专题2.4 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性、对称性与周期性四大性质，通过10类题型分层训练，构建从基础应用到综合创新的知识逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|10类题型（含40题）|覆盖性质判定、参数求解、最值、综合应用等核心考法|体现性质从单一到综合的递进，强化概念生成与应用拓展的逻辑链条| |分层突破|A/B/C三组（含选择、填空、解答）|基础巩固、能力提升、真题实战的梯度设计|实现难度与应试能力的衔接，培养抽象能力与推理意识|

专题2.4 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 确定函数的单调性（区间）】 1 【题型2 根据函数的单调性求参数】 2 【题型3 求函数的最值】 2 【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 3 【题型5 函数的奇偶性及应用】 3 【题型6 函数的周期性及应用】 4 【题型7 函数的对称性】 4 【题型8 函数性质的综合应用】 5 【题型9 抽象函数的性质】 5 【题型10 函数新定义】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 确定函数的单调性（区间）】 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 2．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据函数的单调性求参数】 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）“”是“函数在内单调递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【题型3 求函数的最值】 9．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 10．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 11．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知是上的奇函数，且，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 13．（2026·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 15．（2026·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 16．（2026·陕西·模拟预测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型5 函数的奇偶性及应用】 17．（2026·云南·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 18．（2026·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 19．（2026·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·四川乐山·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，， 若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 函数的周期性及应用】 21．（2026·新疆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2026·四川凉山·一模）已知是定义在上的函数，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【题型7 函数的对称性】 25．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 26．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 27．（2026·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 28．（2026·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型8 函数性质的综合应用】 29．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 31．（2026·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 32．（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知函数的定义域关于原点对称，且满足： （1）当时，； （2）且.则下列关于的判断错误的是（    ） A．为奇函数 B． C．是的一个周期 D．在上单调递减 【题型9 抽象函数的性质】 33．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 34．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 36．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【题型10 函数新定义】 37．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 39．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）若函数满足：对任意的，，，都有，则称函数在区间上具有性质． (1)设函数，，分别判断，是否在上具有性质； (2)设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 40．（25-26高一下·上海·期末）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2026·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数定义域为，且满足：，，，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则___________． 10．（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数满足，且，则 ___________. 11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则___________． 12．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的连续函数，．若为奇函数，为偶函数，且，则___________． 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 4．（2026·上海杨浦·一模）函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 二、解答题 5．（2026·安徽·一模）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数的图象关于点中心对称，求实数的值． 6．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 7．（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 8．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 8．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数__________. 三、解答题 9．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 10．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 11．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 12．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 确定函数的单调性（区间）】 1 【题型2 根据函数的单调性求参数】 3 【题型3 求函数的最值】 4 【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 6 【题型5 函数的奇偶性及应用】 9 【题型6 函数的周期性及应用】 11 【题型7 函数的对称性】 13 【题型8 函数性质的综合应用】 14 【题型9 抽象函数的性质】 17 【题型10 函数新定义】 20 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 确定函数的单调性（区间）】 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【解题思路】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【解答过程】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【解答过程】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C. 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断各选项的奇偶性，再判断在区间内的单调性，从而确定正确答案． 【解答过程】选项A：的定义域为，不关于原点对称，不具奇偶性，故A错误； 选项B：，不是偶函数，故B错误； 选项C：，是偶函数，因为在上单调递增，且恒大于0， 在上单调递减，故C错误； 选项D： ， 当时，，根据对数函数性质知在内单调递增，故D正确． 故选：D． 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【解答过程】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 6．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【解答过程】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 7．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）“”是“函数在内单调递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】先根据二次函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解答过程】函数的单调递增区间为， 由函数在内单调递增，得0，解得， 所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件． 故选：A． 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【解答过程】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C. 【题型3 求函数的最值】 9．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【解答过程】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 10．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据分段函数的最值计算求参. 【解答过程】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 11．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上的单调性，再利用单调性求出最大值. 【解答过程】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B. 12．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知是上的奇函数，且，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，只需求该函数在上的最小值，结合单调性与奇偶性可得答案. 【解答过程】因为是上的奇函数，且，则， 所以，即， 故函数是周期为的周期函数， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 要求函数在上的最小值，只需求该函数在区间上的最小值， 由对称性，只需求该函数在区间上的最小值， 因为函数是奇函数且在上单调递增，则该函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故. 故选：B. 【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 13．（2026·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【解答过程】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A. 14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【解答过程】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A. 15．（2026·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【解题思路】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【解答过程】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 16．（2026·陕西·模拟预测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意可得为奇函数，进而得到在，上为减函数，再由分式不等式的等价条件得，再根据奇偶性和单调性解不等式即可． 【解答过程】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ， 即或， 则或， 解得或， 所以解集为． 故选：C． 【题型5 函数的奇偶性及应用】 17．（2026·云南·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【解答过程】由函数为偶函数，则轴为该函数图像的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位， 可得到函数的图象，则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 因为是函数图象的对称中心，所以，则， 将代入中得到，解得， 所以. 故选：D. 18．（2026·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【解答过程】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C. 19．（2026·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】因为，故的定义域为. 选项A：， ， ，所以不是偶函数，故A错误； 选项B：，， ，所以不是偶函数，故B错误； 选项C：， ， ，所以为偶函数，故C正确； 选项D：， ， ，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 20．（2026·四川乐山·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，， 若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意和偶函数的性质求出时， ，再根据的范围，解不等式. 【解答过程】当时，则，由题意得，因为函数是定义域为的偶函数，所以，即时，； 又因为，所以当时，，解得；当，，解得，综上所述的取值范围是， 故选：B. 【题型6 函数的周期性及应用】 21．（2026·新疆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】先得到的一个周期为6，从而得到，赋值得到，得到答案. 【解答过程】，故， 两式相减得，故的一个周期为6， ， 中，令得， 又，故，所以 故选：C. 22．（2026·四川凉山·一模）已知是定义在上的函数，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析函数的周期性，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值. 【解答过程】依题意函数满足，可得，即函数的周期为， 因此， 当时，，由，且，得， 因此. 故选：B. 23．（2026·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【解答过程】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 24．（2026·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】C 【解题思路】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【解答过程】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：， 又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有， 又，则有， 由此可得：，即有： 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有， 因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为， 所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得：， 因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C. 【题型7 函数的对称性】 25．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【解答过程】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C. 26．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解. 【解答过程】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A. 27．（2026·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【解题思路】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【解答过程】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A. 28．（2026·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值. 【解答过程】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 【题型8 函数性质的综合应用】 29．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得在区间上单调递增，所以可将不等式转换为即可求解. 【解答过程】因为是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，因为，， 所以，所以， 即或，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：D. 30．（2026·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【解答过程】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 31．（2026·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值. 【解答过程】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C. 32．（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知函数的定义域关于原点对称，且满足： （1）当时，； （2）且.则下列关于的判断错误的是（    ） A．为奇函数 B． C．是的一个周期 D．在上单调递减 【答案】D 【解题思路】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B选项；根据（2）以及B选项推导出，可得出，再结合函数周期性的定义可判断C选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D选项. 【解答过程】因为、，， 所以为上的奇函数，A对； 因为，所以， 所以，B对； 因为， 所以， 所以是的一个周期，C对； 、，且，则， 因为当时，，所以、、均小于， 又，所以，所以， 所以在上单调递增，D错． 故选：D． 【题型9 抽象函数的性质】 33．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 【答案】C 【解题思路】通过赋值法确定的值，判断函数奇偶性；利用递推关系推导函数周期，结合周期计算特定点的函数值，进而判断选项. 【解答过程】令，，则， 即，得或. 若，令，则， 即，与矛盾，故，A错误. 令，则，即， 得，故为偶函数，B错误. 令，则，即. 由此得， ， ，故是周期为6的周期函数，C正确. ，D错误. 故选：C. 34．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断函数是奇函数，然后判断该函数是减函数，进而根据奇偶性对不等式进行化简，最后根据单调性求解不等式的解集. 【解答过程】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 35．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 36．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解题思路】令，求得，可判定A错误；令，得到，根据奇偶性的定义，可判定B错误；任取，令，结合函数单调性的定义，可判定C正确；取函数，结合不能恒成立，可判定D错误. 【解答过程】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误. 故选：C. 【题型10 函数新定义】 37．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于ABD：举反例说明即可；对于C：分析可知为偶函数，在内单调递增，进而分析判断. 【解答过程】对于选项A：例如，， 即，但，故A错误； 对于选项B：例如，， 即，但，故B错误； 对于选项C：令，则的定义域为， 且， 即，可知为奇函数， 又因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递减，且， 当时，；当时，； 则，可知为偶函数，则， 当时，在内单调递增， 若，即，则，可得，故C正确； 对于选项D：，， 即，但，故D错误. 故选：C. 38．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【答案】D 【解题思路】利用定义计算可得 A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D. 【解答过程】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立， 则，整理得， 则有且恒成立，由，则由可得， 此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误； 对B：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数， 但，不满足在上严格递增，故B错误； 对C：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则， 当时，， 即对任意整数，都有， 当时， ， 故当时，， 故满足在处取得最小值，但，故C错误； 对D：由题意可得， ， 因为为非常值函数，所以存在使得， 由恒成立，可得和对任意正整数成立， 若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立， 故必有，即或， 若，则，则为周期函数，且周期为； 若，则， 故， 则为周期函数，且周期为； 综上可得为周期函数，故D正确. 故选：D. 39．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）若函数满足：对任意的，，，都有，则称函数在区间上具有性质． (1)设函数，，分别判断，是否在上具有性质； (2)设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 【答案】(1)函数在上不具有性质；在上具有性质． (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）证明函数不具有性质P时，可通过举反例的方式快速验证；证明函数具有性质P时，需对目标表达式进行代数变形，通过配方等方式证明其恒正. （2）首先根据性质P的定义转化出对应不等式，再结合函数的奇偶性，将不等式转化为函数单调递增的判定条件，最后通过导数恒非负求解参数的取值范围. （3）围绕奇函数定义，构造辅助函数，结合性质判断在不同区间的符号，再利用的单调性与零点存在性确定零点位置，即可推导出奇函数定义式. 【解答过程】（1）函数在上不具有性质，在上具有性质． 一方面：对于函数，取，，则有， 故函数在上不具有性质． 另一方面：对任意的，，， ， 故函数在上具有性质． （2）函数的定义域为，由具有性质，可知 对任意的，，，都有， 因为，即函数为奇函数，所以可化为， 从而在上单调递增，故， 即，即在上恒成立， ∵，∴， 从而． (3)证明： 函数的定义域为， 要证是奇函数，只要证：对任意的实数，即可． 对任意实数，由函数具有性质，可知： 当时，．①    设， 当，即时，由①得， 即当时，；②    当，即时，由①得， 即当时，；③    由曲线的连续性，可知在上存在零点，即．④ 由于函数在上单调递增，故在上也单调递增， 由②得，由③得，故有． 代入④得，． 故为奇函数．    40．（25-26高一下·上海·期末）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）先写出的表达式，然后取，说明即可证明； （2）先证明是偶函数，充分性直接证明即可；必要性利用反证法结合偶函数的性质即可证明； （3）先写出的解析式，然后说明既单调不减又单调不增，即为常数即可求出. 【解答过程】(1)由题意，，则，因此： ， 取计算得： ， 不满足， 因此函数不存在“函数” (2)因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时 ，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证. （3）对，，因此： ， 对，，因此： ， 因为都存在“函数”，故单调不减，也单调不减， 即单调不减，等价于单调不增，既单调不减又单调不增，故为常数， 即： （C为常数）， 指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即. 验证：时，（常数），（常数），均满足“函数”定义， 故. 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可. 【解答过程】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意得到，从而得到方程，变形化简得到，求出. 【解答过程】图象关于y轴对称，故， 即，即， 即， 要想上式恒成立，则恒成立，即，故， 所以. 故选：B. 3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【解答过程】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 故选：A. 4．（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 5．（2026·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据对称和偶函数定义判断. 【解答过程】若函数的图象关于直线对称，则， 令，则，所以，是偶函数， 所以函数是偶函数， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件； 若函数是偶函数，令，则是偶函数， 所以，又，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件. 综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件， 故选：C. 6．（2026·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解． 【解答过程】当时，得， 由函数是定义域为R的奇函数， 得， 即当时，，等号成立时，， 则当时，的最小值为1， 故选：A. 7．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【解题思路】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【解答过程】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 故选：D. 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数定义域为，且满足：，，，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的对称性和单调性求解. 【解答过程】因为，所以关于对称， 又，所以在单调递减， 所以在单调递增. 又，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 9．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则___________． 【答案】 【解题思路】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【解答过程】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 故答案为：. 10．（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数满足，且，则 ___________. 【答案】 【解题思路】利用条件可得，由此可得函数是周期为8的函数，故转化为，利用求解可得. 【解答过程】由可得， 所以， 所以， 所以是周期为8的函数，所以， 又，故. 故答案为：. 11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则___________． 【答案】 【解题思路】根据奇函数的性质及得是周期为6的函数，再应用周期性和奇函数的性质求函数值. 【解答过程】由题设， 用代替，则，故， 所以，即是周期为6的函数， 所以. 故答案为：. 12．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的连续函数，．若为奇函数，为偶函数，且，则___________． 【答案】 【解题思路】根据函数的奇偶性得出周期，利用周期性求解即可. 【解答过程】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 则， 所以， 则， 所以函数的一个周期为4， 则．又， 所以， 因为， 所以，， 所以， 则． 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，即可判断A；令，可得，令，可判断B；令，可判断D；由题意可得，结合，，可得，再根据对数的运算性质及单调性，即可判断C. 【解答过程】解：对于A，令，则有，即，故A错误； 对于B，令，则有， 又因为，， 所以， 令， 则有，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 令，则有，令，则有， 由B可知， 所以， 所以， 同理可得， 所以，故C正确； 对于D，由B可知， 令，则有，故D错误. 故选：C． 2．（2026·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题，可得的周期为4，由求得，，结合对称性求得在一个周期内的值域，得解. 【解答过程】由，即，可得的图象关于点对称； 由，即，可得的图象关于点对称， ，所以的周期为4． 易知，所以，所以，， 所以在上的值域为． 又的图象关于点对称，所以当时，， 即在一个周期内的值域为，所以的最小值为. 故选：D． 3．（2026·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【解答过程】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C. 4．（2026·上海杨浦·一模）函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】B 【解题思路】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立. 【解答过程】假设，在上单调递增函数， 对于任意实数，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 二、解答题 5．（2026·安徽·一模）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数的图象关于点中心对称，求实数的值． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． (3) 【解题思路】（1）先化简，再求导分析单调性，进而求出最大值； （2）先对函数求导，再根据导数确定函数的单调性； （3）利用中心对称的性质得出关于的等式，进而求出实数． 【解答过程】（1）当时，，求导得， 当时，，函数单调递增；当时，，单调递减， 函数在时取得最大值，即． （2），求导得， 令，解得或． 当时，令，解得或；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得或；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）函数的图像关于点中心对称， 函数的定义域为，且关于点中心对称， ，即①， 为奇函数， ， ，整理得②． ①代入②得，即， ，当且仅当时，等号成立，即不恒为0， ，即， ． 6．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】(1) (2) (3)见解析，不存在 【解题思路】（1）根据集合定义，结合，得到不等式求解； （2）法一：根据集合定义，结合得到恒成立求解；法二：因为对任意实数均有，所以等价于对任意、，不等式恒成立，所以将，，代入不等式，化简得到关于和的式子，将式子转化为关于的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解的范围； （3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在. 【解答过程】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 7．（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出； （2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分与两种情况讨论； （3）利用函数的递推，求证与矛盾，即可求解. 【解答过程】（1）因一次函数具有性质， 则， 则可得：，解得或， 因为，所以，. (2)假设存在实数，使得，分两种情况讨论: 若，结合函数严格增，可得， 再由，代入得，整理可得，与矛盾； 若，因为严格增，可得， 结合，代入得，整理可得，与矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证. (3)已知对所有成立，令，即，, 则， 代入,可得， 化简得：， 对任意，构造数列满足. 由可知，， 则数列为等比数列，则， 所以，若， 则当时，，与矛盾，因此必须有， 即对任意的，，故，其函数唯一. 8．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故可求参数的取值范围； （2）依据单调性定义可得在上恒成立，其中，据此可求的取值范围； （3）利用性质对任意s、t成立，先取和知与均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数为常值函数，则存在两点使与的增量比值不同，从而可构造s、t使在两点处单调性相反，产生矛盾，即可得证. 【解答过程】（1）因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． (3)若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，逐项判断即可. 【解答过程】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 故选D. 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【解答过程】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得， 故选D. 3．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【解题思路】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【解答过程】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D. 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解答过程】由题知对一切成立， 于是. 故选：A. 6．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【解答过程】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 二、填空题 7．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【解题思路】根据偶函数的性质求解. 【解答过程】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 故答案为：． 8．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数__________. 【答案】0 【解题思路】根据奇函数的定义求解． 【解答过程】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 三、解答题 9．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1)； （2）证明见解析； （3）（i）证明见解析； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【解答过程】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则 ， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 10．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【答案】(1)是排列； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据排列的定义判断即可； （2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可； （3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明. 【解答过程】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 11．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【答案】(1)没有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【解答过程】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 12．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【解答过程】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $