2.7有理数的混合运算（分层作业，10大题型）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 本练习通过A、B、C三层分级设计，构建从基础运算到创新应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|有理数混合运算、乘方运算、简单实际应用|基础题型为主，含体重指数计算等生活情境题，强化运算能力| |B组|复杂四则运算、程序流程图计算、计算器操作|引入流程图分析与计算器使用，提升运算复杂度，培养模型意识| |C组|进制转换、规律计算、新定义运算|以除方新定义、进制转化等题型，深化推理能力与创新意识|

分层作业 2.7 有理数的混合运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的混合运算 题型02 含乘方的有理数混合运算 题型03 有理数混合运算的实际应用 题型04 算“24”点 B组 能力进阶 题型01 有理数四则混合运算（复杂） 题型02 程序流程图与有理数计算 题型03 计算器—有理数 C组 思维拔高 题型01 进制的转换问题 题型02 有理数混合运算的规律计算 题型03 有理数混合运算的新定义问题 有理数的混合运算题型01 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算的结果为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查绝对值，乘方，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据乘法以及绝对值进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 2．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有__________个． 【答案】181 【分析】将图①看作是铺成的一个1×1的正方形，图②看作是铺成的一个2×2的正方形，图③看作是铺成的一个3×3的正方形，图④看作是铺成的一个4×4的正方形，那么根据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，从而可得第10个图中完整的圆的个数． 【详解】解：由分析可知：第10个图中，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为102； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为（10-1）2， 所以完整的圆一共有：102+（10-1）2=181个． 故答案为181 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘方、乘除、加减的运算顺序，以及符号的处理．先计算乘方然后进行有理数的加减运算即可． 【详解】解： 4．（25-26七年级上·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，再计算乘除，最后进行加法计算． 【详解】解： 5．（24-25七年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 含乘方的有理数混合运算题型02 1．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4）25 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 2．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）【初步探究】 直接写出计算结果：2③=_______，（-）⑤=_______； （2）【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． （﹣3）④=_______；5⑥=_______； (-) ⑩=_______． Ⅱ. 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______； Ⅲ.  算一算： 12²÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷3³. 【答案】（1）【初步探究】 ，-8； （2）【深入思考】 Ⅰ. ；；； Ⅱ. Ⅲ. 【分析】（1）【初步探究】分别按公式进行计算即可； （2）【深入思考】Ⅰ.把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； Ⅱ.结果第一个数不变为a，第二个数及后面的数变为，则 Ⅲ.将第二问的规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】解：（1）【初步探究】， 故答案为，-8； （2）【深入思考】Ⅰ.  ； ； 故答案为；；； Ⅱ.    Ⅲ.    【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 有理数混合运算的实际应用题型03 1．体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小张的， ∴小张的体重状况是超重， 故选：C． 算“24”点题型04 1．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 3．与同伴玩“24点”游戏，并将你在游戏中积累的经验写成小短文． 【答案】 解：“24点”游戏经验小短文： “24点”是一款考验有理数四则运算能力的益智游戏，规则为：给定4个1至13之间的整数，每个数必须使用且仅能使用一次，通过加、减、乘、除运算及添加括号，使最终结果为24，我在和同伴游戏的过程中，积累了不少实用经验： 首先，优先凑积为24的乘法组合，常见的积为24的整数对有、、、，若给出的4个数中能凑出其中一组的两个数，剩余两个数可凑出1或0，就能快速算出结果； 例如用数字1、2、3、8计算时，可先凑出，再算，最终通过得到结果. 其次，灵活运用加减运算调整数值.若无法直接凑出乘法组合，可尝试用部分数字凑出接近24的数，再用剩余数字调整到24.例如用数字2、5、7、9计算时，先算，再用得到结果. 再次，善用特殊数字的运算性质.遇到数字1时，可利用“任意数乘1仍得原数”的性质，先让剩余3个数凑24，最后乘1即可.遇到12、6这类24的因数时，可优先尝试凑出对应的另一个因数. 最后，按固定顺序尝试减少无效运算.可以先固定前两个数的运算结果，再和后两个数的运算结果组合计算，避免重复尝试相同的运算逻辑，提高计算效率. 【详解】略 4．小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ (3)从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 【答案】(1)抽取与，积为24 (2)抽取与，商为 (3)抽取与，进行乘方运算得到最大为 (4)（答案不唯一） 【分析】（1）要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解； （2）要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解 （3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取与4，据此可求解； （4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可． 【详解】（1）抽取与，则其乘积为：； （2）抽取与，则其商为：； （3）抽取与，则有：； （4）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 有理数四则混合运算（复杂）题型01 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算． 2．（24-25七年级上·陕西安康·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图1，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，则孩子出生后的天数______天． 【答案】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图所表示孩子出生后的天数为：（天）． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的运算等知识，根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·湖北·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算题: （1）; （2） 【答案】（1）－20；（2）8. 【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减. 【详解】解：（1）原式； （2）原式. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键. 程序流程图与有理数计算题型02 1．根据流程图中的程序，当输入数值x为-2时，输出数值y为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数即可求得y的值． 【详解】∵x=-2，不满足x≥1 ∴对应y=-x+5， 故输出的值y=-x+5=-×（-2）+5=1+5=6． 故选B． 【点睛】能够根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算． 2．（24-25七年级·宁夏吴忠·学情自测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 3．如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是按照运算程序逐步进行乘法计算． 根据数值运算程序，将代入，依次进行乘法运算． 【详解】解：输入，运算程序为． 原式 ， 所以当输入时，输出结果为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·期末）如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 【答案】220 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据数值转换机求得图中“■”遮去的符号，然后列式计算即可． 【详解】解：若输入的值为3， 则， 而输出的结果是4， 那么， 即图中“■”遮去的符号是“”， 若输入的值为15， 那么． 故答案为：220 ． 5．（24-25七年级上·河北邢台·期中）淇淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，加*键，再输入，得到运算：． (1)求的值； (2)嘉嘉在运用此程序计算时，屏幕显示“程序运算错误”，请你以有理数的运算法则推测嘉嘉在输入数据时出现了什么情况． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）将中的替换为，替换为，再进行计算即可； （2）根据除数不能为0推测出现的情况． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵0不能作除数， ∴小华在输入数据时可能是，即． 计算器—有理数题型03 1．（25-26上·期末）用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查应用计算器，掌握计算器的各个按键的功能及使用计算器进行各种运算，能够正确输入顺序是解题关键．按照计算器输入顺序计算，即可得出答案． 【详解】 解：用计算器计算，按键的顺序为， 故选：B． 2．（24-25上·山东淄博·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：按键顺序对应的计算列式为， 故选：B． 3．用计算器计算(-62.3)÷(-0.25)×940时，用带符号键的计算器的按键顺序是_____． 【答案】 根据题意可得： 【分析】根据按键顺序可结合题目所给算式用计算器按键即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查的是计算器的使用，根据按键顺序得到所求的算式是解题的关键． 4．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 【答案】 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 5．用计算器计算： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百位）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用计算器先计算出和的值，再相加，精确到0.01即可； （2）用计算器先计算出与，再相加，然后再乘以，精确到百位即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查用计算器进行有理数的运算，正确使用计算器是解题关键． 进制的转换问题题型01 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）将六进制数转化为十进制数的结果为（    ） A．120 B．116 C．100 D．96 【答案】B 【分析】本题主要考查了不同进制数间的转换，含乘方的有理数混合运算，掌握任意进制数转化为十进制数的方法是解题的关键．先根据题意列出式子，然后计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如： ，则十进制数30是二进制下的（    ） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，此题只需估计最高位是乘以2的几次方，由，，再逐步确定即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数2024换算成十进制数是______． 【答案】1044 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解八进制数换算为十进制数的方法是解题的关键；根据题目中八进制数3745换算成十进制数的方法计算即可． 【详解】解：八进制数2024换算成十进制数是， 故答案为：1044． 4．现有三进制数，二进制数；则a______b，，）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，有理数大小比较，根据题意分别求出a、b的值，然后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·天津·期中）【概念感知】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制，对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 如：十进制数，记作：，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 【尝试应用】 （）根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数转化成进制数的值为多少？ 【深入思考】 （）现有三进制数，二进制数，试比较的大小． 【答案】（）①；②；（） 【分析】（）①根据七进制数转化成十进制数的方法计算即可求解；②根据十进制数转化成二进制数的方法计算即可求解； （）分别三进制数和二进制数转化成十进制数即可判断求解； 本题考查了进位制的转化，有理数的混合运算，理解进位制的转化方法是解题的关键． 【详解】解：（）①， 即； ②计算如下： ∴； （）∵ ∴，， ∵， ∴． 有理数混合运算的规律计算题型02 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）探究： … 请你找规律，并计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握题中的规律．利用题中所给的规律计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【分析】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． （2）略． 3．（24-25七年级上·江苏南京·月考）定义“*”运算： ①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：） 【答案】(1)①；②17； (2)两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0； (3)，或，或，或或或或或． 【分析】（1）①根据示例参照求解；②根据示例参照求解； （2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳； （3）由新定义知与异号，，得到，或，或，或或或或或，求得参数值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加． 特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0． （3）解：存在， ∵， ∴与异号，， ∵m，n是整数， ∴，或，或，或，或或或或， ∴，或，或，或或或或或． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握定义新运算的法则，有理数混合运算顺序，运算法则，运算律，整数性质，分类讨论，是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）根据发现的规律解答即可； （4）根据发现的规律解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】解：（1），， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． （4）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·福建·月考）概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2③，读作“2的圈3次方”， 写作④，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：_____________；_____________； （2）下列关于除方说法中，错误的有______________；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢 归纳：（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式为：： ． （4）计算：． 【答案】（1）1； （2）D （3） （4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确， 从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值； （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1） ； ． 故答案为： （2）任何非零数的圈 2 次方都等于 1 ，故选项A正确，不符合题意； 任何非零数的圈 3 次方都等于它的倒数，故选项B正确，不符合题意； 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故选项C正确，不符合题意； 圈次方等于它本身的数是的圈偶数次方等于的圈奇数次方等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D （3）有理数的圈次方写成幂的形式为： ． 故答案为： （4） ， 有理数混合运算的新定义问题题型03 1．对有理数a，b，定义运算★如下：，则____． 【答案】9 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确理解题目所给的新定义的运算顺序和运算法则． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：9． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义一种新运算：，例如的计算过程为：．按照此运算规则，计算的结果是（　　） A．6 B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算问题，含乘方的有理数的混合运算，读懂运算规则是解决问题的关键． 按照定义的运算法则直接展开计算即可． 【详解】解： 故选D． 3．（25-26七年级上·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)64 (2) 解：成立，理由如下： ∵； 故． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意， ； （2）略 4．（24-25七年级上·贵州·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查新定义运算，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． （2）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得 ． （2）解：根据题意可得 ． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【分析】本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． （1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.7 有理数的混合运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的混合运算 题型02 含乘方的有理数混合运算 题型03 有理数混合运算的实际应用 题型04 算“24”点 B组 能力进阶 题型01 有理数四则混合运算（复杂） 题型02 程序流程图与有理数计算 题型03 计算器—有理数 C组 思维拔高 题型01 进制的转换问题 题型02 有理数混合运算的规律计算 题型03 有理数混合运算的新定义问题 有理数的混合运算题型01 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算的结果为________． 2．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有__________个． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算：． 4．（25-26七年级上·吉林松原·期中）计算：． 5．（24-25七年级上·北京·期中）计算：． 含乘方的有理数混合运算题型02 1．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 2．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）【初步探究】 直接写出计算结果：2③=_______，（-）⑤=_______； （2）【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． （﹣3）④=_______；5⑥=_______； (-) ⑩=_______． Ⅱ. 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______； Ⅲ.  算一算： 12²÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷3³. 有理数混合运算的实际应用题型03 1．体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 算“24”点题型04 1．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 3．与同伴玩“24点”游戏，并将你在游戏中积累的经验写成小短文． 4．小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ (3)从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 5．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 有理数四则混合运算（复杂）题型01 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西安康·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图1，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，则孩子出生后的天数______天． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算_____． 4．（25-26七年级上·湖北·月考）计算： (1) (2) 5．计算题: （1）; （2） 程序流程图与有理数计算题型02 1．根据流程图中的程序，当输入数值x为-2时，输出数值y为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25七年级·宁夏吴忠·学情自测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 3．如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为_____． 4．（25-26七年级上·期末）如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 5．（24-25七年级上·河北邢台·期中）淇淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，加*键，再输入，得到运算：． (1)求的值； (2)嘉嘉在运用此程序计算时，屏幕显示“程序运算错误”，请你以有理数的运算法则推测嘉嘉在输入数据时出现了什么情况． 计算器—有理数题型03 1．（25-26上·期末）用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25上·山东淄博·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 3．用计算器计算(-62.3)÷(-0.25)×940时，用带符号键的计算器的按键顺序是_____． 4．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 5．用计算器计算： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百位）． 进制的转换问题题型01 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）将六进制数转化为十进制数的结果为（    ） A．120 B．116 C．100 D．96 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如： ，则十进制数30是二进制下的（    ） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 3．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数2024换算成十进制数是______． 4．现有三进制数，二进制数；则a______b，，）． 5．（24-25七年级上·天津·期中）【概念感知】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制，对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 如：十进制数，记作：，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 【尝试应用】 （）根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数转化成进制数的值为多少？ 【深入思考】 （）现有三进制数，二进制数，试比较的大小． 有理数混合运算的规律计算题型02 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）探究： … 请你找规律，并计算：（   ） A． B． C． D． 2．如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 3．（24-25七年级上·江苏南京·月考）定义“*”运算： ①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：） 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 5．（24-25七年级上·福建·月考）概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2③，读作“2的圈3次方”， 写作④，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：_____________；_____________； （2）下列关于除方说法中，错误的有______________；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢 归纳：（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式为：： ． （4）计算：． 有理数混合运算的新定义问题题型03 1．对有理数a，b，定义运算★如下：，则____． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义一种新运算：，例如的计算过程为：．按照此运算规则，计算的结果是（　　） A．6 B． C．3 D．0 3．（25-26七年级上·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 4．（24-25七年级上·贵州·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 试卷第1页（共3页） 1/1 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