专题01 动点与角度计算12大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 以动点运动与角度变换为核心，通过12类分层题型构建从单点运动到多结论综合的完整训练体系，突出动态几何问题的逻辑推理与模型构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|12类题型48道例题|涵盖单动点、多动点、中点关联、定值探究等动态问题，融合三角板操作、实际应用等情境|从基础运动轨迹分析到复杂图形变换，形成"概念理解-性质应用-综合迁移"的递进逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|12道综合题|多结论判断、运动过程分类讨论、跨知识模块整合|通过变式训练深化数形结合思想，强化动态问题中的不变量分析与临界状态判断能力|

专题01 动点与角度计算 常考题型·精准突破 考点一 动点与角度计算 题型01 单动点运动问题 题型02 多动点运动问题 题型03 与中点有关的运动问题 题型04 动点中的定值问题 题型05 三角板中的角度计算问题 题型06 几何图形中的角度计算问题 题型07 实际问题中角度计算问题 题型08 角平分线的有关计算问题 题型09 动角计算问题 题型10 角度计算综合 题型11 动点中的多结论问题 题型12 角度中的多结论问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 动点与角度计算 ◆题型01 单动点运动问题 1．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 2．已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)当时，求的长； (2)当时，求的长． 3．如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    4．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． ◆题型02 多动点运动问题 5．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 6．线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 7．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 8．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． ◆题型03 与中点有关的运动问题 9．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 10．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”，已知点是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若， ，点在线段_________（填“”或“”）上； ②若， 且，，则的长度为____________． (2)若为线段的中点，， ，求的长度． 11．已知点在射线上，点C为线段的中点，． (1)当点C在线段上，时． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，求线段的长． (2)当点D在线段的延长线上时，若，请直接写出线段的长（用含a的代数式表示）． 12．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、、）在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则______． ◆题型04 动点中的定值问题 13．已知线段，，线段在直线上运动(点A 在点 B 的左侧，点C在点D的左侧)，且． (1)求线段，的长； (2)若点 M，N 分别为线段，的中点，，求线段的长； (3)当运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P是线段延长线上任意一点，有下列两个结论：① 是定值， ②是定值，请选出正确的结论并求出该定值． 14．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 15．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，其中，是代数式的二次项系数．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． (1)此时刻________，________； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距16个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的乘客——天桥少年，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为天桥少年发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 16．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 题型05 三角板中的角度计算问题 17．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 18．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 19．综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 20．如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 题型06 几何图形中的角度计算问题 21．如图，已知，平分，在的下方，且． (1)判断与互余吗？试说明理由． (2)判断与互补吗？试说明理由． 22．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 23．已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 24．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 题型07 实际问题中角度计算问题 25．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 26．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 27．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 28．如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 题型08 角平分线的有关计算问题 29．如图，直线相交于点平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 30．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，将一直角顶点放在点O处，即，反向延长射线，得到射线． (1)当的位置如图（1）时，使，若，求的度数； (2)当的位置如图（2）时，使一边在的内部，且恰好平分，问：射线的反向延长线是否平分?请说明理由． 31．完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 32．解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 题型09 动角计算问题 33．【阅读材料】 我们知道，“角”是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线在单位时间内以固定的角度绕其端点沿某一方向旋转，经过不同的旋转时间都会形成不同的角． 在行程问题中，我们知道：运动路程＝运动速度×运动时间； 类似的，在旋转问题中，我们规定：旋转角度＝旋转角速度×旋转时间． 例如（如图），射线OM从射线OA出发，以每秒10°的旋转速度（称为“旋转角速度”）绕点逆时针旋转．旋转1秒得旋转角度∠MOA＝10°×1＝10°，旋转2秒得旋转角度∠MOA＝10°×2＝20°，……，旋转t秒得旋转角度∠MOA＝10°×t＝（10t）°． 【问题解决】 如图1，射线OA上有两点M、N．将射线OM以每秒10°的旋转角速度绕点O逆时针旋转（OM最多旋转9秒）；射线OM旋转3秒后，射线ON开始以每秒20°的旋转角速度绕点O逆时针旋转，如图2所示．设射线ON旋转时间为t秒． (1)当t＝2时，∠MON＝_____°； (2)当∠MON＝20°时，求t的值； (3)如图3，OM、ON总是在某个角∠AOB的内部旋转，且当ON为∠AOB的三等分线时，OM恰好平分∠AOB，求∠AOB的度数． 34．已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 35．如图所示，，，是以直线M上一点为端点的三条射线，且，，，射线从处开始出发，绕点O 逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度；射线从处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线旋转至与射线重合时，、同时停止运动），旋转时间为t秒． (1)当 秒，射线平分； (2)若射线的旋转速度为每秒4度时，请求出当时，射线旋转的时间． 36．【阅读材料】： 如图1，将线段放在直线上，然后将线段绕点O按如下方式旋转：第1步，从（在上）开始先顺时针旋转锐角至；第2步，从开始继续同向旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．当转到位置时弹回，逆时针向位置旋转；当转到位置时再弹回，继续向位置旋转，…如此反复．    例如：当时， 的位置如图2所示，其中第4步旋转到后弹回，即． 【解决问题】： (1)当时，的位置如图3所示． ① ， ； ②求出的度数． (2)当时, 且，则的值为 ； (3)若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示） 题型10 角度计算综合 37．特例感知： （1）如图1，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段_________； ②若，则线段_________； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，_________； 拓展探究： （3）如图3，已知在内部，，，且，，求（用含的式子表示）． 综合提升： （4）如图4，若，，射线、分别在和内部，且，，_________．（直接写出答案） 38．【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 39．如图①，点O是直线上的一点，，平分． (1)若，则______°，　　　°； (2)将图①中的绕点O旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； (3)将图①中的绕点O旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 40．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 题型11 动点中的多结论问题 41．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，已知A，B（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为4，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确个数是（    ） ①时，点运动到点；②时，；③在点的运动过程中，线段的长度不变． A．0 B．1 C．2 D．3 43．已知线段，C，D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若，且，则；④若D是的中点，，则．其中正确的为_________（填序号） 44．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是___________． 题型12 角度中的多结论问题 45．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的说法有（   ） ①与互余    ② ③与互补    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论： ①；②； ③；④； 其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．如图，射线平分，射线平分，射线在内部，下列四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是___________（填写序号）． 48．如图，为直线上一点， 为直角， 平分， 平分， 平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②； ③与∠互补； ④． 下列结论中错误的有_______个． 综合攻坚·知能拔高 49．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 50．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 51．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 52．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 53．【问题情境】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点A在点B的左侧），点C和点D分别是的中点．则________； 【类比迁移】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．请求出的度数． 【归纳总结】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．用含和的代数式表示的度数为________． 54． (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 55．已知线段，点M是的中点． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若点为的中点，且满足，试说明：点是线段的中点． 56．【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺中，，；在三角尺中，，，；已知两个三角尺有一个顶点A重合． （1）【初步感知】如图1，若与重合，，分别是，的平分线，则的度数为________；的度数为________． （2）【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，，分别是，的平分线，若，求的度数． 57．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 58．探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 59．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 60．综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 动点与角度计算 常考题型·精准突破 考点一 动点与角度计算 题型01 单动点运动问题 题型02 多动点运动问题 题型03 与中点有关的运动问题 题型04 动点中的定值问题 题型05 三角板中的角度计算问题 题型06 几何图形中的角度计算问题 题型07 实际问题中角度计算问题 题型08 角平分线的有关计算问题 题型09 动角计算问题 题型10 角度计算综合 题型11 动点中的多结论问题 题型12 角度中的多结论问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 动点与角度计算 ◆题型01 单动点运动问题 1．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 2．已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)当时，求的长； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分根据线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再根据相等中点的定义求出的长即可； （2）分点P在线段上、点P在线段外，两种情况根据线段中点的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； （2）解：当点在线段上时，如图①所示， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段之外，如图②所示， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查线段的计算，解题的关键是分类讨论点P的位置，根据线段之间的等量关系，进行计算． 3．如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    【答案】是定值，5 【分析】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：是定值．理由：设，则， 所以，所以． 因为点M为线段的中点． 所以， 所以， 所以． 4．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【答案】(1)12 (2)情境①：如图，    6； 情境②：的长度不变．理由： ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ∴， ∴的长度不变； (3)6 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； 情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； （3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可． 【详解】（1）． 故答案为：12； （2）情境①：∵点P为线段的中点， ∴． ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：6； 情境②：略 （3）∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ◆题型02 多动点运动问题 5．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 6．线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 【答案】(1) (2)线段的长度不会发生变化， 【分析】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． （1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴； （2）解：线段的长度不会发生变化，， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    8．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． ◆题型03 与中点有关的运动问题 9．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：点在点左侧或点在点右侧，作出图形，数形结合，由相关线段的和差倍分关系求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： 当点在点左侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 当点在点右侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 综上所述，的长为或． 10．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”，已知点是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若， ，点在线段_________（填“”或“”）上； ②若， 且，，则的长度为____________． (2)若为线段的中点，， ，求的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义： （1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②根据题意可得当点D在上，根据“折中点”的定义进行求解即可； （2）先根据线段中点的定义得到的长，再分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，点D是图中折线的“折中点”， ∴点D在线段上， 故答案为：； ②如图所示，∵ ∴当点D在上， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为； （2）解：E为线段中点，， ∴． ①点D在线段上时，如图所示， ∵， ∴． ∵D为折中点， ∴． ∴； ②点D在线段上时，如图所示， ∴， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度是4或28． 11．已知点在射线上，点C为线段的中点，． (1)当点C在线段上，时． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，求线段的长． (2)当点D在线段的延长线上时，若，请直接写出线段的长（用含a的代数式表示）． 【答案】(1) ①证明：∵，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， ∴； ② (2)或 【分析】本题考查了线段中点有关计算，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）①先求出，再根据中点得到，最后根据得到； ②先求出，再根据中点得到，最后根据得到； （2）根据点在线段上或线段延长线上分情况讨论，先求出，再根据中点得到，最后根据得到即可． 【详解】（1）解：①略 ②∵，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：当在线段上时，如图2， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴． 当在线段延长线上时，如图， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 12．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、、）在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则______． 【答案】(1)；或 (2)或 【分析】（1）由，可得，，由为中点可得的长，然后利用线段的和与差即可求出的长；分两种情况：）当点在点的右侧时，）当点在点的左侧时，由可得，然后分别利用线段的和与差及已知条件即可求出的长； （2）按照线段在直线上从左向右移动，分种情况讨论：当点在点的左侧时；当点在点的左侧、点在点的右侧时；当点在点的右侧、点在点的左侧时；当点在、之间时；当点在点的左侧、点在点的右侧时；当点在、之间时；当点在点的右侧时；设，则，，，设，分别按照各自情况下线段的和差关系及已知条件求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； 分两种情况： i）当点在点的右侧时， 如图， ， ， ， ， ； 当点在点的左侧时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得：（舍去） ）当点在点的左侧时， 如图， ， ， ， ， ； 当点在点的右侧时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得：，此时，（不合题意舍去） 综上所述，的长为或； （2）解：按照线段在直线上从左向右移动，分种情况讨论： 当点在点的左侧时， 如图， 设，则，， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧、点在点的右侧时， 此种情况无解； 当点在点的右侧、点在点的左侧时， 如图， 设，则，， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ，， ， 故不合题意，舍去； 当点在、之间时， 如图， 设，则，， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧、点在点的右侧时， 此种情况无解； 当点在、之间时， 此种情况无解； 当点在点的右侧时， 此种情况无解； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，线段中点的有关计算，线段的和与差，列代数式等知识点，熟练掌握线段和差关系的计算并运用分类讨论思想是解题的关键． ◆题型04 动点中的定值问题 13．已知线段，，线段在直线上运动(点A 在点 B 的左侧，点C在点D的左侧)，且． (1)求线段，的长； (2)若点 M，N 分别为线段，的中点，，求线段的长； (3)当运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P是线段延长线上任意一点，有下列两个结论：① 是定值， ②是定值，请选出正确的结论并求出该定值． 【答案】(1)，． (2)9 (3)②正确，2 【分析】本题考查了非负数的性质、线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由非负数的性质求出，，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点C在点B 的右侧时，②当点C在点B 的左侧时，分别计算即可得出结果； （3）由题意可得，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 即，． （2）解：①当点C在点B 的右侧时，如图1所示． ∵M，N分别为线段，的中点，， ∴，， ∵， ∴． ②当点C在点B 的左侧时，如图2 所示． ∵M，N分别为线段，的中点，， ∴ ∵， ∴； 综上所述，线段的长为9； （3）解：②正确，且， ∵点 D与点B 重合， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2) 证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）略 15．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，其中，是代数式的二次项系数．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． (1)此时刻________，________； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距16个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的乘客——天桥少年，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为天桥少年发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1秒或5秒 (3)正确，时间是秒，定值是6单位长度 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，知道数轴上任意两点的距离等于右边的数减去左边的数的差， （1）根据多项式定义及绝对值的意义得出，即可得到答案； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：快车头A在数轴上表示的数是，且点A在原点左侧，，是代数式的二次项系数， ，， 故答案为：，； （2）解： （秒）， 或（秒）， 答：再行驶1秒或5秒两列火车行驶到车头相距16个单位长度； （3）解：这个结论正确， 当在之间时，是定值4， （秒）， ∵， ∴此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是6单位长度． 16．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）略 题型05 三角板中的角度计算问题 17．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 18．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 19．综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；；②；； (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、． 【分析】（1）①利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解；②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①由图可得，，； ②， ， ， ； （2）略 20．如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：略． 题型06 几何图形中的角度计算问题 21．如图，已知，平分，在的下方，且． (1)判断与互余吗？试说明理由． (2)判断与互补吗？试说明理由． 【答案】(1)与不互余，理由如下： 如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不互余． (2)与互补，理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴与互补． 【分析】（1）根据条件平分，，结合角平分线性质求出的度数，再根据，即可求出，进而可求出，即可得与不互余． （2）根据（1）得的度数，再结合，即可计算出的度数，进而可判断与互补． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)平分 理由：， ． ， 平分． 【详解】（1）解：， ； 是的角平分线， ． ， ； （2）略 23．已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 【答案】(1)解：∵，平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2)结论成立． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据平角的定义求出，根据计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：结论成立．理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 24．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 题型07 实际问题中角度计算问题 25．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 26．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 27．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 28．如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为秒 (3)存在，t的值为15秒或秒 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据平分，得到，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）分及两种情况考虑，当时，利用，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，利用，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）当时，． （2）平分， 解得：（或者11.25） 答：当恰好平分时，t的值为秒． （3）当，重合时， 解得： 当时： 解得： 当时， 解得：（或者22.5） 答：在旋转过程中存在这样的t，使得，t的值为15秒或秒． 题型08 角平分线的有关计算问题 29．如图，直线相交于点平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平角的定义进行求解即可； （2）根据平角的定义和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， ， 平分， ． 30．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，将一直角顶点放在点O处，即，反向延长射线，得到射线． (1)当的位置如图（1）时，使，若，求的度数； (2)当的位置如图（2）时，使一边在的内部，且恰好平分，问：射线的反向延长线是否平分?请说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】（1）由即可得到答案； （2）由平角定义及角平分线的定义求得，，证得，结论得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：平分， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 31．完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)； ． 理由如下： 射线和射线分别平分和， ， ． 【分析】（1）欲求，需求，已知，需求，由中点的性质可知，， 已知，从而求解即可，由即可得解； （2）欲求，需求，已知，需求，由角平分线的性质可知，， 即可得解；与同理可证． 【详解】（1）解：∵，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， ； （2）解：射线和射线分别平分和： ，， ， ， ， ②略 32．解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； (2)①； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①∵， ∴； ②略． ③略． 题型09 动角计算问题 33．【阅读材料】 我们知道，“角”是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线在单位时间内以固定的角度绕其端点沿某一方向旋转，经过不同的旋转时间都会形成不同的角． 在行程问题中，我们知道：运动路程＝运动速度×运动时间； 类似的，在旋转问题中，我们规定：旋转角度＝旋转角速度×旋转时间． 例如（如图），射线OM从射线OA出发，以每秒10°的旋转速度（称为“旋转角速度”）绕点逆时针旋转．旋转1秒得旋转角度∠MOA＝10°×1＝10°，旋转2秒得旋转角度∠MOA＝10°×2＝20°，……，旋转t秒得旋转角度∠MOA＝10°×t＝（10t）°． 【问题解决】 如图1，射线OA上有两点M、N．将射线OM以每秒10°的旋转角速度绕点O逆时针旋转（OM最多旋转9秒）；射线OM旋转3秒后，射线ON开始以每秒20°的旋转角速度绕点O逆时针旋转，如图2所示．设射线ON旋转时间为t秒． (1)当t＝2时，∠MON＝_____°； (2)当∠MON＝20°时，求t的值； (3)如图3，OM、ON总是在某个角∠AOB的内部旋转，且当ON为∠AOB的三等分线时，OM恰好平分∠AOB，求∠AOB的度数． 【答案】(1)10； (2)1或5； (3)90°或180° 【分析】（1）求出当t＝2时，∠MOA的度数，∠NOA的度数，作差即可求出∠MON的度数； （2）当OM与ON重合前，得到10（t+3）-20=20t；当OM与ON重合后，得到10（t+3）+20=20t，求解即可； （3）①如图，当OM与ON重合前，设∠AON=x，则∠AOB=3x，∠AOM=1.5x，由∠AOM=1.5∠AON，列得，求出t得到答案；②如图，当OM与ON重合后，设∠BON=a，则∠AOB=3a，∠AOM=1.5a，∠AON=2a，由此得到∠AOM=∠AON，列方程解得t的值，求出，即可求出∠AOB的度数． 【详解】（1）解：当t＝2时，∠MOA＝10°×（2+3）＝50°，∠NOA＝20°×2＝40°， ∴∠MON＝∠MOA-∠AON＝10°， 故答案为：10； （2）当OM与ON重合前，10（t+3）-20=20t，解得t=1； 当OM与ON重合后，20+10（t+3）=20t，解得t=5， 故t的值为1或5； （3）解：①如图，当OM与ON重合前，设∠AON=x，则∠AOB=3x，∠AOM=1.5x， ∴∠AOM=1.5∠AON， ∴， 解得t=1.5， ∴， ∴； ②如图，当OM与ON重合后，设∠BON=a，则∠AOB=3a，∠AOM=1.5a，∠AON=2a， ∴∠AOM=∠AON， ∴， 解得t=6， ∴=2a， ∴， ∴∠AOB=3a=180°； ∴∠AOB的度数为90°或180°． 【点睛】此题考查几何图形中角度的旋转，一元一次方程的应用，由题意画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 34．已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ； （2）解：∵从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒， ∵ 与第一次重合的时间为：； ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：； （3）解：旋转时，，， ， ， ． ． 35．如图所示，，，是以直线M上一点为端点的三条射线，且，，，射线从处开始出发，绕点O 逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度；射线从处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线旋转至与射线重合时，、同时停止运动），旋转时间为t秒． (1)当 秒，射线平分； (2)若射线的旋转速度为每秒4度时，请求出当时，射线旋转的时间． 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】（1）根据射线平分，求出的度数，进而求出的度数，再根据射线从处开始出发，绕点O 逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度，进行求解即可； （2）分点在下方和上方两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵射线平分， ∴， ∴， ∴秒； 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴； ∵射线从处开始出发，绕点O时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度，射线的旋转速度为每秒4度， ∴，， ①当点在下方时：如图， 由题意，得：， 解得：； ②当点在上方时：如图， 由题意，得：， 解得：； ∵停止运动时间， ∴以上两种情况均符合题意； 综上：当时，射线旋转的时间为：秒或秒． 【点睛】本题考查角度的计算．分类讨论，画出图形，理清角的和差关系，是解题的关键． 36．【阅读材料】： 如图1，将线段放在直线上，然后将线段绕点O按如下方式旋转：第1步，从（在上）开始先顺时针旋转锐角至；第2步，从开始继续同向旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．当转到位置时弹回，逆时针向位置旋转；当转到位置时再弹回，继续向位置旋转，…如此反复．    例如：当时， 的位置如图2所示，其中第4步旋转到后弹回，即． 【解决问题】： (1)当时，的位置如图3所示． ① ， ； ②求出的度数． (2)当时, 且，则的值为 ； (3)若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示） 【答案】(1)①；；② (2)；； (3) 【分析】（1）①当时，利用，即可得到答案， ②先求出，即可得到， （2）分三种情况讨论即可得到答案； （3）根据在整个旋转过程中，是第一次经过弹回后而得到的位置，分情况讨论即可得到的范围． 【详解】（1）解：①当时，，， 故答案为：；； ②∵， ∴， 故答案为： （2）①当都不从弹回时， 则， ∴，     ②当在右边时， 则， 解得 ③当在左边时， 则， 解得 综上可知，的值为或或， 故答案为：；； （3）当在或的右边时， 则， 解得， 当在与 之间时， 则， 解得， 当在或者与之间时， 则， 解得， 当在或或与之间时， 则， 解得， 若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是， 故答案为： 【点睛】此题考查了角度的计算，理解题意正确列式是解题的关键． 题型10 角度计算综合 37．特例感知： （1）如图1，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段_________； ②若，则线段_________； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，_________； 拓展探究： （3）如图3，已知在内部，，，且，，求（用含的式子表示）． 综合提升： （4）如图4，若，，射线、分别在和内部，且，，_________．（直接写出答案） 【答案】（1）①7；②7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）①已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； ②同①法求解即可； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； ②，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 38．【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， （1）先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据得出答案； （2）①，先表示出，再根据角平分线定义得，即可得出； ②由已知得，结合角平分线定义得，然后根据得出答案； ③先表示出，再根据角平分线定义得，然后根据得出答案 【详解】（1）解：， ． ∵分别平分和， ， ； （2）解：①若，其他条件不变， ， ， 分别平分和， ， ； ②若，其他条件不变， 分别平分和， ， ， ； ③通过①、②可以得到； 若其他条件不变， ， 分别平分和， ， ． 39．如图①，点O是直线上的一点，，平分． (1)若，则______°，　　　°； (2)将图①中的绕点O旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； (3)将图①中的绕点O旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 【答案】(1)40；20 (2) (3)或 【分析】本题考查角的计算与角平分线的定义，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）设，则，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案； （3）分两种情况：当平分时，当的反向延长线平分时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40，20； （2）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：当平分时，如图所示： 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当的反向延长线平分时，如图所示： 则，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 40．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 题型11 动点中的多结论问题 41．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，设，，则，得到，进而得到，可判断A，由线段中点的意义和线段的和差可得，可判断B，由和可判断C，由和，可判断D，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：A、设，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵， 又∵ ∴，故选项不符合题意； D、∵， 又∵， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 42．如图，已知A，B（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为4，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确个数是（    ） ①时，点运动到点；②时，；③在点的运动过程中，线段的长度不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离，线段中点，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 先求出点对应的数，再求出时对应的点的位置即可判断①；②分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可；③分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是， 由题意得：， ∴时，点到达点，故①正确； ②分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故②错误； ③分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故③正确． 所以，上述结论中正确的是①③． 故选：C． 43．已知线段，C，D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若，且，则；④若D是的中点，，则．其中正确的为_________（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答． 【详解】解：∵线段，C、D是线段上的两个动点，C是的中点， ∴， ∵点D在线段上，， ∴． 故①是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点，且， ∴， 即， ∴． 故②是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点， ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 综上：或， 故③是错误的； ∵，且线段，C、D是线段上的两个动点， ∴， ∵是的中点， ∴， 则． ∵， ∴， 即， ∴， 故④是正确的， 故答案为：①②④． 44．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是___________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的特点，根据线段的和差，线段中点的特点逐个分析判断，即可解题． 【详解】解：C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点， ， ①， ， ， ， 则①结论错误； ②， ， ， ， 则， 故②结论正确； ③ ， 故③结论正确； ④， M是线段的中点． ， ， 则④结论错误； 综上所述，正确的结论是； 故答案为：． 题型12 角度中的多结论问题 45．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的说法有（   ） ①与互余    ② ③与互补    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角的性质，解题的关键是根据角平分线的定义，结合已知条件，分别分析每个结论是否成立即可． 【详解】解：①：∵平分，平分， ∴，， ∵A、C、B在同一条直线上， ∴， ∴， ∴与互余，故①正确； ②：∵，平分，平分， ∴，故②正确； ③：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴与互补，故③正确； ④：∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的说法有4个， 故选：D． 46．如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论： ①；②； ③；④； 其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 由角平分线的定义得出，，，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出，即可判断④． 【详解】解：①如图所示， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ，故③正确； ∵ ∵ ∴，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 47．如图，射线平分，射线平分，射线在内部，下列四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是___________（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义以及角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案． 【详解】解：设，①正确； ，②正确； ③若，即， ∴，∴，③不正确； ④若，∴（1）， 又（2）， 将（1）式代入（2），得， ∴，④正确． 故答案为：①②④． 48．如图，为直线上一点， 为直角， 平分， 平分， 平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②； ③与∠互补； ④． 下列结论中错误的有_______个． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角、角平分线的定义．根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断． 【详解】解： 平分， 平分， ，， ， ， 故①正确； 为直角， ， ， 平分， 平分， ，， ， 故②错误； ， ， ， ， 平分， ， ， 与∠互补， 故③正确； 由①可知， 平分， 平分， 为直角， ， ， ， 故④正确． 综上所述，结论错误的有个． 故答案为：. 综合攻坚·知能拔高 49．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 【答案】 【分析】由线段中点的定义得出，，再由线段的和差关系即可得出的长． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ． 50．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 51．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 52．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：，理由如下， ， ． 【分析】（1）利用角的和差进行求解； （2）利用角的和差进行求解； （3）利用角的和差进行证明． 【详解】（1）解：，，， ； ， ； （2）解：， ； （3）略 53．【问题情境】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点A在点B的左侧），点C和点D分别是的中点．则________； 【类比迁移】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．请求出的度数． 【归纳总结】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．用含和的代数式表示的度数为________． 【答案】问题情境：；类比迁移：；归纳总结： 【分析】问题情境：根据线段中点的定义可得，由线段和差求出，再根据即可求解； 类比迁移：根据，，，即可求得答案； 归纳总结：同类比迁移解答即可． 【详解】解：问题情境：∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 类比迁移：∵射线和射线分别是和的平分线， ∴，． ∴ ； 归纳总结：∵，， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 54． (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【答案】(1)150；75；角平分线 (2)解：这些角的度数是的整数倍， 理由：， 是的整数倍； (3) (4) 【分析】（1）结合图形和三角尺每个角的度数计算； （2）按照乘法分配律将变形为即可； （3）先计算，再根据平分得，根据平分得，最后计算即可； （4）将（3）中的改成重新计算即可． 【详解】（1）解：由图得，， ， ， 射线是的角平分线； （2）略 （3）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （4）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 55．已知线段，点M是的中点． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若点为的中点，且满足，试说明：点是线段的中点． 【答案】(1)9 (2) 解：设， ∵， ． ∵点为的中点， ， ， ， ∴点是线段的中点． 【分析】（1）根据中点的定义得，再求出，然后根据得出答案； （2）先设，可得，再根据中点的定义得，即可得出，根据中点的定义可解． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴． ∵， ， ； （2）略 56．【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺中，，；在三角尺中，，，；已知两个三角尺有一个顶点A重合． （1）【初步感知】如图1，若与重合，，分别是，的平分线，则的度数为________；的度数为________． （2）【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，，分别是，的平分线，若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）首先求出，结合角平分线求出的度数； （2）首先表示出，，然后由角平分线表示出，，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． 57．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 58．探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据求解即可； ②先写出的度数，再求即可； （2）先写出的度数，再求即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①由题意得，， ∴； ②由题意得，， ∴； （2）总是保持不变，这个固定的差值是，理由如下： 如图，， ∴； ∴总是保持不变，这个固定的差值是； （3）当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 综上，的度数为或或． 【点睛】注意分类讨论思想的应用． 59．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 【答案】(1)120 (2) 解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出的度数； （2）根据，判断出与之间满足什么等量关系即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 60．综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $