第二章 几何图形的初步认识全章高频重点题型突破（十七大高频+八大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

### 基本信息 以“基础-提升-专练”三级架构系统覆盖几何图形初步认识全章重点，通过17类基础题型与8类重难题型的层级设计，实现从概念理解到综合应用的能力递进。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|17类高频题型|聚焦概念辨析与基本运算，如线段中点计算、角平分线应用等|遵循“几何体认识→点线面关系→线段与角的度量计算→图形变换”的认知序列| |核心提升|8类压轴题型|突出动态探究与多知识点融合，如三角板旋转综合、欧拉公式应用等|以“性质应用→数量关系→动态变化”为主线，构建从静态计算到动态推理的思维链|

第二章 几何图形的初步认识全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 生活中常见的几何体 题型2 几何体中的点、棱、面 题型3 线段、射线、直线相关问题 题型4 画出直线、射线、线段 题型5 线段长短的比较 题型6 线段的和与差计算 题型7 线段中点的计算 题型8 线段之间的数量关系 题型9 角相关概念 题型10 角度的四则运算 题型11 尺规作角 题型12 三角板中的角度计算 题型13 几何图形中角度计算 题型14 角平分线中角度计算 题型15 求余角、补角 题型16 平面图形的旋转现象 题型17 根据旋转的性质求解 核心提升：重难题型归纳 题型1 几何体中的点、棱、面关系——欧拉公式 题型2 线段的和与差计算 题型3 线段中点的有关计算综合 题型4 线段之间的数量关系综合 题型5 三角板中的角度计算压轴 题型6 几何图形中角度计算压轴 题型7 角平分线有关计算压轴 题型8 角度之间的关系综合 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 生活中常见的几何体 1．（25-26七年级上·广西防城港·期末）有下列图形：①线段，②棱柱，③圆锥，④圆柱，⑤圆，⑥三角形，⑦球，其中属于立体图形的是____________．（填序号） 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） ◆题型2 几何体中的点、棱、面 4．（25-26七年级上·广西百色·期末）一个几何体，其所有面都是形状、大小完全相同的三角形．则这个几何体是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川巴中·期末）已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． ◆题型3 线段、射线、直线相关问题 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 9．（25-26七年级上·全国·期末）平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 ◆题型4 画出直线、射线、线段 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 11．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）作图题： 根据下列要求画图： (1)作直线； (2)画射线，连接； (3)在线段上取一点C，在射线上取一点D（点C、D不与点O，A，B重合），画直线，使直线与直线交于点E． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点A和直线，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作射线、线段． (2)比较大小： ，依据： ． (3)在射线上取一点D，使． ◆题型5 线段长短的比较 13．（25-26七年级下·河南新乡·期中）O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 15．（24-25六年级下·全国·单元测试）请完成以下问题： (1)如图①所示，在比较与这两条路径的长短时，写出你已学过的基本事实． (2)如图②所示，试判断与这两条路径的长短，并说明理由． ◆题型6 线段的和与差计算 16．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 18．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． ◆题型7 线段中点的计算 19．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 20．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 21．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． ◆题型8 线段之间的数量关系 22．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件①；② ；③；④．其中，能确定点D是线段的中点的个数共有  （   ）     A．1 B．2 C．3 D．4 23．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 24．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．随C的位置的变化而变化 ◆题型9 角相关概念 25．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，下列说法中，不正确的是（     ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．与是同一个角 26．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，直线分别交的两边于F、G两点．下列说法正确的是（    ） A．射线与射线是同一条射线 B．射线比射线长 C．比度数大 D．与表示的是同一个角 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， ◆题型10 角度的四则运算 28．（25-26七年级·全国·暑假作业）（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 29．（25-26七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 30．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）计算： (1)． (2)． ◆题型11 尺规作角 31．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 32．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 33．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知，点在边上，利用尺规作图法在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） ◆题型12 三角板中的角度计算 34．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 36．（25-26六年级下·山东泰安·期中）综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． ◆题型13 几何图形中角度计算 37．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 38．（25-26七年级上·全国·期末）已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 39．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． ◆题型14 角平分线中角度计算 40．（25-26七年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 41．（25-26六年级下·山东威海·期中）综合与实践． (1)【特例感知】如图①，线段，C，D分别是的中点，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． （i）若，求的度数． （ii）请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 42．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图①，已知点C、D是线段上两点，D是的中点，若，． (1)求线段的长； (2)如图②，若M，N分别为，的中点，求线段的长； (3)类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线，分别为和的平分线，，，求的大小． ◆题型15 求余角、补角 43．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，O是直线上的一点，平分，，有以下结论：①与互余；②；③；④若，则．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 44．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 45．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◆题型16 平面图形的旋转现象 46．（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片 47．（2026·江苏盐城·二模）如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 48．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． ◆题型17 根据旋转的性质求解 49．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 51．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（    ） A． B． C． D． ◆题型1 几何体中的点、棱、面关系——欧拉公式 52．（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 53．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 54．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． ◆题型2 线段的和与差计算 55．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 56．（25-26六年级下·全国·单元复习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 57．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． ◆题型3 线段中点的有关计算综合 58．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 59．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 60．（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． ◆题型4 线段之间的数量关系综合 61．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点在线段上，，点，在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动． (1)如图所示，当点为的中点时，求的长． (2)点（异于，，三点）在线段上，，，求的长． 62．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任意一点，且满足，其他条件不变，请写出线段的长，并说明理由． 63．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． ◆题型5 三角板中的角度计算压轴 64．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 65．（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 66．（25-26七年级上·河南南阳·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． ◆题型6 几何图形中角度计算压轴 67．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 68．（25-26七年级上·北京·期末）设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 69．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． ◆题型7 角平分线有关计算压轴 70．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 71．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，，且，． (1)如图1，已知． ①若平分，与互为余角，求的度数； ②若，分别作和平分线，求的度数； (2)如图2，若，在平面内绕点旋转，分别作和平分线，则的度数为 ．（直接写出结果） 72．（25-26七年级上·福建福州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） ◆题型8 角度之间的关系综合 73．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 74．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，某校某数学兴趣小组将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是______，的度数是_____，的度数是_____． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当三角板与三角板没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【深入研究】 （3）将三角板绕点C转动，使所在直线平分，求的度数． 75．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角） 【初步感知】 （1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______． 【深入探究】 （2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小． 1．（2026·河北唐山·二模）如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 2．（2026·河北邢台·二模）图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 3．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（　　） A． B．或 C． D．或 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）在一次数学实践课上，嘉琪将一张长方形纸片按如图方式折叠，点落在上，并由此得出了如下结论： ①，②与互补， ③与互余， ④与互补．其中正确的是 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 7．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则___________． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段，点在直线上，直线上共有三条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是______． 10．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为______． 11．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 12．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时． ①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．” 选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 13．（25-26七年级下·甘肃庆阳·阶段检测）如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）问题情境： 已知：图一平分， 若求的度数． 实践探究： 泽泽根据问题补全了图形（如图二）以下是他的解答过程： 解：平分 ____________________． 又 __________＝__________． 颖颖说：“我觉得这个题有两种情况，泽泽考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”． （1）请你将泽泽的解答过程补充完整； （2）根据颖颖的想法，请你在图三中画出另一种情况对应的图形，此时的度数为__________； 拓展应用： （3）如图四，若平分，求的度数． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 几何图形的初步认识全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 生活中常见的几何体 题型2 几何体中的点、棱、面 题型3 线段、射线、直线相关问题 题型4 画出直线、射线、线段 题型5 线段长短的比较 题型6 线段的和与差计算 题型7 线段中点的计算 题型8 线段之间的数量关系 题型9 角相关概念 题型10 角度的四则运算 题型11 尺规作角 题型12 三角板中的角度计算 题型13 几何图形中角度计算 题型14 角平分线中角度计算 题型15 求余角、补角 题型16 平面图形的旋转现象 题型17 根据旋转的性质求解 核心提升：重难题型归纳 题型1 几何体中的点、棱、面关系——欧拉公式 题型2 线段的和与差计算 题型3 线段中点的有关计算综合 题型4 线段之间的数量关系综合 题型5 三角板中的角度计算压轴 题型6 几何图形中角度计算压轴 题型7 角平分线有关计算压轴 题型8 角度之间的关系综合 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 生活中常见的几何体 1．（25-26七年级上·广西防城港·期末）有下列图形：①线段，②棱柱，③圆锥，④圆柱，⑤圆，⑥三角形，⑦球，其中属于立体图形的是____________．（填序号） 【答案】②③④⑦ 【分析】本题考查立体图形的识别．立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度，由此逐项判断即可． 【详解】解：①线段是平面图形； ②棱柱是多面体，属于立体图形； ③圆锥是旋转体，属于立体图形； ④圆柱是旋转体，属于立体图形； ⑤圆是平面图形； ⑥三角形是平面图形； ⑦球是曲面体，属于立体图形； 综上，属于立体图形的是②③④⑦． 故答案为：②③④⑦ ． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解． 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． ◆题型2 几何体中的点、棱、面 4．（25-26七年级上·广西百色·期末）一个几何体，其所有面都是形状、大小完全相同的三角形．则这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的特点，从不同角度看立体几何，根据立体图形的特点分析即可求解． 【详解】解：A、该立体图形中没有三角形，不符合题意； B、该立体图形的侧面是长方形（或正方形），不符合题意； C、该立体图形所有面都是形状、大小完全相同的三角形，符合题意； D、该立体图形是球，不符合题意； 故选：C ． 5．（25-26七年级上·四川巴中·期末）已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 【答案】12 【分析】本题考查几何体的点，线，面，根据棱柱的结构特征，总面数等于侧面数加2，由此求出底面边数，再应用棱柱的棱数公式求解即可． 【详解】解：设棱柱的底面边数为n，则总面数为．由题意，，解得． 棱柱的总棱数为． 故答案为：12 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． ◆题型3 线段、射线、直线相关问题 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 9．（25-26七年级上·全国·期末）平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】当四点在一条直线上时，可画1条，当任意三点不在同一条直线上时，可画出6条直线，据此得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：如图所示： 平面上有四个点最少画1条直线，最多画6条直线， ∴，， ∴． ◆题型4 画出直线、射线、线段 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【分析】（1）利用直尺即可作出图形； （2）利用直尺即可作出图形； （3）根据线段的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 11．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）作图题： 根据下列要求画图： (1)作直线； (2)画射线，连接； (3)在线段上取一点C，在射线上取一点D（点C、D不与点O，A，B重合），画直线，使直线与直线交于点E． 【答案】(1) 如图，直线即为所作； (2) 如图，射线，线段即为所作； (3) 如图所示，直线即为所作． 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点． （1）过点A、B作直线即可； （2）以点O为端点，作射线；连接，即可得到线段； （3）根据描述作出直线即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点A和直线，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作射线、线段． (2)比较大小： ，依据： ． (3)在射线上取一点D，使． 【答案】(1) 所作射线、线段，如图所示： (2)，两点之间线段最短 (3) 所取点D，如图所示： 【分析】本题考查直线，射线，线段作图，以及两点之间线段最短，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据射线和线段的定义作出图形，即可解题； （2）根据两点之间线段最短判断即可； （3）以为圆心，长为半径画弧，交在射线于一点，再此点为圆心，长为半径画弧，即可得到点D． 【详解】（1）略 （2）解：，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：，两点之间线段最短． （3）略 ◆题型5 线段长短的比较 13．（25-26七年级下·河南新乡·期中）O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 【答案】D 【分析】利用线段和的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴O点在直线外或O点在线段的延长线上或O点在线段的延长线上， 即O点不在线段上， 故D选项符合题意． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 15．（24-25六年级下·全国·单元测试）请完成以下问题： (1)如图①所示，在比较与这两条路径的长短时，写出你已学过的基本事实． (2)如图②所示，试判断与这两条路径的长短，并说明理由． 【答案】(1)两点之间，线段最短 (2) 解：比长，理由如下： 如图所示，延长交于点， 由两点之间，线段最短可知：， 故，① 同理可得：，② 由，并整理得． 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． （1）根据两点之间，线段最短即可得结论； （2）根据两点之间，线段最短即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型6 线段的和与差计算 16．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以求得线段的长，再根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据线段的和差求解． 【详解】解：由作图得：， ． 18．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． ◆题型7 线段中点的计算 19．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段的比例关系可分别求得线段的长，从而求得线段的长； （2）根据中点的性质可以求得线段的长，从而求得线段的长． 【详解】（1）解：， 设，，， ， ， ， ，，， ． （2）解：是的中点， ， ． 20．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：由图可知：①；②； （2）解：，C为的中点， ， ， . 21．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． ◆题型8 线段之间的数量关系 22．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件①；② ；③；④．其中，能确定点D是线段的中点的个数共有  （   ）     A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义，证明可得，进而可得答案． 【详解】解：①∵点D是线段上一点，， ∴点D是线段的中点． ② ∵C是线段的中点， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴，即点D是线段的中点； 故②正确； ③点是的中点，， ，无法确定与关系，故不能确定D为中点； ④点是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴，点D是线段的中点， 综上所述：能确定点D是线段的中点的有①②④，共3个． 23．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 24．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．随C的位置的变化而变化 【答案】A 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义，结合线段的和与差，进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，点M为线段的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． ◆题型9 角相关概念 25．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，下列说法中，不正确的是（     ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．与是同一个角 【答案】B 【详解】解：∵与顶点相同，两条边也相同， ∴与是同一个角，故A项正确，不符合题意． ∵顶点处有三个角， ∴不可以用来表示，故项错误，符合题意． ∵图中角分别为，，，共3个，故C项正确，不符合题意． ∵与顶点相同，两条边也相同， ∴与是同一个角，故D项正确，不符合题意． 26．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，直线分别交的两边于F、G两点．下列说法正确的是（    ） A．射线与射线是同一条射线 B．射线比射线长 C．比度数大 D．与表示的是同一个角 【答案】D 【分析】此题主要考查直线、射线、线段以及角的概念．根据直线、射线、线段以及角的概念即可依次判断． 【详解】解：A、射线与射线因为端点不一样，不是同一条射线，该选项不符合题意； B、射线不能比较大小，该选项不符合题意； C、不一定比度数大，该选项不符合题意； D、与表示的是同一个角，该选项符合题意； 故选：D． 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可判断． 【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意； B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意； C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意； D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意． ◆题型10 角度的四则运算 28．（25-26七年级·全国·暑假作业）（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 29．（25-26七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 30．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． ◆题型11 尺规作角 31．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 32．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：根据作图可知，， 所以． 33．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知，点在边上，利用尺规作图法在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图如图所示： 【分析】利用尺规作图作，根据同位角相等两直线平行，可知，再根据两直线平行，同位角相等可知． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 以点为圆心，同样长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，以为半径画弧，交前弧于点， 作射线交于点， 则有， ， ， 点即为所求． ◆题型12 三角板中的角度计算 34．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 35．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 36．（25-26六年级下·山东泰安·期中）综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ◆题型13 几何图形中角度计算 37．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 【答案】(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 38．（25-26七年级上·全国·期末）已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 【答案】(1)解：∵，平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2)结论成立． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据平角的定义求出，根据计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：结论成立．理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. ◆题型14 角平分线中角度计算 40．（25-26七年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 41．（25-26六年级下·山东威海·期中）综合与实践． (1)【特例感知】如图①，线段，C，D分别是的中点，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． （i）若，求的度数． （ii）请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)22 (2)（i）；（ii），理由见解析 【分析】（1）根据题意求出，再由中点的定义可得，即可求解； （2）（i）先求出，再由角平分线的定义可得；（ii）结合角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵C，D分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：(i) ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； (ii)猜想∶ 理由： 平分，平分， ， ， ， ． 42．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图①，已知点C、D是线段上两点，D是的中点，若，． (1)求线段的长； (2)如图②，若M，N分别为，的中点，求线段的长； (3)类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线，分别为和的平分线，，，求的大小． 【答案】(1)10 (2)6.5 (3) 【分析】（1）根据已知条件求出的长，因为D是的中点，所以，求出即可； （2）根据，分别为，的中点，求出，的长，再求出的长即可； （3）由射线，分别为和的平分线，可以得，，即可求出的大小． 【详解】（1）解：，， ． 是的中点， ． ． （2）解：由（1）知， ，分别为，的中点， ，． ． （3）解：，， ． 射线，分别为和的平分线， ，． ． ． ◆题型15 求余角、补角 43．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，O是直线上的一点，平分，，有以下结论：①与互余；②；③；④若，则．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据余角和补角的定义，角平分线的定义，角的计算，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解：， ， 与互余，故结论①正确； 设，则， ， 平分， ， ，故结论②错误； 由②知，设， ，， ， ， ，故结论③正确； ， ， 平分， ，故结论④正确， 综上所述，结论①③④正确． 44．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，进而可得的度数； （2）根据互余的定义，用含α的式子表示出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，进而找到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，且与互余， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴α与β之间的数量关系是． 45．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． ◆题型16 平面图形的旋转现象 46．（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【详解】解：A．国旗上升的过程是沿竖直方向的平移，不属于旋转，不符合题意； B．在笔直公路上行驶的汽车整体沿水平方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； C．传输带运输的物品沿传输方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； D．工作中的风力发电机叶片绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合题意． 47．（2026·江苏盐城·二模）如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】C 【详解】解：三兔共耳图案主要涉及的图形变换是旋转． 48．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． ◆题型17 根据旋转的性质求解 49．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转性质得到，再进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴． 50．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 【答案】58 【分析】利用旋转角等于对应边夹角，结合已知条件求解即可． 【详解】解：由旋转定义可知旋转角， ，， ， ． 51．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可知至少旋转了． ◆题型1 几何体中的点、棱、面关系——欧拉公式 52．（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】 （1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 ； （2）五； （3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 53．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1) 解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）略 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 54．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． ◆题型2 线段的和与差计算 55．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 56．（25-26六年级下·全国·单元复习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】4或24 【分析】根据题意，分情况求出的长度即可． 【详解】解：①如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为4或24． 57．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． ◆题型3 线段中点的有关计算综合 58．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 59．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】本题考查数轴中线段的动态问题．熟悉利用绝对值与平方的非负性、线段中点的性质进行计算，动点问题根据线段移动的距离结合线段的和差关系分析位置变化，利用分类讨论思想解决问题，是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到答案． （2）设直线为数轴，根据运动前后点、点和点、点的位置变化，确定线段长度的变化关系，根据运动后的长度，得到运动后的长度． （3）根据题意得到运动秒后和的长度，根据不同时间段分类讨论得到结果． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 60．（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)，18； (2)3， (3)当点C表示6时，，当点C表示12时，； (4)或 【分析】本题主要考查线段的加减，整式的加减，列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得出结论即可； （2）根据题意求得点的速度，再计算点相遇时间即可； （3）分情况，即点是靠近点的三等分点或点是靠近点的三等分点，再表示出的长即可； （3）分情况，即两点相遇之前或两点相遇之后，设，，则，表示出即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 故点A表示的数是，点B表示的数是18； （2）解：由题意可得点Q的速度为每秒个单位， ， 则当秒时P、Q两点停止运动； （3）解：根据题意知，点表示的数为，表示的数为， 设表示的数为， 是的中点， ， ， ， 点是的三等分点，， 点表示6或12， 当点表示6时，， 当点表示12时，， 即当点表示6时，， 当点表示12时，； （4）解：当点相遇之前，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 当点相遇之后，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 综上，线段与的数量关系为或． ◆题型4 线段之间的数量关系综合 61．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点在线段上，，点，在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动． (1)如图所示，当点为的中点时，求的长． (2)点（异于，，三点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查线段的和差运算，中点的计算，理解题意，结合图形分析求解是解题关键． （1）根据题意得出，.，确定，得出，即可求解； （2）分两种情况分析：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，， ，. 点为的中点， ， ， ； （2）解：如图①所示， 当点在点的右侧时， ，，， ， . 当点在点的左侧时，如图②所示， ，， ， ， . 综上所述，的长为或． 62．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任意一点，且满足，其他条件不变，请写出线段的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段之间的数量关系． （1）设，，由题意得，，，，根据题意求得，，据此求解即可； （2）同（1）理，求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，，， ∵， ∴， 解得， ∵． 63．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）略 （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． ◆题型5 三角板中的角度计算压轴 64．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2) 如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）略 （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 65．（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 66．（25-26七年级上·河南南阳·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． 【答案】(1)； (2)、或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义及旋转的性质，熟练掌握分类讨论思想和角的运算规则是解题的关键． （1）先根据和求出，再用减去得到． （2）分三种情况讨论平分的角，当平分时；当平分时；当平分时；分别利用角平分线的定义求出，再计算旋转角． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：情况1：平分： ，， ， ∴， ， ∴， ， ； 情况2：平分： 平分，， ∴， ； 情况3：平分： ，， ∴， ∴, ； 综上，旋转角的度数为、或． ◆题型6 几何图形中角度计算压轴 67．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 68．（25-26七年级上·北京·期末）设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)120 (2)或 (3)的值为或或 【分析】（1）由角平分线得，代入“半余角”两种情况，均解得，故； （2）代入验证“半余角”，仅有解，再分在内、外，得或； （3）设，，由平分，平分，得，，分当点D在直线上面，时，，当点D在直线上面，时，，当点D在直线下面，时，，当点D在直线下面，时，，根据与互为“半余角”，有当时，当时，解答． 【详解】（1）解：已知平分， ∴，且 根据“半余角”定义，有两种情况： 当， 代入， 得， 解得， 则； 当， 代入， 得， 解得， 则 （2）解：已知，， 分两种“半余角”情况讨论： 当时： 则， 解得，舍去； 当时： 则， 解得． 再根据的位置分两种子情况： 若在内部， 则； 若在外部， 则． ∴综上的度数为或． （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，， 当点D在直线上面，时，， 由， 得， ∴， ∴， ∵与互为“半余角”， ∴当时， 则， 解得， 则； 当时， ∴， 解得， ∴； 当点D在直线上面，时，， , 当时， 则， 结合， 解得， 则，舍去． 当时， ∴， 解得， ∴，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则， 当时， ∴， 解得，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则，舍去， 当时， ∴， 解得，舍去； 综上：的值为：或或． 69．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ② 略 【点睛】平面内共顶点的角，若，则． ◆题型7 角平分线有关计算压轴 70．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 /90度 /10度 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 71．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，，且，． (1)如图1，已知． ①若平分，与互为余角，求的度数； ②若，分别作和平分线，求的度数； (2)如图2，若，在平面内绕点旋转，分别作和平分线，则的度数为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了与角平分线、角的和差倍分有关计算，掌握角平分线定义与角的和差是解题的关键． (1) ①由角平分线定义得，再通过与互为余角得到即可求解； ②根据题意可得，再由角平分线的性质得，结合即可求解； （2）分两种情况，①通过角平分线用含的代数式表示，再通过即可求解；②求出，再根据角平分线的性质，结合即可求解． 【详解】（1）解：①平分，与互为余角， ． ， ， ， ． ②如图， ， ， 分别平分和， ， ， ； （2）解：①如图， 分别是和的平分线， ， ， ； ②如图， ， ， 分别是和的平分线， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 72．（25-26七年级上·福建福州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）①根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； ②根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； （2）①根据角平分线定义得到，进而推出，再结合①中条件求解，即可解题； ②由①同理可知，，推出，再根据求解，即可解题； （3）根据角之间的数量关系得到，进而推出，再结合，求解，即可解题． 【详解】解：（1）①，，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； 故答案为：． ②不变， ，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； （2）①射线和射线分别平分和， ， 则 ， ，， ， ， 故答案为：； ②由①同理可知，， ，， ， 解得， ， ． （3），， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和与差，线段中点的定义，角平分线定义，角的和差，解题的关键在于灵活运用相关知识． ◆题型8 角度之间的关系综合 73．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2) ， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； (3) ， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）略 （4）， 理由：∵， ， ， ． 74．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，某校某数学兴趣小组将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是______，的度数是_____，的度数是_____． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当三角板与三角板没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【深入研究】 （3）将三角板绕点C转动，使所在直线平分，求的度数． 【答案】（1）①； ②，； （2）成立，理由：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴上述②中发现的结论依然成立． （3）或 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）①先计算出，再根据即可求解；②由，得；即可； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）分三角板与三角板有重合部分和三角板与三角板没有重合部分讨论即可得解． 【详解】（1）解：①∵，且， ∴， ， ， 故答案为：，，； ②，； 理由：∵， ∴， ∴； ， 故，； （2）略 （3）解：①当三角板与三角板有重合部分（如图3）， ∵，平分． ∴． ∴． ②当三角板与三角板没有重合部分（如图4），的延长线平分时， 则． ∵， ∴． ∴． 故的度数为或． 75．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角） 【初步感知】 （1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______． 【深入探究】 （2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小． 【答案】（1）； （2），理由如下： 设， ， 平分，平分， ； （3） 【分析】本题考查的是角的和差计算及角平分线的有关计算， （1）先求出，，进而求出结论； （2）设，则，求出即可求出结论； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部时，分别表示出，并列方程即可求解； 【详解】解：（1），， ， ， ， 平分，平分， ； （2）解；略； （3）当在内部时，设，则， 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意，舍去） 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意舍去）； 当在外部且在射线右侧时，设，则， 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意舍去） 当在外部且在射线左侧时，设，则， 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意舍去） 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 则此时 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不符合题意，舍去）， 综上所述，． 1．（2026·河北唐山·二模）如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 2．（2026·河北邢台·二模）图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 3．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查线段中点的定义与两点间距离的计算，点在直线上，需要分两种情况讨论点的位置，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，结合线段中点的性质计算即可． 【详解】解：是的中点，是的中点， 如图，当点在线段上时，， ， 当点在线段的延长线上时，， ， 综上所述，线段的长度是． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）在一次数学实践课上，嘉琪将一张长方形纸片按如图方式折叠，点落在上，并由此得出了如下结论： ①，②与互补， ③与互余， ④与互补．其中正确的是 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平角的定义、余角和补角的判定，关键是利用折叠的性质得到相等的角、，再结合平角推导各角之间的数量关系，逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， 即， ∴，即，故①正确； ∵， ∴与互为余角，而非补角，故②错误； ∵，且， ∴，即与互余，故③正确； ∵， ∴，即与互补，故④正确； 综上，①③④这3个结论正确， 故选：C． 5．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 6．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角板中的角度计算问题．根据图中角的和差关系得求解即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示， 此时，， ∵平分， ∴； ②如图所示， 此时，， ∵平分， ∴； 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 【答案】互余 【分析】由题意可知，，，再求出可得与互余． 【详解】由题意可知：，，， ∴， ∴，即与互余． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段，点在直线上，直线上共有三条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键．根据“奇妙点”的定义即可求解． 【详解】解：由题意，线段的2个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段的延长线和反向延长线也分别有3个“奇妙点”． ∴线段的“奇妙点”的个数是9个． 故答案为：9． 10．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及新定义，分情况计算的长度，先用线段中点的性质求出的长度，再结合的长度求出，最后根据新定义的性质求解即可． 【详解】解：如图1， 点为线段的中点，， ， ， ， 点是折线的“折中点”， ， ； 如图2， 点为线段的中点，， ， ， ， 点是折线的“折中点”， ， ； 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 12．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时． ①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．” 选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)①； ②选择嘉嘉，∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定平分． 选择淇淇，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴． (2)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键． （1）①根据垂直，得到，根据对顶角，则，根据，即可；②选择嘉嘉：根据角平分线，则，根据垂直的定义，则，，等量代换，得到角的等量关系，进行解答，选择淇淇：根据垂直，则，根据，等量代换，即可； （2）当点，在的同侧时，根据垂直，得到，根据，；当点，在的异侧时，，进行解答，即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②略 （2）解：当点，在的同侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴； 当点，在的异侧时， ． 13．（25-26七年级下·甘肃庆阳·阶段检测）如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 【答案】(1) (2)当时，平分； (3)或 【分析】（1）先求出，，再由平角的定义即可得解； （2）由旋转的性质可得，再由角的数量关系即可求解； （3）分为旋转角小于和大于两种情况，根据平行线的性质和角的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：三角板中，， ，， ； （2）解：以点O为旋转中心旋转到的位置， ， ，平分， ， ， ， ， 当时，平分； （3）解：如图，当旋转角小于时， ， ； 如图，当旋转角大于时， ， ， 旋转角为， 综上所述，旋转角为或． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）问题情境： 已知：图一平分， 若求的度数． 实践探究： 泽泽根据问题补全了图形（如图二）以下是他的解答过程： 解：平分 ____________________． 又 __________＝__________． 颖颖说：“我觉得这个题有两种情况，泽泽考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”． （1）请你将泽泽的解答过程补充完整； （2）根据颖颖的想法，请你在图三中画出另一种情况对应的图形，此时的度数为__________； 拓展应用： （3）如图四，若平分，求的度数． 【答案】（1）（2） （3）的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，解题的关键是根据射线、的位置进行分类讨论，避免漏解； （1）根据角平分线定义求出，再利用角的和差计算； （2）画出在内部的图形，再利用角的差计算； （3）需考虑在内部和外部两种情况，分别计算的度数． 【详解】（1）解：∵ 平分，， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 故答案为：． （2）解：当在内部时，图形如下     此时，∵ 平分， ∴ 又∵ ∴ ． 故答案为：． （3）解：① 当在内部时， ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∵ 平分， ∴ ， ∴ ． ② 当在外部时， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ 平分， ∴ ． ∴ ． 答：的度数为或． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)①16，8；②14； (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据线段的和差关系求解即可；②先求得，再由点是的中点，可得，可得，最后由可得结果； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，当点在点左侧时；当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， 故答案为：16，8； ②，， ， 点是的中点， ， ， ； （2）分两种情况： 如图所示，当点在点右侧时， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如图所示，当点在点左侧时， 由条件可知，， ， 综上所述，的长为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $