分层练9 奇偶性、对称性与周期性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计巩固基础提升能力，以题载法构建奇偶性、对称性与周期性的逻辑体系，培养抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（如奇偶性判断、周期性计算）|定义法判断奇偶性、周期性公式推导、利用奇偶性求解析式|从定义到性质应用，构建概念内在联系| |B级能力提升|4题（如性质综合多选、交点对称）|对称性与周期性综合、函数图象与性质结合|综合应用深化知识逻辑，培养推理能力|

分层练9 奇偶性、对称性与周期性 【A级 基础巩固】 1. 下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象（ ） A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线对称 3. 已知是上的奇函数，且当时，.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ） A. B. C.或 D.或 7. 已知是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，无最小值的充分条件是（ ） A.在内没有最大值 B.的图象关于点对称 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 9. 函数图象的对称轴方程为. 10. 若函数则. 11. 已知函数的图象关于点对称，且，则. 12. 已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则. 【B级 能力提升】 13. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 14. (多选)已知定义在上的奇函数对都有，则下列判断正确的是（ ） A.是周期函数且周期为 B.的图象关于点对称 C.的图象关于直线对称 D.在上至少有个零点 15. 已知定义在上的函数不是常值函数，且同时满足： ①； ②对任意，均存在使得成立，则函数.(写出一个符合条件的答案即可) 16. 已知函数为奇函数，，且与的图象的交点分别为，则. 参考答案 1. B [根据偶函数的定义知偶函数满足且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.] 2. B [由题意知的定义域为，且，，，故为偶函数，其图象关于轴对称.] 3. A [因为是上的奇函数，所以.又因为，所以，解得，所以，所以.] 4. C [因为函数为奇函数，为偶函数，且，则，即，而，联立解得，，所以.] 5. B [由得的周期，.] 6. C [当时，单调递增，又为偶函数，故可以作出的大致图象如图所示，由图象可知，若，则或.] 7. C [因为是定义在上的奇函数，且时，，所以，.又对任意的都有，所以，所以函数图象关于直线对称，所以，解得，所以.] 8. D [对于A，反例如图所示. 对于B，，为奇函数且图象关于点对称，存在最小值，B错误； 对于C，，为奇函数且图象关于直线对称，存在最小值，C错误；对于D，为奇函数且图象关于点对称，，，，，，又，，，当时，，无最小值，D正确.] 9. [内层函数的对称轴是，所以函数图象的对称轴方程是.] 10. [当时， ① ② ①②得. 则， 的周期为， .] 11. [因为关于点对称，所以，故，即，解得，所以，又因为，所以，解得，所以.] 12. [由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于轴对称，故为偶函数.又由，得，是周期为的偶函数，.] 13. C [为上的奇函数，由此可在坐标系中画出与的大致图象，如图所示， 由图象可知，当时，.] 14. ACD [对于A，因为，所以，所以函数的周期为，故A正确；对于B，因为，且，所以，所以的图象关于直线对称，故B错误；对于C，因为，所以，又因为，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，因为为上的奇函数且周期为，必有，在上，，，又由，则，，则在上至少有个零点，故D正确.] 15. (答案不唯一) [由知，的图象关于直线对称，由对任意，均存在使得成立知，函数值域为或或全体实数，所以符合要求(答案不唯一).] 16. [为奇函数， 函数的图象关于点对称， 又， 的图象也关于点对称， 则 .] 学科网（北京）股份有限公司 $