，3，4，5，按分组，列出每组乘积、组内有序数对： ，，的情况有，共组； ，，的情况有，共组； ，，的情况有，，， ，共组； ，，的情况有，，，，共组； ，，的情况有，，，，，，，， ，共 组； ，，的情况有，，， ，共组； ，，的情况有，，， ，共 组； ，，的情况有，共组； ，：的情况有，共 组. 合计：，因为有序对重复一次，所以共计. 综上所述，有序实数对的个数为. 7．若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 【答案】 【分析】根据奇函数的对称性通过图象变换得到①和②即可. 【详解】因为为奇函数，关于对称， 将向左平移个单位得到，则关于对称； 将图象的横坐标扩大为原来的倍得到，则关于对称. 因为，所以关于对称. 8．函数与关于________对称；函数与关于________对称． 【答案】 【分析】任意取函数图象上一点，求出其对称点坐标并代入另一函数，根据等式恒成立即可求得对称轴；在第一空的基础上，将其中一个函数纵坐标取相反数，图象沿轴翻折，即可得对称中心. 【详解】假设函数与关于对称，设是函数图象上任意一点， 则，设点关于的对称点为， 则，，得， 所以， 因为该等式对定义域内任意恒成立，故，解得， 故函数与的图象关于直线对称； 因为函数与的图象关于直线对称， 而是将的图象上每一点变为，即关于轴翻折， 因此函数与关于点中心对称. 9．函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【分析】分离常数后，利用函数的对称性可求解. 【详解】函数， 它的定义域为，． 又， 所以，故的图象的对称中心为. 10．若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称； 【答案】 【详解】为偶函数，且由向左平移一个单位得到，故的图象关于对称； 为奇函数，且由向右平移两个单位得到，故的图象关于对称. 11．关于三角函数的图象，有下列说法； ①的图象与x轴有无限多个公共点； ②的图象是将的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到的； ③与的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是　________　. 【答案】②③ 【详解】①因为，所以， 恒大于0，与x轴无交点，错误. ②绝对值作用下，函数值非负，将原函数负的部分翻折到x轴上方，正确. ③是偶函数，图象本身关于y轴对称，正确. 12．已知函数的定义域满足对称性前提，写出满足下列等式的函数的图象的对称性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)关于轴对称； (2)关于中心对称； (3)关于中心对称． 【分析】（1）利用轴对称的性质求出对称轴，进而得出结论； （2）利用中心对称的性质求出对称中心，进而得出结论； （3）对函数变形，再利用中心对称的性质求出对称中心，进而得出结论． 【详解】（1）函数关于直线对称， 故函数图象关于对称． （2）函数对称中心横坐标为，纵坐标为0， 故函数图象关于点中心对称． （3）函数变形为， 对称中心横坐标为，纵坐标为， 故函数图象关于点中心对称． 13．求证：函数的图象关于y轴对称． 【答案】证明：的定义域为，关于原点对称． 又，∴函数为偶函数． 故函数的图象关于y轴对称. 14．定义在R上的函数 (1)证明：，都有; (2)若正实数，满足 ①求，的关系式； ②求的最小值. 【答案】(1)略 (2)①；②3 【分析】（1）由函数解析式，结合指数的运算性质化简，即可证； （2）①对函数求导，根据导数的符号判断函数的单调性，结合已知条件有，即可得；②应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】（1）由解析式知： ，得证； （2）①，故在定义域上单调递增， 由，可知，所以； ②由①知，又a，b为正实数， 所以， 当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为3． 题型二 由对称性研究单调性 1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 2．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 3．已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可. 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减. ，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，， ，故D错误. 故选：A. 4．已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 5．函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 6．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与的大小关系不确定，D错. 故选：B. 7．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 8．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论． 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即． 9．已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于x的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理可得出，，结合条件可得，分析函数的单调性对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为、为关于的方程的两个解， 则，解得， 由韦达定理可得， 因为函数是定义域为的函数，， 即， 所以，函数的图象关于点对称，则，， 因为对任意、，均有，即， 所以，函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 从而可知，函数在上为增函数， 由可得， 解得，所以，， 因此，关于的不等式的解集为. 故选：D. 10．已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理可得出，可得出，且，分析函数的对称性和单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为、为关于的方程的两个解， 则，解得，由韦达定理可得， 因为函数是定义域为的函数，，即， 所以，函数的图象关于点对称，则且， 因为对任意、，均有，即， 所以，函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 从而可知，函数在上为增函数， 由可得，解得，所以，， 因此，关于的不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用函数的对称性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数对称性的区别. 11．已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数以及的性质，化简，讨论恒成立以及恒成立和，均能成立，结合函数图象，即可判断. 【详解】因为，则为偶函数，图象关于轴对称， 又在上单调递减，则在上单调递增； 函数满足且在上单调递减， 则图象关于对称，在上单调递增， 由题意得，则有： ①当恒成立时，，图象关于对称， 此时，； ②当恒成立时，，的图象关于y轴对称，且在上单调递减， 因为当时，；当时，； 即A，B两项均错误； 又当，即时，，则， 当，即时，， 因此，若，则必有，故D错误； ③若，均能成立，则不妨作示意图如下： 因对应的点关于直线对称，且，由图知，故C正确. 故选：C. 12．已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 13．(多选)已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．， C． D．方程有唯一实数解 【答案】BC 【分析】由偶函数的性质结合导数的单调性和极值点逐一判断可得. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以，故A错误； 对于B，由偶函数在对称区间上的单调性是相反的可知，时，函数为增函数，所以，故B正确； 对于C，由偶函数的对称性质可得1位于增区间，2位于减区间，所以，故C正确； 对于D，由函数图象结合偶函数性质可知，函数的极值点最少有两个且不相同， 所以方程最少有两个不同解，故D错误. 故选：BC. 14．(多选)已知函数则下列结论正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递减 B．若函数有且仅有两个零点，则 C．当时，若存在实数，使得，则的最小值为2 D．已知点在的图象上，且的图象上存在点，使得关于坐标原点的对称点也在的图象上，则 【答案】BD 【分析】对A，根据函数特点直观判断即可；对B，讨论，，函数的单调性判断即可；对C，根据函数特点可判断；对D，求出函数，然后与联立求解即可. 【详解】对A，当时，函数在单调递减，在单调递增，错误； 对B，当时，函数在单调递减，在单调递增，错误；，有两个零点； 当时，令，则，有无数个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以有1个零点； 所以若函数有且仅有两个零点，则，正确； 对C，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，令，则，如图， 由图可知，当时，的范围是， 即不存在实数，使得成立的的最小值为2，故错误； 对D，将点代入可知，当时，，则函数关于原点对称的函数解析式为， 由题可知：与有两个不同的交点， 所以或，所以， 所以，正确. 故选：BD 15．已知定义域为的函数的图象关于点对称，且当时，不等式恒成立，其中，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】设函数，根据题意推导出函数的图象关于点对称，分析函数的单调性，可得出，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出所求不等式的解集. 【详解】设函数，因为的图象关于点对称，所以， 则， 从而的图象关于点对称． 由，可得， 整理得，即，则在上单调递增． 因为的图象关于点对称，所以在上单调递增． 由，得，则． 由，得，即， 当时，由可得； 当时，由可得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 16．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点中心对称，且当时，（其中），若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3) 【分析】（1）方法一：设函数图象的对称中心为，由代入化简计算求得，即得对称中心；方法二：根据函数定义域的对称性求得，依题判断为奇函数，利用求得，再验证函数奇偶性即得； （2）利用函数的单调性定义证明其单调性即可； （3）将问题转化成函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）易得在上的值域为，进而由函数的单调性和对称性，判断在上单调递增， 从而求得的值域为，依题解不等式即得参数的取值范围. 【详解】（1）方法一：设函数图象的对称中心为， 则由题意得， 即， 整理得， 即，也即， 因可取不为的所有实数，故有， 解得，故的图象的对称中心为. 方法二：设函数图象的对称中心为， 因为的定义域为，所以， 则由题意可知为奇函数， 设， 由，可得，解得. 则，经检验是奇函数，所以， 所以函数图象的对称中心为. （2）函数在上单调递增. 证明如下：任取且， 则， 因为且，所以且， 所以，即， 故函数在上单调递增. （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故在上的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 又，则函数的图象恒过点， 因，，则 在上单调递增， 由图象对称性知，在上也单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 由，可得，解得； 故实数的取值范围是. 题型三 由对称性求函数值或参数 1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解答本题的关键是构造辅助函数，先根据图象对称平移关系推出是奇函数，再构造，结合已知导数不等式得到的导数符号，判断的单调性；利用为偶函数转化自变量，结合单调性比较函数值大小，最后化简变形得到选项中的不等关系. 【详解】因为的图象关于点对称，所以为奇函数， 令，则为偶函数，且， 由题意知当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，即， 所以，即． 2．已知函数（，）的图像关于点对称，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据函数的图像关于点对称得出，列出方程组求解即可． 【详解】因为函数（，）的图象关于点对称， 恒成立， 故，解得或者， 故． 3．已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得和的图象关于对称，画出图象，结合图象，得到唯一的交点为，代入即可求解. 【详解】由函数，可得其周期为，且， 又由，所以的图象关于对称， 又由函数，可得函数的图象也关于对称， 将，代入，可得， 因为与的图象有唯一公共点，如图所示， 可得函数与的图象有唯一的公共点， 将代入，可得，解得， 所以实数的值为. 4．设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【答案】C 【分析】先判断的对称性，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】令函数，则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当，可得， 设， ， 所以 ， 所以． 5．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别化简计算，再由对称性，列出关于的方程组，求解即得. 【详解】对于函数, 由 , 而 , 由该图象关于直线对称,可得, 则对应项系数相等,即, 解得,则. 6．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】根据函数的对称性得到，并得到，，得到答案 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②，由①－②可得， 用替换可得， 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 8．已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 9．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【分析】先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得. 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 10．若函数 的图象关于点对称，则实数________． 【答案】 【详解】当时，的图象关于对称，不合题意， 当时，的图象关于对称， 又因为函数 的图象关于点对称， 所以， 综上，. 11．设函数，，若对任意的，，则______． 【答案】4 【详解】 ， 对任意的恒成立，所以 ，即， 所以. 12．函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 13．函数，则______. 【答案】 【详解】因为函数， 则， 所以关于成中心对称， 所以 ， 令， 则， 两式相加可得：，所以. 14．若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为________. 【答案】 【分析】根据中心对称的定义可得，代入运算求解即可. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 则，即， 整理可得， 结合的任意性可知，可得， 所以有序数对为. 15．设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 【答案】1 【分析】根据题意可知在函数的图象上，又根据对称性可知也在函数图象上，代入函数解析式可解得的值，从而得解. 【详解】由题可知点在函数的图象上， 设关于对称中心对称的点为， 则，得， 所以点也在函数图象上， 则， 解得. 故答案为：1 16．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出的解析式，则问题转化为方程，有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得. 【详解】依题意函数的图象上存在点关于原点对称， 设函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设，则，， 所以， 函数存在“隐对称点”，即方程，有解； 得，， 利用基本不等式， 当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可. （2）根据函数的对称性求解即可. （3）根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，即，解得或， 得到的定义域为． （2）由（1）可知，的定义域为. 因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，即， 所以， 从而，解得，故，． （3）①当时，， 易知在和在上均单调递增， 由复合函数的单调性知在为增函数， 则等价于，即， 记，显然为上的增函数，，所以． ②当时，， 此时，， 所以当时，成立， 综上所述，不等式的解集为． 18．已知函数图象关于直线对称，且. (1)求的值； (2)求被7整除的余数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据对数真数大于求出定义域，利用定义域关于对称求出，再借助轴对称性质约去对数项建立等式解出，最后计算； （2）将变形为用二项式展开消去含的整除项，再对剩余拆为再次二项式展开，消去含的整除项得到除以 7 的余数. 【详解】（1）由定义域关于对称，所以定义域为， 所以，得， 由对称性，代入得 ， 在定义域内，故，解得. 所以. （2）时，， 因为， 所以被整除的余数与被整除的余数相同， 又 ， 所以被整除的余数与被整除的余数相同， 因为被整除的余数是，故被整除的余数为. 19．设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【详解】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 20．函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，化简，利用恒成立可求；根据定义域的对称性求出，再根据对称性代特值求. （2）将问题转化为，根据单调性求最值即可. 【详解】（1）方法一：设函数图象的对称中心为， 则由题意得， 即， 整理得 所以，解得 所以图象的对称中心为. 方法二：设函数图象的对称中心为 因为的定义域为，所以， 则由题意可得为奇函数， 设 则，解得，则， 经检验，则是奇函数， 所以函数图象的对称中心为. （2）由对任意，总存在，使得， 可得， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故， 在上单调递增，故， 所以，解得 所以实数m的取值范围是. 题型四 对称性的综合应用 1．已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意判断函数的对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】由知的图象关于直线对称； 由，，， 知在上单调递增， 所以在上单调递减． 又，始终在递增区间，故分两类： 当，即时， 由，得， 所以，解得． 当，即时， 利用对称性，且． 由， 得，即， 所以． ，所以无解． 综上所述，关于m的不等式的解集为． 2．定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为2 C．当时， D．在上单调递减 【答案】C 【分析】由已知条件函数的图象关于轴对称，可得关于对称，选项A错误；根据关于对称，可得，令，结合奇函数的性质，再令，可得最小正周期为4，选项B错误；当时，则，可推出，选项C正确；当时，易推出，则在上单调递增，选项D错误. 【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以关于对称，选项A错误； 由选项A知关于对称，则， 令，则，又为奇函数，所以， 再令，则，所以的最小正周期为4，选项B错误； 当时，，所以，当时，则，则， 因此，，选项C正确； 当时，，所以，当时，则，则， 因此，，根据二次函数性质易知，在上单调递增，选项D错误. 3．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【详解】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. 4．已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出函数的对称性和周期性，进而求出函数的值域，接着将题设中的恒成立和存在性问题转换成成立和求函数的最值问题即可由二次函数性质求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 又函数的图象是由函数的图象向右平移一个单位得到的， 所以函数图象关于点对称，且， 对于任意的总有成立，则， 即函数是周期为4的周期函数， 当时，则函数在上的值域为， 则函数在上的值域为， 即函数在上的值域为，且由函数对称性可得， 所以任意存在，使得成立存在，使得， 函数， 则当时，显然存在，使得， 当时，， 则存在，使得，解得. 综上满足条件的实数构成的集合为. 5．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，得到函数的对称中心．令，求得，然后令，求得函数对称轴．由两个等量关系求出函数的周期，由求出．然后由函数的对称轴和对称中心得到其导数的对称中心和对称轴，同理由求出，然后即可写出切线方程． 【详解】令，则，则函数图象关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去． 故， 则令，即，即函数的图象关于轴对称． 因为，， 所以， 令，则， 又，所以， 则， 即函数是周期为8的周期函数， 所以， 因为函数图象关于点中心对称和轴对称， 所以导数关于对称和点中心对称， 同理可得， 所以， 所以切线方程为，即． 6．已知是定义在上的奇函数且，当时，则（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由题意根据函数的奇偶性可推出函数的周期为，从而将转化为，再利用奇偶性以及已知即可求解. 【详解】由已知条件知是定义在上的奇函数，所以， 又，可得， 故， 则，即函数的周期为， 而，又因为是奇函数，故， 当时， 所以， 因此 ， 所以. 7．已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据的值，即可求解. 【详解】，， 所以，则. 8．若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正比例函数、反比例函数的图像都关于原点中心对称， 故它们的两个交点也一定关于原点对称， 因为关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数， 已知一个交点坐标为，故另一个交点坐标为． 9．函数的图象的对称中心为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，根据定义域关于直线对称，猜测的对称中心横坐标为，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】要使得有意义， 则， 解得或， 则的定义域关于直线对称． 又 ， 所以的图象的对称中心为． 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知函数关于点中心对称，关于直线轴对称，且是周期为4的周期函数，结合题中函数值和解析式可得，进而分析求解即可. 【详解】因为为奇函数，则， 可知函数关于点中心对称， 令，则，即； 又因为为偶函数，则， 可知函数关于直线轴对称； 可得. 可知是周期为4的周期函数，则， 因为，可得， 当时，， 可得，解得，满足且. 故当时，. 因为，则， 由于，所以. 11．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（     ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】利用奇偶性，得到对称性，结合解析式求解，，再求解. 【详解】由是偶函数得，所以，故函数关于直线对称， 由是奇函数，的定义域为，故， 令，代入， 即，函数关于点中心对称， 由对称得，而，所以， 已知，得， 由中心对称，令， ，则，， 解得，，所以， 由，令，得,即， 由，令，得， 于是，所以. 12．已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则（    ） A．9 B．3 C．6 D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数关于对称； 因为，所以，即， 且，所以函数关于中心对称； 所以，， 当时，， 所以，，所以， 所以，， 解得，所以. 13．(多选)已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项运用偶函数的性质，再进行变式；对于B选项先利用中心对称求出再代入解析式中求出k；对于C选项联立轴对称和中心对称从而推导出周期；对于D选项先计算出一个周期的函数值，再看求和取了几个周期. 【详解】对于A，由题可得，即，令， 则，故，因此，则A选项正确； 对于B，由题可得，则， 令，则，，因为，所以， 解得，故B选项错误. 对于C，已知，，则， 令，则，即， ，所以，故C选项正确； 对于D，已知时，，则， 因为，令，解得，又因， 所以函数的周期，， 所以， 故，因此D选项正确. 14．(多选)设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列结论正确的有（    ） A．. B．为周期为4的周期函数. C．为奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性性质计算判断即可. 【详解】∵为奇函数，∴，且 为偶函数， 又，所以，所以为偶函数，所以A和B正确，而 不恒为0，因此不是奇函数，C错误； 当时， ，， ∴，所以， 所以当时， 因为，所以 故. 15．(多选)已知，对任意的，都满足是的导函数，，则下列选项正确的是（    ） A． B．若的解集是，则的解集是 C． D．的三个零点为，则 【答案】ABD 【分析】本题围绕函数的性质（由推导的对称性、导数的性质等）来分析各个选项； 【详解】对任意的，都满足 将代入展开： ， ， 两式相加后，含的奇次项全部抵消， 整理得：， 该等式对任意恒成立，因此的系数必须为： 代入常数项等式： 再结合导函数条件先求导得 代入进而得 因此，选项A正确； 由可得函数满足中心对称性质： 对任意即函数关于点中心对称. 已知的解集为，将不等式变形： ， 当时，， 对应时，， 令，可得的解集为，因此选项B正确； 求导得两个极值点为 在单调递增，在单调递减， 在单调递增；代入数值估算： ， 该点在极大值点附近， 两者相加得， 不满足小于的条件，选项C错误； 三次函数，零点， 对于三次多项式求导： 代入零点： 可得， ， D正确. 16．(多选)已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（   ） A．当时，的单调递增区间为 B．的值可以为0 C．若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A，代入已知参数求导并进行因式分解，利用二次函数的判别式判断导数符号，从而确定函数的单调递增区间，选项B，假设参数为零，利用导函数的单调性推导得出切点数量与题干“两个切点”的要求相矛盾，进而排除此项，选项C，通过联立两切点处的切线方程推导出切点横坐标之和，再利用连续求导找到导函数图像的对称中心，最后比对验证等差中项关系，选项D，基于选项C中求出的导函数对称中心，利用三次函数的对称性质直接代入计算，从而得出公切线的斜率. 【详解】对于A，，， 因为，所以， 其中二次函数部分的判别式，且开口向上， 所以恒成立， 令，则有，即的单调递增区间为，故A正确， 对于B，若，则， 因为单调递增，所以也单调递增， 所以对于任意给定的实数，最多只有一个实数解， 与题目中两个切点矛盾，故B错误， 对于C，设公切线的斜率为， 则切线在点处的方程可表示为: 在点处的方程可表示为:， 由题意得， 因为，则有， 若，代入上式得， 不符合题意，故， 联立两式得，进而有，可得， 将其代入到，即， 整理得，解得或， 若，则，联立解得， 不符合题意，所以， 因为，设，则， 设，则，令，则， 即的图象关于点中心对称， 因为，即，所以成等差数列，故C正确， 对于D，由C知的图象关于点中心对称， 由三次函数对称性可得，若，则， 因为两点处切线斜率相同，即，代入上式得: ，故D正确. 17．(多选)已知函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于原点对称 C．对任意的，的最大值与最小值之和为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；推导出函数的图象关于点对称，结合对称性可判断C选项；分析函数的单调性与对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为， ， 所以，A错； 对于B选项，对任意的，， 故函数的定义域为， ， 即，故函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，B对； 对于C选项，对任意的， ， 所以函数的图象关于点对称， 故函数图象的最高点和最低点关于点对称， 所以，C对； 对于D选项，易知函数的定义域为， 函数在上为减函数， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上也为减函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 由可得， 所以，解得， 故不等式的解集为，D对. 18．(多选)已知奇函数及其导函数的定义域均为，且．当时．则（    ） A． B．为偶函数 C． D．存在实数，使得 【答案】ABD 【分析】根据题意，令即可判断A；由等式两边求导即可判断B；令即可判断C；令，根据题意得到是周期为的周期函数即可判断D. 【详解】对于A，令，则有，即， 由于是奇函数，定义域为，所以，因此，故A正确； 对于B，因为是奇函数，即，两边求导得， 即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，满足是奇函数和， 当时，，但是，故C错误； 对于D，令， 由于和都是奇函数，所以是奇函数，即， 由于和， 两式相减得，即， 所以关于点中心对称，即， 将替换为，得，再将替换为，得， 所以是周期为的周期函数， 已知当时，，所以， 因此是周期为的连续函数，所以在闭区间上有界，进而整个定义域上有界， 因此存在实数，使得恒成立，故D正确. 19．(多选)定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，则和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【分析】A：将变形为即可判断； B：根据、的大小关系可作出判断； C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果； D：先分析，的图象的对称性，然后作出，在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以. 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为，又因为， 所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，， 因为是R上的奇函数，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称，， 所以，所以的图象也关于对称， 作出，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示： 由图象可知：，的交点关于对称，且交点个数为大于等于2的偶数， 所以当且仅当，的图象仅有两个交点时，所有交点横坐标之和才为，故D错误. 20．已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的图象关于直线对称； ②，在上存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有四个零点． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】计算可得可判断①；分和两种情况求导判断函数单调性可判断②；分和两种情况求导判断函数单调性可判断③；由题意可知判断的解的个数，数形结合法即可判断④. 【详解】对于①当时，， 所以， 所以的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，当时，， 求导得， 又，所以，所以函数在上单调递减， 当时，， 求导得， 又，所以，所以函数在上单调递增， 又，所以在上存在最小值，故②正确； 对于③，当时，， 求导得， 又，所以，所以函数在上单调递减， 当时，， 求导得。令，解得， 当，，所以函数在上单调递增； 当，，所以函数在上单调递减；故③错误； 对于④，由，得，令， 把的图象在轴下方的翻折到轴的上方得的图象， 再把在轴右边的图象保留不变，再把右边的图象翻折到左边可得的图象， 把的图象向右平移一个单位可得的图象，如图所示： 因为，当时，，所以无解， 当时，，， 令，则，所以， 所以在上单调递增，所以，所以无解， 当时，由图象可知有唯一解， 当时，由图象可知，使有两个解， 又，所以是的解， 所以，使得有四个解， 所以，使得有四个零点，故④正确. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 函数的对称性 基础知识梳理 1.奇、偶函数的对称性 （1）若函数是偶函数,则函数的图象关于直线  对称. （2）若函数是奇函数,则函数的图象关于点  中心对称. 2.（1）若函数满足则的图象关于直线  对称;特别地,当即即时的图象关于直线  对称. （2）若函数满足则的图象关于点  中心对称. （3）若函数满足则函数的图象关于点  中心对称. 3.两个函数图象的对称性 （1）函数与函数的图象关于直线（即轴）对称. （2）函数与函数的图象关于点  中心对称. （3）函数与函数的图象关于直线  对称. （4）函数与函数的图象关于直线  对称. （5）函数与函数的图象关于直线  对称.特别地,当时,函数与函数的图象关于直线（即轴）对称. 题型一 由对称性求函数解析式 1．已知函数，则（     ） A．是减函数，且曲线存在对称轴 B．是减函数，且曲线存在对称中心 C．是增函数，且曲线存在对称轴 D．是增函数，且曲线存在对称中心 2．连续型随机变量，记函数，则的图像（） A．在上不单调 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 3．已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 4．(多选)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．当时， C．函数的图象是中心对称图形 D．当且时， 5．(多选)已知函数，则（    ） A．是减函数 B．的图象是轴对称图形 C．的图象是中心对称图形 D．曲线存在斜率为的切线 6．已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________. 7．若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 8．函数与关于________对称；函数与关于________对称． 9．函数的图象的对称中心为________． 10．若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称； 11．关于三角函数的图象，有下列说法； ①的图象与x轴有无限多个公共点； ②的图象是将的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到的； ③与的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是　________　. 12．已知函数的定义域满足对称性前提，写出满足下列等式的函数的图象的对称性： (1)； (2)； (3)． 13．求证：函数的图象关于y轴对称． 14．定义在R上的函数 (1)证明：，都有; (2)若正实数，满足 ①求，的关系式； ②求的最小值. 题型二 由对称性研究单调性 1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于x的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（    ） A． B． C． D． 12．已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．(多选)已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．， C． D．方程有唯一实数解 14．(多选)已知函数则下列结论正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递减 B．若函数有且仅有两个零点，则 C．当时，若存在实数，使得，则的最小值为2 D．已知点在的图象上，且的图象上存在点，使得关于坐标原点的对称点也在的图象上，则 15．已知定义域为的函数的图象关于点对称，且当时，不等式恒成立，其中，则不等式的解集为______． 16．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点中心对称，且当时，（其中），若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 题型三 由对称性求函数值或参数 1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（，）的图像关于点对称，则（   ） A．1 B． C．3 D． 3．已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 4．设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 5．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．5 D．6 6．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 8．已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 9．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 10．若函数 的图象关于点对称，则实数________． 11．设函数，，若对任意的，，则______． 12．函数的图象关于点对称，且，则______． 13．函数，则______. 14．若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为________. 15．设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 16．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 17．已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 18．已知函数图象关于直线对称，且. (1)求的值； (2)求被7整除的余数. 19．设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 20．函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 题型四 对称性的综合应用 1．已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为2 C．当时， D．在上单调递减 3．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 4．已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 5．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数且，当时，则（     ） A． B． C．0 D．1 7．已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 8．若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．函数的图象的对称中心为（     ） A． B． C． D． 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（     ） A． B． C． D． 11．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（     ） A．0 B．6 C． D．5 12．已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则（    ） A．9 B．3 C．6 D． 13．(多选)已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（    ） A． B． C． D． 14．(多选)设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列结论正确的有（    ） A．. B．为周期为4的周期函数. C．为奇函数 D． 15．(多选)已知，对任意的，都满足是的导函数，，则下列选项正确的是（    ） A． B．若的解集是，则的解集是 C． D．的三个零点为，则 16．(多选)已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（   ） A．当时，的单调递增区间为 B．的值可以为0 C．若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D．直线的斜率为 17．(多选)已知函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于原点对称 C．对任意的，的最大值与最小值之和为 D．的解集为 18．(多选)已知奇函数及其导函数的定义域均为，且．当时．则（    ） A． B．为偶函数 C． D．存在实数，使得 19．(多选)定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，则和的图象所有交点横坐标之和为 20．已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的图象关于直线对称； ②，在上存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有四个零点． 其中正确结论的序号是______． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $