专题04 几何图形初步认识章末压轴满分题11大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 聚焦几何图形初步核心考点，以11类压轴题型构建从基础到综合的训练体系，覆盖空间图形、线段与角的计算及动态问题，渗透空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体关系|3题|多面体点棱面关系、表面积体积计算|从欧拉公式到立体展开与实际应用，构建空间观念| |线段问题|9题|和差、中点、动点及数轴综合|以线段性质为基础，结合动态分析与分类讨论| |角度计算|15题|三角板组合、余角补角、角平分线|从静态角度到动态旋转，强化推理与运算能力| |图形旋转|9题|三角板与射线旋转综合|结合旋转性质，培养动态几何直观| |新定义问题|6题|线段“巧分点”、角度“分余线”等|通过新情境抽象数学模型，发展创新意识|

专题04 几何图形初步认识章末压轴满分题 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末压轴满分题 压轴题型01 几何体中的点、棱、面关系与几何体的表面积、体积压轴 压轴题型02 线段的和差问题 压轴题型03 线段中点问题 压轴题型04 线段动点问题 压轴题型05 三角板中角度计算 压轴题型06 几何图形中角度计算 压轴题型07 与余角、补角有关的计算 压轴题型08 角平分线有关的计算 压轴题型09 图形的旋转压轴 压轴题型10 线段的新定义问题 压轴题型11 角度的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末压轴满分题 ◆压轴题型01 几何体中的点、棱、面关系与几何体的表面积、体积压轴 1．欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 2．下面是一个正方体纸盒． (1)如图1，将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，你认为________号图形是这个正方体的展开图形； (2)如图2，若先将正方体纸盒的上半部分都涂上颜色，在（1）题中你所选中的展开图形中，将涂色部分补充完整． (3)如图3，将若干个棱长为1的小正方体，拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色，此时各个面都没有涂色的小正方体有729个，求拼成的大正方体的边长是多少？ 3．项目学习 项目主题：自制月饼包装礼盒 项目背景：中秋佳节之际，某校七年级1班的同学们亲手制作了一些美味的月饼，并计划每6枚月饼打包成一份送到敬老院．为了美观和便于携带，他们计划制作一些长方体形月饼包装礼盒．在数学张老师的带领下，同学们开展了以“自制月饼包装礼盒”为主题的项目学习． 驱动问题：如何制作一个长方体形月饼包装礼盒？ 以下是善思小组的活动过程．请你将过程中“▲”处空缺的内容补充完整． 解决问题： (1)选取材料：根据6枚月饼的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的月饼质量是否均衡，于是将6枚月饼分别称重并记录，数据如下（每枚月饼的标准质量为，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差/g ①这6枚月饼的总质量为______g，据此选取了合适的材料； ②这6枚月饼中，质量最大的与最小的相差______g． (2)制作礼盒：需要制作两个无盖的长方体盒子，一个为盒盖，一个为盒体． 以下是组员们为制作无盖的长方体画的展开图，其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，打蝴蝶结要的丝带． ①用含a，b，c的代数式表示丝带长为______； ②若，则丝带的总长为______． ◆压轴题型02 线段的和差问题 4．已知线段，延长至点，，点、为线段延长线上的点，且，、分别是线段、的中点，当点是线段的三等分点时，求的长． 5．如图，点、、、在同一直线上，已知，，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 6．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； ◆压轴题型03 线段中点问题 7．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 8．如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 9．对于题目“已知A、B、C在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①如图1，C点在线段上， ； ②如图2，C点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图3，在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为，所以点C表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知A、B、C、D在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点M、N分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． ◆压轴题型04 线段动点问题 10．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 11．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 12．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． ◆压轴题型05 三角板中角度计算 13．如图1，点O为直线上一点，过点O在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好平分，求t的值； ②将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，求与之间的数量关系． 14．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时___度；____度． (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点旋转的时间是____秒． 15．【概念认知】 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，当存在其中一个角的度数是另一个角度数的两倍时，称射线是的“叠分线”． （1）任意一个角的角平分线_____这个角的“叠分线”（填“是”或“否”）； 【初步理解】 （2）已知，且射线是的“叠分线”． ①当，求的度数； ②用含的代数式表示：_____； 【深入研究】 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转． （3）设三角板运动时间为秒． ③当秒时，请判断是的“叠分线”吗，并说明理由； ④请直接写出当是的“叠分线”时的值． ◆压轴题型06 几何图形中角度计算 16．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 17．如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 18．如图，点O为直线上一点． (1)如图1，若 ； (2)如图2，若，平分，平分．则 ； (3)如图3，若平分，平分，判断的大小？并写出求的过程？ (4)若把顶点与图1中的点O重合并在直线上方旋转（），在旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． ◆压轴题型07 与余角、补角有关的计算 19．已知，过点引射线和 (1)如图1，若平分平分，求； (2)如图2，若为内任一射线，平分，求的值； (3)射线从射线的位置出发以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置出发以每秒的速度顺时针旋转，、分别平分和，当秒时，为何值，与互余？ 20．点在直线的同侧作射线，，，且平分． (1)如图①，若，，则的度数为________，的度数为________． (2)如图②，若，求的度数； (3)若和互为余角且，，，平分，试画出图形探究与之间的数量关系，直接写出数量关系． 21．如果两个角的和是100度，我们称这两个角互为“百角”，简称“互百”，也可以说一个角是另一个角的百角．例如，，，则与互为百角． (1)如果和互为百角，，则______度； (2)若和互为百角，和互为余角，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图1，点O在直线上，绕点O旋转，是的角平分线． ①如图2，若，在直线的上方，当和互为百角时，求的度数； ②若，当为______度时，和互为百角．（直接写出答案） ◆压轴题型08 角平分线有关的计算 22．点为直线上一点，，如图①，将一把含有角的直角三角板的其中一个角的顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方； (1)若将的三角板按图②方式摆放，使得，此时为________度； (2)若将上述直角三角板按图③方式摆放，当恰好平分时，求的度数； (3)若这个直角三角板在摆放时，始终让三角板的45°角的顶点像图①一样放在点处，当斜边在的内部时（与、不重合），试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． ∵ ∴． 当在的内部时，如图所示： 23．如图，点在直线上，，平分，设． (1)如图①，若，则的度数是___________；当时．用含的式子表示的度数是___________； (2)若将如图①中的绕点O顺时针旋转到如图②的位置，其他条件不变． ①求与的度数之间的数量关系； ②若OF是内的一条射线，且，试说明． 24．【发现问题】（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若．则的度数是______； 【类比探究】（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，请直接写出____________°．（用含的式子表示） ◆压轴题型09 图形的旋转压轴 25．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，过点O作射线． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ∵（已知）， ∴∠（______）． ∵平分（已知）， ∴______°（______）． ∵（已知）， ∴___________°． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（），当平分时，请直接写出t的值． 26．已知直线过点O，，是的平分线． (1)操作发现： ①如图1，若，则______． ②如图1，若，则______． ③如图1，若，则______．（用含的代数式表示） (2)操作探究： 将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． (3)拓展应用： 将图2中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若，求的度数．（用含的代数式表示） 27．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤，⑥六个角中，利用一副三角板画不出来的角是________；（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为________； (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①当为直角时，________； ②如图3，在转动过程中，点E为线段上一点．．若与始终满足为定值，常数m的值是________； ③在转动过程中，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角α的度数． ◆压轴题型10 线段的新定义问题 28．定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则_____． 29．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则______cm． 30．综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． ◆压轴题型11 角度的新定义问题 31．综合与探究 【教材呈现】 在学习了“几何图形初步”后，李老师让同学们做书上178页的一道练习题： 已知，以为边画．求的度数． 【初步探究】 “善思”学习小组通过讨论发现，应该进行分类讨论，以下是他们的讨论过程，请补全讨论结果： 情况一：当边在内部（上方）时，如图1，则______度； 情况二：当边在外部（下方）时，如图2，则______度； 【定义新知】 李老师根据同学们探究的情况一定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互余，则称该射线为的“分余线”．请根据定义解答以下问题： （1）根据定义新知，请判断图1中射线是否为的“分余线”，并说明理由： （2）如图3，，在的内部作射线，作的角平分线；在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 32．如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）． 在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．    (1)当时， ①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度； ②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少． (2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由． 33．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 综合攻坚·知能拔高 34．如图所示，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 35．如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C． D．或 36．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 37．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 38．如图，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的下方．若直角绕点O按每秒的速度顺时针旋转一周，当直角的直角边所在直线恰好平分时，此时直角绕点O的运动时间为______秒． 39．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 40．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时，___________． （2）当时，___________． 41．如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____° (2)如图2，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 42．是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 43．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”，已知点是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若， ，点在线段_________（填“”或“”）上； ②若， 且，，则的长度为____________． (2)若为线段的中点，， ，求的长度． 44．综合与实践 [动手操作] （1）如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）； ①；②；③；④；⑤；⑥． [思考表达] 现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角． （2）利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请通过列式计算说明理由． [类比延伸] （3）现有两把长度分别为和的无刻度的直尺，你能用这两把直尺可以画出下列哪几条长度的线段，直接写出结果________． A．    B．    C．    D． 45．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，_____； (2)若将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)若将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_____； (4)若将图1中的三角板绕点O按每秒钟的速度旋转一周，当恰好为的角平分线时，此时，三角板绕点O运动的时间可以为_____秒． 46．【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 47．【问题情境】 如图（1），已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则 cm． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请计算说明；如果变化，请说明理由． 【问题解决】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图（2），已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 48．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 49．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合． (1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数． (2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何图形初步认识章末压轴满分题 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末压轴满分题 压轴题型01 几何体中的点、棱、面关系与几何体的表面积、体积压轴 压轴题型02 线段的和差问题 压轴题型03 线段中点问题 压轴题型04 线段动点问题 压轴题型05 三角板中角度计算 压轴题型06 几何图形中角度计算 压轴题型07 与余角、补角有关的计算 压轴题型08 角平分线有关的计算 压轴题型09 图形的旋转压轴 压轴题型10 线段的新定义问题 压轴题型11 角度的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末压轴满分题 ◆压轴题型01 几何体中的点、棱、面关系与几何体的表面积、体积压轴 1．欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 【答案】(1) 依题意， 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 10 6 棱数 6 9 15 12 面数 4 5 7 8 (2) (3)该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 【分析】本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现； （3）根据有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， 故答案为：； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，五边形的个数为个， 有36个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 2．下面是一个正方体纸盒． (1)如图1，将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，你认为________号图形是这个正方体的展开图形； (2)如图2，若先将正方体纸盒的上半部分都涂上颜色，在（1）题中你所选中的展开图形中，将涂色部分补充完整． (3)如图3，将若干个棱长为1的小正方体，拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色，此时各个面都没有涂色的小正方体有729个，求拼成的大正方体的边长是多少？ 【答案】(1)③ (2) 如图， (3)11 【分析】本题主要考查的是正方体的展开图，有理数乘方的应用等知识，解题的关键是： （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行补图即可； （3）根据“各个面都没有涂色的小正方体有个”可求出原大正方体去掉外面一层正方体后所得正方体的边长，即可求解． 【详解】（1）解：将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，则展开图为： 故答案为：③； （2）略 （3）解：∵， ∴大正方体的边长为， 答：大正方体的边长为． 3．项目学习 项目主题：自制月饼包装礼盒 项目背景：中秋佳节之际，某校七年级1班的同学们亲手制作了一些美味的月饼，并计划每6枚月饼打包成一份送到敬老院．为了美观和便于携带，他们计划制作一些长方体形月饼包装礼盒．在数学张老师的带领下，同学们开展了以“自制月饼包装礼盒”为主题的项目学习． 驱动问题：如何制作一个长方体形月饼包装礼盒？ 以下是善思小组的活动过程．请你将过程中“▲”处空缺的内容补充完整． 解决问题： (1)选取材料：根据6枚月饼的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的月饼质量是否均衡，于是将6枚月饼分别称重并记录，数据如下（每枚月饼的标准质量为，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差/g ①这6枚月饼的总质量为______g，据此选取了合适的材料； ②这6枚月饼中，质量最大的与最小的相差______g． (2)制作礼盒：需要制作两个无盖的长方体盒子，一个为盒盖，一个为盒体． 以下是组员们为制作无盖的长方体画的展开图，其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，打蝴蝶结要的丝带． ①用含a，b，c的代数式表示丝带长为______； ②若，则丝带的总长为______． 【答案】(1)①481，②9 (2)D (3)①，②160 【分析】本题主要考查了正负数应用，展开图折叠成几何体．解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算，根据展开图确定出立体图形． （1）①80乘6甽超过与不足标准质量的总和；②比较超过或不足标准质量的大小，用最大数减去最小数； （2）能制作无盖的长方体画的展开图只有D； （3）①梱扎长方体礼盒的丝带构成两个长方形，周长分别为 ，，再加上打蝴蝶结要的丝带，即得丝带总长；②当时，代入①中结果，计算即得． 【详解】（1）①（g）； ②∵， ∴（g）； 故答案为：①487；②9； （2）A、可以做一个有盖长方体盒子； B、做不了无盖长方体盒子； C、只能做一个无盖三棱柱盒子； D、可以做一个无盖长方体盒子； 故答案为：D； （3）①（）； ②当时，（）． 故答案为：①；②160． ◆压轴题型02 线段的和差问题 4．已知线段，延长至点，，点、为线段延长线上的点，且，、分别是线段、的中点，当点是线段的三等分点时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查线段中点，及线段的有关计算，进行分类讨论，画出正确的图形是解题的关键．由点是线段的三等分点，分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：设，则，则． 由于点是线段的三等分点，需分两种情况讨论： 当时，，， 代入，得，如图1， ， ， 为中点， ，． 为中点， ， ， ． 当时，，， 代入，得，如图2， ，， 为中点， ，， 为中点，， ， ． 综上，的长为或． 5．如图，点、、、在同一直线上，已知，，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．设，根据已知的，，可表示出、、的长，进而由线段中点的定义可表示出、的长，再由表示出的长，结合已知的，可求得的值，进而得到的长，最后根据求解即可． 【详解】解：设， ， ， ， 又， ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ， ，解得， ， ． 6．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及线段的和差关系． （）依据绝对值非负性，因，两个非负的绝对值相加为，则各自为，所以，解得； （）结合线段和差关系，由，得到，化简后得； （）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． ◆压轴题型03 线段中点问题 7．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】本题考查数轴中线段的动态问题．熟悉利用绝对值与平方的非负性、线段中点的性质进行计算，动点问题根据线段移动的距离结合线段的和差关系分析位置变化，利用分类讨论思想解决问题，是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到答案． （2）设直线为数轴，根据运动前后点、点和点、点的位置变化，确定线段长度的变化关系，根据运动后的长度，得到运动后的长度． （3）根据题意得到运动秒后和的长度，根据不同时间段分类讨论得到结果． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 8．如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点定义等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P未到达点和点P到达点后两种情况讨论，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒， 则， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动时间为， 依题意，分以下两种情况： ①点未到达点时， ，即， 解得， 点刚到达点时，则，则，即此时； ②当点到达点后，则点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为， 综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， ， 点E、F分别为和的中点， ，， ， 则． 9．对于题目“已知A、B、C在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①如图1，C点在线段上， ； ②如图2，C点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图3，在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为，所以点C表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知A、B、C、D在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点M、N分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 【答案】(1)解法一：①；② 解法二：2或4 (2)1或3或5 (3)4或1 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差与绝对值的意义，掌握好中点公式并灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． （1）解法一：根据线段的和差关系进行填空即可； 解法二：利用数轴上点的位置和两点之间的距离公式进行填空即可； （2）解法一：先对点C和点D的位置分类讨论，根据线段的和差关系计算出； 解法二：仿照题干建立数轴，则 A：表示的数为0，B：表示的数为3，再写出点C和点D表示的数，计算距离即可； （3）解法一：按照点C和点D与线段的位置关系进行分类讨论，利用线段的和差进行计算即可； 解法二：仿照题干建立数轴，设点C表示的数为，则点D表示的数为或．根据点D表示的数，分两类讨论，用中点公式表示出点M和点N表示的数，两者差的绝对值即线段的长． 【详解】（1）解：解法一：根据线段的和差， ①C点在线段上，， 故答案为：； ②C点在线段上，， 故答案为：； 解法二：设点C表示的数为x， ∵， ∴， 解得，或， 故答案为：或； （2）解：解法一：根据题意可分如下四种情形： ①点C和点D都在线段上，， ②点C在线段上，点D在线段的延长线上，， ③点C在线段的延长线上，点D在线段上，， ④点C在线段的延长线上，点D在线段的延长线上， 综上所述，的长为或或； 解法二：在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3， ∵， ∴点C表示的数为2或4， ∵， ∴点D表示的数为， ∴①当点D表示1，点C表示2时，， ②当点D表示，点C表示2时，， ③当点D表示1，点C表示4时，， ④当点D表示，点C表示4时，， ∴综上所述，的长为或或； （3）解：解法一：根据题意可分如下情形： ①当点C在点A右侧，且点D在点C右侧，如图， 结合题意与图可知， ， ， ， ， ， ， ②当点C在点A右侧，且点D在点C左侧，如图， ， ， ， ， ， ， ； ③当点C在点A左侧，且点D在点C右侧，如图， 与①同理可得，， ③当点C在点A左侧，且点D在点C左侧，如图， 与②同理可得，， 综上所述，的长或； 解法二：在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3， ∵线段在直线上运动，且， ∴设点C表示的数为a，则点D表示的数为或， ∵点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点N表示的数为或， 当点N表示的数为时，， 当点N表示的数为时，， 综上所述，的长或． ◆压轴题型04 线段动点问题 10．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，， 表示点D如下： (2)①，，； ②的值不变，为； ③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是； （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 11．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 【答案】（1）；； （2）线段的长度不变，长度为7； （3）0 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据题意，t秒后，点运动的路程为，点表示的数为； （2）分两种情况讨论：①当点P在线段上；②当点P在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可； （3）当点P追上T的时间．当Q追上T的时间．当Q追上P的时间，推出当时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）根据题意，秒后，点运动的路程为；点表示的数为； 故答案为：；； （2）线段的长度不变，理由如下： ①当点P在线段上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； ②当点P在线段的延长线上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； 所以线段的长度不变，是7． （3）当点P追上T的时间， 当Q追上T的时间， 当Q追上P的时间， ∴当时，位置如图， ∴． 12．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． ◆压轴题型05 三角板中角度计算 13．如图1，点O为直线上一点，过点O在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好平分，求t的值； ②将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①6或24秒；② 【分析】本题主要考查了三角板旋转过程中角度的计算，角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键． （1）由角平分线的定义和角的计算即可求解； （2）分当线段的延长线平分时，当线段旋转至内部平分时，根据旋转的度数除以旋转速度，即可求解； ②根据、，然后作差，即可求解． 【详解】（1）解：由条件可知， 恰好平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ①当线段的延长线平分时，如图2， 则此时，三角板绕点O逆时针旋转了， ∴（秒）； 当线段旋转至内部平分时，如图3， 三角板绕点O逆时针旋转了， ∴（秒）， 综上所述，t的值为6或24秒． ②∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 14．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时___度；____度． (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点旋转的时间是____秒． 【答案】(1)120；30 (2)， 理由：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴； (3)或30 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，以及旋转的性质，解题的关键是认真观察图形，并动中找静，分析出角之间的关系． （1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出、的度数； （2）首先根据求出，然后根据，即可得出结论； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴．． 故答案为：120；30； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 如图a，当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是或30秒． 故答案为：或30． 15．【概念认知】 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，当存在其中一个角的度数是另一个角度数的两倍时，称射线是的“叠分线”． （1）任意一个角的角平分线_____这个角的“叠分线”（填“是”或“否”）； 【初步理解】 （2）已知，且射线是的“叠分线”． ①当，求的度数； ②用含的代数式表示：_____； 【深入研究】 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转． （3）设三角板运动时间为秒． ③当秒时，请判断是的“叠分线”吗，并说明理由； ④请直接写出当是的“叠分线”时的值． 【答案】（1）是； （2）①②或或； （3）③是，理由如下： ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 故是的“叠分线”； ④4或或6或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，一元一次方程的几何应用，角的和差问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键． （1）根据新定义与角平分线的定义中，结合进行解答即可； （2）①根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； ②根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； （3）③根据运动时间以及运动角的速度进行列式计算，即可作答． ④根据新定义考虑三角两两的倍数关系分三种情况讨论，根据角的倍数关系列关于t的等式方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因角平分线分成两个角与被分原角满足原角是所分出的小角的两倍，根据新定义知，角平分线应为这个角的“叠分线”， 故答案为：是； （2）①∵，， 依题意，分以下三种情况：当或时，， 当时，， 当时，， ②依题意，分以下三种情况： 当或时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或； （3）③略 ④由题意得，， 当时，即，解得：， 当边落在射线上时两个三角板停止旋转，此时，解得； 当时，在内部， 是的“叠分线”，分以下三种情况， 当时， ， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 当时，在外部， 此时不满足“叠分线”的定义， 当时，， 此时，则， 此时，满足“叠分线”的定义， ∴当是的“叠分线”时的值为4或2.4或6或． ◆压轴题型06 几何图形中角度计算 16．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 17．如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先计算，再计算，最后计算； （2）计算即可以说明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：略． 18．如图，点O为直线上一点． (1)如图1，若 ； (2)如图2，若，平分，平分．则 ； (3)如图3，若平分，平分，判断的大小？并写出求的过程？ (4)若把顶点与图1中的点O重合并在直线上方旋转（），在旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 过程如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； (4)或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平角的定义可得答案； （2）根据平角的定义可得的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； （3）根据角平分线的定义可得，再由平角的定义和角的和差关系可得答案； （4）分解析中的四种情况，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴； （3）略 （4）解：当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当不在内部，且在内部时， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，当在内部，且不在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当不在内部，在内部时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． ◆压轴题型07 与余角、补角有关的计算 19．已知，过点引射线和 (1)如图1，若平分平分，求； (2)如图2，若为内任一射线，平分，求的值； (3)射线从射线的位置出发以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置出发以每秒的速度顺时针旋转，、分别平分和，当秒时，为何值，与互余？ 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，互余的定义，角的和差，解题的关键是掌握以上性质和定义． （1）根据角平分线的定义进行求解即可； （2）假设，则，根据角的和差以及角平分线的定义表示出相关的角，然后求比值即可； （3）假设时间为秒时，根据互余求出的度数，分两种情况进行讨论，根据角平分线的定义以及角的和差列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：假设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图所示， 假设时间为秒时，与互余， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分和， ∴， ∴， 解得； ②如图所示， 假设时间为秒时，与互余， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分和， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 20．点在直线的同侧作射线，，，且平分． (1)如图①，若，，则的度数为________，的度数为________． (2)如图②，若，求的度数； (3)若和互为余角且，，，平分，试画出图形探究与之间的数量关系，直接写出数量关系． 【答案】(1)； (2) (3) 当时，如图， ； 当时，如图， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义和邻补角相加等于等知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用平角的定义、角平分线的定义和角的和差即可得出结论； （2）根据平角定义，角平分线的定义并结合可求出，然后根据角的和差关系求解即可； （3）分，两种情况加以讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵ ∴即； （3）解：设，则， ∴， 当时，如图， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴； 当时，如图， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴． 21．如果两个角的和是100度，我们称这两个角互为“百角”，简称“互百”，也可以说一个角是另一个角的百角．例如，，，则与互为百角． (1)如果和互为百角，，则______度； (2)若和互为百角，和互为余角，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图1，点O在直线上，绕点O旋转，是的角平分线． ①如图2，若，在直线的上方，当和互为百角时，求的度数； ②若，当为______度时，和互为百角．（直接写出答案） 【答案】(1)30 (2) ，理由如下： ∵和互为百角， ∴， ∵和互为余角， ∴， ∴， ∴； (3)①度；②或 【分析】本题考查了新定义、角平分线的定义、余角的定义、一元一次方程的应用，理解“百角”的定义是解题的关键． （1）根据百角的定义即可求解； （2）根据百角的定义得到，根据余角的定义得到，再利用角的和差即可得出结论； （3）①设，则，根据百角的定义得到，根据角平分线的定义列出方程，求出的值即可解答；②设，根据百角的定义得到，分4种情况讨论：当射线和在直线的上方；当射线在直线的上方，射线在直线的下方；当射线和在直线的下方；当射线在直线的上方，射线在直线的下方；再根据角平分线的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵和互为百角， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30； （2）略 （3）解：①设， 则， ∵和互为百角， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得， ∴的度数为度； ②设， ∵和互为百角， ∴， ∴； 当射线和在直线的上方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得， 即度； 当射线在直线的上方，射线在直线的下方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当射线和在直线的下方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得， 即度； 当射线在直线的上方，射线在直线的下方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； ∴综上，当为或度时，和互为百角． 故答案为：或． ◆压轴题型08 角平分线有关的计算 22．点为直线上一点，，如图①，将一把含有角的直角三角板的其中一个角的顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方； (1)若将的三角板按图②方式摆放，使得，此时为________度； (2)若将上述直角三角板按图③方式摆放，当恰好平分时，求的度数； (3)若这个直角三角板在摆放时，始终让三角板的45°角的顶点像图①一样放在点处，当斜边在的内部时（与、不重合），试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． 【答案】(1)75 (2) (3) 或， 理由如下：当在的外部时，如图所示： ∵ ∴． 当在的内部时，如图所示： ； 综上，或． 【分析】（1）根据，，，可得，进而求解； （2）根据角平分线定义得出，根据，进而即可求解； （3）分两种情况：在的外部或在的内部，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵恰好平分，， ∴， ∴； （3）略 23．如图，点在直线上，，平分，设． (1)如图①，若，则的度数是___________；当时．用含的式子表示的度数是___________； (2)若将如图①中的绕点O顺时针旋转到如图②的位置，其他条件不变． ①求与的度数之间的数量关系； ②若OF是内的一条射线，且，试说明． 【答案】(1)； (2)①； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 即． 【分析】（）由已知可得，，即得，即得到；同理可得当时，； （）①由，，可得，又因为，得，进而代入即可求解；②设，可得，进而代入计算即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 略 24．【发现问题】（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若．则的度数是______； 【类比探究】（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，请直接写出____________°．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差． （1）根据角平分线性质可求，根据即可解答； （2）由题意可得，进而求出； （3）根据角平分线性质可得，，进而求出． 【详解】解：（1）平分，平分， ，， ，； 故答案为：； （2），，， ， ； （3），， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 即， 故答案为：． ◆压轴题型09 图形的旋转压轴 25．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，过点O作射线． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ∵（已知）， ∴∠（______）． ∵平分（已知）， ∴______°（______）． ∵（已知）， ∴___________°． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（），当平分时，请直接写出t的值． 【答案】(1)平角的定义；；角平分线的定义；；； (2) (3)或 【分析】（1）由是平角，平分，即可求解； （2）在（1）的条件下，由是平角，平分，即可求解； （3）根据两图形旋转后的角度位置，建立关于的方程，使某一时刻满足平分条件，即可求解． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴∠（平角的定义）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴； 故答案为：平角的定义；；角平分线的定义；；； （2）解：∵， ∴∠， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：，平分， ； 当平分时，分两种情况讨论： 当平分时， 此时， 由题意知， ； 当平分时， 此时， 由题意知， ； 当平分时，或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、几何图形中角度的计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的余角、利用邻角互补求角度；运用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 26．已知直线过点O，，是的平分线． (1)操作发现： ①如图1，若，则______． ②如图1，若，则______． ③如图1，若，则______．（用含的代数式表示） (2)操作探究： 将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． (3)拓展应用： 将图2中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②；③； (2) ③中的结论还成立，理由如下： 如图2， 平分 (3)； 【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）如图1，根据平角的定义和，得，从而，是的平分线，可得，由角的和差得；同理可得②、③； （2）如图2，根据平角的定义得：，由角平分线定义得：，根据角的差可得（1）中的结论还成立； （3）同理可得：． 【详解】（1）解：①如图1， 平分 ②如图1， 平分 ③如图1，由①知： 平分 故答案为：①；②；③； （2）解：略． （3）解：如图3， 平分 27．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤，⑥六个角中，利用一副三角板画不出来的角是________；（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为________； (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①当为直角时，________； ②如图3，在转动过程中，点E为线段上一点．．若与始终满足为定值，常数m的值是________； ③在转动过程中，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角α的度数． 【答案】(1)⑤ (2) (3)①，②，③α为或或 【分析】本题考查了角的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）利用三角板的角度性质将各选项的角逐一进行组合，无法组合即为不能画出的角； （2）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （3）①利用角的和差关系，即可得出答案； ②先根据已知条件求出，的角度表达式，再分别求出和的表达式，由与始终满足为定值，得出，要使其为定值，则，求解m的值即可； ③分为当平分时，当平分时，当平分三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，含有角的直角三角板和含有角的直角三角板，其对应的角度分别为：、、，、、， ①：，利用一副三角板能画出角，不符合题意； ②：，利用一副三角板能画出角，不符合题意； ③：，利用一副三角板能画出角，不符合题意； ④：，利用一副三角板能画出角，不符合题意； ⑥：，利用一副三角板能画出角，不符合题意； 而⑤中，一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角，符合题意， 故答案为：⑤． （2）解：∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：①∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②由题意知，， ∵， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， ∴ ， ∴， 要使为定值， 则，解得， 故答案为：； ③（i）如图，当平分时， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得； （ii）如图，当平分时， ∴， ∴； （iii）如图，当平分时， ∴， ∴， 综上所述，α为或或． ◆压轴题型10 线段的新定义问题 28．定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则_____． 【答案】2或6 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ，， ； 故答案为2或6． 29．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则______cm． 【答案】2或6/6或2 【分析】题目主要考查线段的和差计算，根据题意分两种情况讨论：当点P在线段之间时；当点P在的反向延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段之间时， 根据题意可得：，即， ∴ ∴cm； 当点P在的反向延长线上时，如图所示： 根据题意得：，即， ∴cm； 故答案为：2或6． 30．综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． ◆压轴题型11 角度的新定义问题 31．综合与探究 【教材呈现】 在学习了“几何图形初步”后，李老师让同学们做书上178页的一道练习题： 已知，以为边画．求的度数． 【初步探究】 “善思”学习小组通过讨论发现，应该进行分类讨论，以下是他们的讨论过程，请补全讨论结果： 情况一：当边在内部（上方）时，如图1，则______度； 情况二：当边在外部（下方）时，如图2，则______度； 【定义新知】 李老师根据同学们探究的情况一定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互余，则称该射线为的“分余线”．请根据定义解答以下问题： （1）根据定义新知，请判断图1中射线是否为的“分余线”，并说明理由： （2）如图3，，在的内部作射线，作的角平分线；在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】[初步探究]，； [定义新知]（1）是的“分余线”，理由如下： ∵， ∴ ∴是的“分余线”， （2）的度数为或 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义，理解“分余线”定义、分类讨论是解题的关键； [初步探究]根据题意，结合图形，根据分别求解，即可； [定义新知]（1）根据“分余线”定义，即可求解； （2）设，进而根据题意分别表示出，根据“分余线”定义，分类讨论，建立方程，即可求解． 【详解】解：[初步探究] 情况一：当边在内部（上方）时，如图1，则； 情况二：当边在外部（下方）时，如图2，则； 故答案为：，． [定义新知]（1）略 （2）在的内部，为的“分余线” 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ①当时， ∴ 解得： ②当时， ∴ 解得： 综上所述，的度数为或 32．如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）． 在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．    (1)当时， ①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度； ②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少． (2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由． 【答案】(1)①②； (2)或 【分析】（1）①根据“迷你角度”的定义计算即可；②分为当是对的“迷你角度”时和当是对的“迷你角度”时，分别画图计算即可； （2）分为当是对的“迷你角度”和当是对的“迷你角度”， 当时，分别计算即可； 【详解】（1）， ①如图（2）所示，若， 则 ， 对的“迷你角度”是； ②若对的“迷你角度”为， 则或， 当是对的“迷你角度”时，如图， ，；    当是对的“迷你角度”时，如图， ，；    综上，或； （2） 设 则 对的“迷你角度”是， ①当是对的“迷你角度”，在之间时， 如图，， ，， 则， ，符合要求；    当是对的“迷你角度”，在之间时， 如图，， ，， 则， ，不符合要求；    ②当是对的“迷你角度”，在之间时，如图， ， ，； 则，，故符合题意；    当是对的“迷你角度”，在之间时， 如图，， ； 则，，故不符合题意；    ③当时，对的“迷你角度”是， 此时，不符合题意； 综上，或． 【点睛】该题主要考查了角度计算的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论解题思想解答． 33．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 综合攻坚·知能拔高 34．如图所示，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，线段长度的计算．根据题意对折点可能是点A，也可能是点B，根据不同情况确定最长线段即可求出原线段的长度． 【详解】解：根据题意对折点可能是点A，也可能是点B，分两种情况． ①点A是对折点，则剪断后最长线段应该是， ∴，， ∴绳子原长为； ②点B是对折点，则剪断后最长线段是， ∴， 而， ∴， ∴绳子原长为， 综上，这条绳子的原长为或． 故选：D． 35．如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分点A和点B是对折点两种情况分别进行讨论，即可得到答案．本题考查了线段中点，线段之间的数量关系，线段的和差以及分类讨论思想，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：（1）当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴，， ∴， ∴绳子的原长； （2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴，， ∴， ∴绳子的原长． 综上，绳子的原长为或． 故选：D． 36．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； ∵A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人． 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为． ∵观察线段可得， ∴当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 故选：C． 37．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：线段，线段和的中点分别为，， ， 线段和的中点，， ， 发现规律： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 38．如图，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的下方．若直角绕点O按每秒的速度顺时针旋转一周，当直角的直角边所在直线恰好平分时，此时直角绕点O的运动时间为______秒． 【答案】22.5或58.5 【分析】根据，且可得．然后分两种情况讨论即可作答：①当射线恰好平分，此时旋转角为：；②当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，分别求出旋转的时间即可． 【详解】解：∵，且， ∴． ①当平分时，， 此时旋转角为， 则旋转时间为：（秒）． ②当射线的反向延长线恰好平分， 此时旋转角为：， 则旋转时间为：（秒）． 故答案为：22.5或58.5． 【点睛】本题主要考查学生对几何中心旋转知识点的掌握，综合运用几何性质与旋转性质解决问题的能力．要注意培养数形结合思想，运用到考试中去．掌握旋转中角度的变化以及旋转反向是解答本题的关键． 39．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 40．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时，___________． （2）当时，___________． 【答案】 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 41．如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____° (2)如图2，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)20 (2) (3) 解：猜想：， 理由：∵， ， ∴， 即． 【分析】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键． （1）根据，即可求出的度数； （2）根据角平分线的性质即可求出的度数； （3）根据余角的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵,， ∴， 故答案为：20； （2）解：∵恰好平分， ∴， ∴； （3）略 42．是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 【答案】(1)； (2) 是的平分线，理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ， ，即平分； (3) ，理由如下： ，， ，， 由题意得：，， ， 在内部， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差运算及旋转运动中的角的数量关系，关键是利用角的和差及平分线性质表示相关角． （1）先根据求出，再利用角平分线的定义求出和，最后通过角的差求出； （2）设，用表示出、，再根据已知条件求出，结合角平分线定义得到，进而计算，判断是否为的一半； （3）先表示出和，再根据旋转速度和时间表示出和，通过变形得到两者的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 平分， ， ； （2）略 （3）略 43．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”，已知点是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若， ，点在线段_________（填“”或“”）上； ②若， 且，，则的长度为____________． (2)若为线段的中点，， ，求的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义： （1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②根据题意可得当点D在上，根据“折中点”的定义进行求解即可； （2）先根据线段中点的定义得到的长，再分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，点D是图中折线的“折中点”， ∴点D在线段上， 故答案为：； ②如图所示，∵ ∴当点D在上， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为； （2）解：E为线段中点，， ∴． ①点D在线段上时，如图所示， ∵， ∴． ∵D为折中点， ∴． ∴； ②点D在线段上时，如图所示， ∴， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度是4或28． 44．综合与实践 [动手操作] （1）如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）； ①；②；③；④；⑤；⑥． [思考表达] 现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角． （2）利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请通过列式计算说明理由． [类比延伸] （3）现有两把长度分别为和的无刻度的直尺，你能用这两把直尺可以画出下列哪几条长度的线段，直接写出结果________． A．    B．    C．    D． 【答案】（1）①④⑥； （2）可以画出的角，理由如下： 先画三个角，拼接得到角， 再在这个角内部叠放一个角（使一边重合）， 剩余部分即为； （3）BD 【分析】本题角度和线段的和差关系，审清题意明白能画出的角或线段是所给的两角大小或线段长度的最大公约式的倍数是解题的关键． （1）推导只用和这两个角都是的倍数，据此求解即可； （2）根据即可得解； （3）两把长度分别为和的无刻度的直尺，可构造的长度均为他们的最大公约数为3的整数倍，从而得解． 【详解】解：（1）和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数， ∴可以画出的角为①；④；⑥； 理由：（先拼两个得，再减去得）， （先拼两个得，再减去得）， （先拼和两个得，得）， 其他角度无法由和的整数倍计算得到； 故答案为：①④⑥； （2）略 （3）可以画出的线段长度为B.和D.， 理由：两把长度分别为和的无刻度的直尺，可构造的长度均为它们的最大公约数为3的整数倍， （不是3的倍数）， （是3的倍数）， （不是3的倍数）， （是3的倍数）， ∴只有B.和D.可以画出， 故答案为：BD． 45．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，_____； (2)若将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)若将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_____； (4)若将图1中的三角板绕点O按每秒钟的速度旋转一周，当恰好为的角平分线时，此时，三角板绕点O运动的时间可以为_____秒． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒, 故答案为：或． 46．【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 【答案】(1)， (2) 如图，即为所求； (3)①或；② 【分析】本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：根据旋转的性质可得， ∴ （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得． 47．【问题情境】 如图（1），已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则 cm． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请计算说明；如果变化，请说明理由． 【问题解决】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图（2），已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【答案】（1）①； ②不变， 理由如下：因为点C和点D分别是的中点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ （2）①；② 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； ②根据①的方法计算即可求解； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，，①由，可得，即可求解； ②根据角平分线的定义可得由，可得，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②略 （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ①，， ，即， ， ； 故答案为：； ②． 理由如下： ∵和分别平分和． ∴， ∴ ∴ 48．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    49．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合． (1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数． (2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的旋转和计算．熟练掌握角旋转性质，角的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据已知得，得，即得； （2）当时，，根据角平分线得，由，得，解得；当时，无解；当时，，得，得，解得；当时，无解；故或； （3）由已知得，，当时，得，得，；当时，得，得， ． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴，不合； 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴，不合； 综上所述，或； （3）∵，平分， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 故当时，；当时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $