专题03 几何图形初步认识章末易错必考题22大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 聚焦几何图形初步22类易错题型，以题载知，覆盖从几何体认识到旋转性质的完整知识链，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体认识|3题型|识别分类、点棱面关系、截面判断|从立体图形到平面展开，建立空间直观| |点线面关系|4题型|直线射线线段辨析、作图与性质应用|从基本概念到性质推理，构建平面几何基础| |线段计算|4题型|和差、中点、距离、动点问题|结合数轴与方程思想，深化数量关系理解| |角的相关|10题型|表示分类、钟面方向角、三角板计算、角平分线|从静态定义到动态旋转，强化角度转化能力| |旋转|1题型|概念与性质应用|衔接平面变换，培养动态几何思维|

专题03 几何图形初步认识章末易错必考题 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末易错必考题 易错题型01 常见的几何体及其分类 易错题型02 几何体中的点、棱、面 易错题型03 截一个几何体 易错题型04 直线、线段和射线联系与区别 易错题型05 两点确定一条直线 易错题型06 尺规作线段 易错题型07 线段的和差 易错题型08 两点间的距离 易错题型09 线段中点的有关计算 易错题型10 与线段有关的动点问题 易错题型11 角的表示与分类 易错题型12 钟面角 易错题型13 方向角 易错题型14 角的大小比较 易错题型15 三角板中角度计算问题 易错题型16 几何图形中角度计算 易错题型17 角度的四则运算 易错题型18 实际问题中角度计算 易错题型19 余角和补角 易错题型20 角平分线有关计算 易错题型21 旋转的相关概念 易错题型22 旋转的性质 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末易错必考题 ◆易错题型01 常见的几何体及其分类 1．下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，由圆柱的定义判断即可． 【详解】解：属于圆柱的是第三个图形，有1个． 故选：C． 2．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】A 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据棱柱和圆锥的特征求解即可． 【详解】解：A、五棱柱有7个面、15条棱，本选项的说法不正确； B、圆锥的底面是圆，本选项的说法正确； C、棱柱的上下底面是完全相同的图形，本选项的说法正确； D、长方体与正方体都有六个面，本选项的说法正确． 故选：A 3．下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． ◆易错题型02 几何体中的点、棱、面 4．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1) 数据如表所示： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 (2)这个多面体的面数为14 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可；根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （2）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由，得， 这个多面体的面数为14． 5．如图所示的四个图形都是平面图形．观察图和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边、这些边围成多少个区域，将结果填入下表． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 7 边数 9 区域数 3 (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系． (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为_____． 【答案】(1) 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 (2) (3)30 【分析】根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得题（1）的结果，再根据表（1）数据总结出归律得题（2）的结果，根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数． 【详解】（1）解：结合图形我们可以得出： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 （2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：； （3）代入上式得：．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． 6．阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体． (1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E 四面体 4 6 长方体 6 2 五棱柱 10 7 15 2 (2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ (3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 【答案】(1) 填表如下： 多面体 V F E 四面体 4 4 6 2 长方体 8 6 12 2 五棱柱 10 7 15 2 (2) (3) 解：不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点， ∵假如会有， 则， 根据题意：将代入得，，，与矛盾， ∴不会有． 【分析】本题考查了简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （1）分析题意，由题中所给的多面体，不难求得多面体的顶点数、棱数、面数，即可完成表格； （2）接下来，观察表格中的数据便不难得到简单多面体中顶点数（V）面数（F）棱数（E）之间的关系； （3）根据已知数据，结合顶点数V、面数F及棱数E间的关系，即可作出判断． 【详解】（1）略 （2）解：多面体的顶点数V、棱数E、面数F满足关系式：； （3）略 ◆易错题型03 截一个几何体 7．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的截面，熟练掌握各几何体的结构特征是解题关键．根据圆锥、圆柱、三棱柱和长方体的几何特征，逐一分析判断即可． 【详解】解：用一个平面去截一个几何体，截面的形状是长方形， 那么这个几何体可能是圆柱、三棱柱、长方体，但不可能是圆锥． 故选：A． 8．给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体共有______个． 【答案】 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征逐项判断即可，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：当截面与圆柱的底面垂直时可以截得长方形，当截面截取正方形两条平行的面对角线组成的面时，可以截得长方形，球和圆锥都不能截出长方形， ∴能截出长方形的几何体共有个， 故答案为：． 9．用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是长方形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了截一个几何体，熟知常见几何体截面的形状是解题的关键． 【详解】解：用平行于正方体的面去截正方体，截面为正方形，符合题意； 用平面截圆锥，截面不可能是长方形，不符合题意； 用平行于三棱柱的侧面的面截三棱柱时，截面为长方形，符合题意； 用平行于水平面的平面截圆柱时，截面为长方形，符合题意； 故选：B． ◆易错题型04 直线、线段和射线联系与区别 10．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 11．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 12．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． ◆易错题型05 两点确定一条直线 13．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（    ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线， 根据四个点的位置关系讨论直线条数：当所有点共线时可画1条；当三个点共线另一个点不共线时可画4条；当没有三个点共线时可画6条，即可判断． 【详解】解：∵ 四点共线时，过任意两点画直线，所有点均在一条直线上， ∴ 只能画1条直线； ∵ 有三点共线，第四点不在此直线上时，共线三点确定一条直线，第四点与共线三点各确定一条直线， ∴ 共可画4条直线； ∵ 任意三点不共线时，每两点确定一条直线， ∴ 可画6条直线； 综上，无法画出3条直线， 故选：B． 14．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 15．平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（    ） A．1或4 B．1或6 C．4或6 D．1或4或6 【答案】D 【分析】平面上四点的位置关系由三种情况，即四点在同一直线上时，可以画一条直线；三点在同一条直线上，可以画四条直线；任意三点均不在同一条直线上，则可画六条直线． 【详解】解：如图所示： 分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知： 平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6． 故选D． 【点睛】本题考查的是两点确定一条直线，解答此题的关键是正确分析四点在同一平面内的位置关系，再画出图形进行解答． ◆易错题型06 尺规作线段 16．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 17．如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： (1)画直线、线段、连接线段并反向延长； (2)图中以为端点的线段共有________条． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】本题考查直线、线段的定义及线段的计数．关键是根据直线、线段的基本特征，利用无刻度直尺作出指定图形；通过列举所有以为端点的线段，统计数量得到结果． （1）依据直线向两方无限延伸、线段有两个端点的性质，分别画出直线、线段，再连接并完成反向延长操作； （2）逐一找出所有以为端点的线段，再统计线段的总条数． 【详解】（1）略 （2）解：以为端点的线段有、、，共3条； 故答案为：． 18．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【答案】(1) 如图所示， (2) 如图所示， (3) 如图所示， (4) 如图所示， 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ◆易错题型07 线段的和差 19．已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出的长度，再根据条件得到的长度，分点C在点B左侧、右侧两种情况，分别计算的长度即可． 【详解】解：∵ A点表示的数是，B点表示的数是， ∴ ， ∵， ∴． 分两种情况讨论： 当点C在点B左侧时，； 当点C在点B右侧时，， ∴的长为或． 20．如图，已知线段，在线段上有四个点，，，，在的右侧，且，，，求线段的长． 【答案】 【分析】根据，求出，，，由，求出及，由此可得的长． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，A，B，C，D四点在一直线上，，，，F为线段上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则的值为（   ） A．14 B．20 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段的和与差求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：由题意，， 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为，此时点F到A，B，C，D距离的和最小，故最小值； 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为 故当点F在点A处时，点F到A，B，C，D距离的和最大，最大值为15； 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为 故当点F在点D处时，点F到A，B，C，D距离的和最大，最大值为13； ∵， ∴点F到A，B，C，D距离的和最大值, ∴． 故选：C． ◆易错题型08 两点间的距离 22．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由图可得最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段，枚举出不同的走法，即可求解． 【详解】解：最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段， 不同的走法有： 、右走段，再下走段； 、右走段，再下走段，最后右走段； 、右走段，再下走段，然后右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段； 、下走段，再右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段，然后下走段，最后右走段； ∴不同的走法共有种． 23．村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 【答案】C 【分析】根据题意分情况进行讨论即可． 【详解】在的左侧时，①顺序为，此时， ； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； 在的右侧时，①顺序为，此时； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； ⑤顺序为，此时， ⑥顺序为，此时； ⑦顺序为，此时（舍去）． 故不可能是从A到D的距离的千米数． 24．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：， 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：， 即绳子的原长是； 即：这根绳子原来的长度为或， 故选：D． ◆易错题型09 线段中点的有关计算 25．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【分析】（1）根据图象得出，即，进而求出即可； （2）根据已知画出图形，进而利用求出即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 26．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 27．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． ◆易错题型10 与线段有关的动点问题 28．规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 【答案】或或8 【分析】分三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 综上：则点N表示的数为或或8. 29．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 30．已知，，点C为射线上一个动点，点E，F分别是的中点． (1)如图，若点C在线段上，且，求的长度； (2)若点C在线段的延长线上，求的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】(1)根据AC=6，AB=16可得BC，再根据线段中点的定义可得BF的长； (2)当C为射线AB上一点，且E，F分别是AC，BC的中点，可表示线段EC、CF的长度，再利用EF=CE一CF． 【详解】（1）∵E是线段的中点， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， 若点C在线段上，且， ∴， 则； （2）如图，若点C在线段的延长线上， ， 故EF的长度为：8． 【点睛】本题考查两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的关系是解题的关键． ◆易错题型11 角的表示与分类 31．下列选项中的两个语句（分号隔开）表述的含义不一致的是（   ） A．画直线l，使点A在直线l上；经过点A画直线l B．延长线段；反向延长线段 C．延长线段至点C，使；延长线段至点C，使 D．画的平分线；画射线，使 【答案】D 【分析】本题考查了几何语句的含义一致性，解题的关键是逐一分析每个选项中两个语句是否表达相同操作或结果，判断即可． 【详解】解：A、画直线l，使点A在直线l上；与经过点A画直线l，均表示过点A作直线l，含义一致，故此选项正确，不符合题意； B、延长线段；与反向延长线段，都是从A向B的方向延长，含义一致，故此选项正确，不符合题意； C、延长线段至点C，使；与延长线段至点C，使，两个表述均使点B为线段的中点，含义一致，故此选项正确，不符合题意； D、画的平分线；与画射线，使，射线可能在的外部，而角平分线必在角内，含义不一致，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 32．按要求完成下列作图： (1)如图，画直线； (2)画； (3)连接与射线交于点P； (4)若点M是线段的中点，，，则_____． 【答案】(1) 如图：直线即为所求． (2)如图：即为所求． (3)如图点P即为所求． (4) 【分析】本题主要考查了直线、射线、角的定义、线段的和差等知识点，理解相关定义以及线段的和差是解题的关键． （1）根据直线的定义作图即可； （2）根据角的定义作图即可； （3）根据线段的定义画出图形即可； （4）先求出，再根据线段的中点可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图：∵，， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 33．探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【分析】本题考查了角的有关概念，根据图形的前后变化找出规律，得出角的个数，发现角的个数的规律是解题的关键； 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． ◆易错题型12 钟面角 34．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 35．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 36．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．发射时刻，钟面上的分针和时针组成的最小角是_________度． 【答案】 【分析】0时整时针与分针重合，钟面上分针每分钟转动，时针每分钟转动，计算23分钟后两者的转动角度差即可得到最小夹角． 【详解】解：∵钟面一圈为，分针60分钟转完一圈， ∴分针每分钟转动， ∵时针12小时转完一圈，即60分钟转动， ∴时针每分钟转动， ∵0时整时针与分针重合，经过23分钟后，分针转动的总角度为，时针转动的总角度为， ∴两者的夹角为， ∵， ∴分针和时针组成的最小角为． ◆易错题型13 方向角 37．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 38．一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【答案】35 【分析】根据方向角的定义，准确找出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：由题意如图所示： 则． 39．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． ◆易错题型14 角的大小比较 40．若，，则______填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题主要考查角的大小比较及度分秒的换算，先统一单位，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 41．比较3815’与的大小：3815’____（用“>”、“<”或“=”填空） 【答案】＞ 【分析】先把38.15°转化成度、分的形式，再进行比较． 【详解】∵1°＝60′， ∴38.15°＝38°＋（0.15×60）′＝38°9′， ∴38°15′＞38.15度． 故答案为＞． 【点睛】此类题实际上是进行度、分、秒的转化运算，然后再进行比较，相对比较简单，注意以60为进制即可． 42．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把转换为度、分为单位，直接判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 故A、B、D错误，不符合题意； C正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的单位转换，解题关键是明确角的进制，能熟练进行单位转换． ◆易错题型15 三角板中角度计算问题 43．如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 【详解】解：由图可知，， ∴． 44．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，即 (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分则的度数为 ； ②若在内部，请判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）先根据平角定义求出的度数，再结合直角的度数，通过角的差计算； （2）①先利用平角求出的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，最后用直角减去得到； ②通过平角和直角的关系，用含的式子表示，再结合的度数推导与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）①解：， ， 平分， ， 又， ． ②解：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ． 45．问题情境 为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，． 猜想证明 （1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数． 拓展延伸 （2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转． ①当直角三角板的边与射线重合时，试说明． ②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）①因为，， 所以． 因为， 所以， 所以． ②的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算． （1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义可得，根据进行求解即可； （2）平角的定义，求出，再根据角的和差关系得出； （3）分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以． 因为是的平分线， 所以． 因为， 所以． （2）①略 ②的度数为或． 当OD在OC的右侧时，如图1． 设，， 则， 所以， 所以， 所以； 当在的左侧时，如图2． ， 所以． 综上所述，当时，的度数为或． ◆易错题型16 几何图形中角度计算 46．直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【分析】根据平角的定义，得到，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 47．如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的度数比为，求出，再求出的度数，再结合角平分线的定义计算即可得出结果； （2）设，则，，由角平分线的定义可得；求出，可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵与的度数比为，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵与的度数比为， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ． 48．如图，直线、相交于点O，平分 (1)若，求的度数； (2)若平分，能判断吗？ 【答案】(1) (2)，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， ． 【分析】（1）根据平分，可得，再根据即可得出答案； （2）根据平分，可得，计算出，即可判断． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：略． ◆易错题型17 角度的四则运算 49．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 50．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 51．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． ◆易错题型18 实际问题中角度计算 52．双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是___________度． 【答案】5 【分析】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解． 【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间． ∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过， 分针每分钟转过，因而转过了， ∴时针和分针所成的夹角是． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键． 53．在3：30分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是__________度． 【答案】75 【分析】根据钟面被12个时刻分成了12个大格，每格是30°，时针每分钟走0.5°，从而可以求出它们的夹角的度数． 【详解】∵3点30分，钟面上的时针指向3与4之间，分针指向6， ∴时针30分钟又走了， ∴3点30分，钟面上的时针和分针的夹角为． 故答案为75． 【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．正确分析时针位置的变化是解题的关键． 54．材料阅读 角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定． 因为时针绕钟面转一圈（）需要12小时，所以时针每小时转过． 如图3中时针就转过． 因为分针绕钟面转一圈（）需要60分钟，所以分针每分钟转过． 如图4中分针就转过． 再如图5中时针转过的度数为，分针转过的度数记为，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以时针与分针的夹角为． 知识应用 请使用上述方法，求出时针与分针的夹角． 拓广探索 张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．） 【答案】知识应用：100°；拓广探索：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家 【分析】知识应用： 根据题干中的思路先求出时针转过的度数，然后再求出分针转过的度数，然后让大的度数减小的度数即可得出答案； 拓广探索： 根据材料可以确定张老师出门时时针转过的角度比分针转过的角度多，而张老师回家时分针转过的角度比时针转过的角度多，据此可列出两个方程，分别解方程即可． 【详解】知识应用： 解:7:20时针转过的度数为， 分针转过的度数记为， ∴7:20时针与分针的夹角为 拓广探索： 设张老师7点分出门，由题意列方程得 解得 设张老师7点分回家，由题意列方程得 解得 答：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家 【点睛】本题主要考查钟表中的角度问题，理解材料中给出的计算角度的方法并掌握一元一次方程的解法是解题的关键． ◆易错题型19 余角和补角 55．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 56．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 57．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差运算及平角的性质，数形结合是解题的关键，根据直角三角尺旋转时与的相对位置关系进行计算即可． （1）中当时，在的右侧，利用求出，再结合求出； （2）当时，在的右侧，利用与互余求出，再计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ， （2）解：， ， 当时，在的右侧， ． ◆易错题型20 角平分线有关计算 58．如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】首先根据及 求出和的度数；然后根据射线的位置分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时；分别利用角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， 分两种情况讨论： ①当射线在的内部时， 平分 ②当射线在的外部时， 平分 综上所述，的度数为或． 59．如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据及进行等量代换即可求解． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ． 60．将三角板的直角顶点按如图1中的方式放置在直线上． (1)当时， ； ； (2)如图2，作射线平分，射线平分． ①若的条件不变，求的度数； ②若设，直接写出的大小为 ． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意，由平角的定义，得到的度数，结合直角，得到的大小； （2）①由（1）的结果，结合角平分线的定义，得到和的度数，从而得到结果； ②仿照①的计算，表示出和，从而得到结果． 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ； （2）解：如图2，①，平分， ， ，平分， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． ◆易错题型21 旋转的相关概念 61．下列叙述的运动属于旋转的是（ ） A．运动员在米跑道上赛跑 B．竖直下落的石子 C．电风扇启动后，它的叶子的运动 D．静止的车轮 【答案】C 【分析】根据旋转的定义，即可解答． 【详解】A、运动员在100米跑道上赛跑，是平移不是旋转，故错误； B、竖直下落的石子，是平移不是旋转，故错误； C、电风扇启动后，它的叶子的运动，是旋转，故正确； D、静止的车轮，不是旋转，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的定义，解决本题的关键是熟记旋转的定义． 62．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 63．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． ◆易错题型22 旋转的性质 64．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 65．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1) 如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； (2)90° (3) 【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 66．直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】（1）根据平角和角的和差计算即可；、 （2）求出，根据即可求出答案； （3）分在内部和在外部两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ （2）解：因为平分， 所以 ． 因为， 所以 ． 所以． 所以． （3）∠AOC的度数为或． 解：当在内部时， 因为， 所以． 因为， 所以．所以． 当在外部时， 因为，， 所以． 因为， 所以．所以． 综上所述，的度数为或 综合攻坚·知能拔高 67．已知线段，点C在直线上，且，M为的中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键．根据点C的位置分两种情况，即点C在线段上和点C在的延长线上，分别画出相应的图形，由线段中点的定义以及线段的和差关系进行解答即可． 需分类讨论点C的位置，即C在线段上、C在线段的延长线上，根据线段的比例关系求出、的长度，再结合中点性质计算的长度． 【详解】解：如图1，当点C在线段上时，    ∵，，而， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 如图2，当点C在的延长线上时， ∵，，而， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 综上所述或． 故选：C． 68．按如下步骤折叠长方形纸片，下列说法错误的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键． 利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ， ，即． 与互余． 故A正确，不符合题意． ， ． 故B正确，不符合题意． 根据折叠的性质可知，， 平分． 故C正确，不符合题意． ， 与不互补． 故D错误，符合题意． 故选：D． 69．如图：已知和都是恒定不变的直角，若将绕点旋转使减小，则下列说法正确的有（   ）个 ①增加    ②增加    ③增加 ④    ⑤与的和不变 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了直角，余角，角的计算．熟练掌握直角定义，余角的性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据和都是直角，得到，，逐一解答判断即可． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∴， ∵减小， ∴增加，增加， ∴①正确；②正确； ∵，而减小，增加，增加， ∴变化的度数为：, ∴增加了， ∴③不正确； ∵， ∴④正确； ∵， ∴⑤正确． ∴正确的有①②④⑤，共4个． 故选：C． 70．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 71．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， 当两个三角板不重合时，如图： 则：， 当两个三角板有重合部分时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故甲、乙答案合在一起才完整； 故选C． 72．如图，点在直线上，，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角度的计算是解题的关键． 由求出的度数，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． 故答案为：． 73．如图，C为线段上一点，D为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为_____． 【答案】4或8 【分析】根据，得到，根据题意，得到，结合，分点E在点C的两侧，解答即可． 本题考查了线段的和差，线段的中点，分类思想，熟练掌握中点，和差计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， 当点E在点C的右侧时， ∴， 当点E在点C的左侧时， ∴， 故答案为：4或8． 74．如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 75．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了______． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 76．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时，___________； （2）当在右边且平分时，___________． 【答案】 30 105 【分析】本题考查了角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． （1）根据角平分线的定义得出，然后结合已知和角的和差关系求解即可； （2）根据角平分线定义求出，然后结合已知和角的和差关系求解即可． 【详解】解：（1）当在左边且平分时，如图2，此时， ，， ， 故答案为∶30； （2）当在右边且平分时，如图， ， ， ， ， ， 故答案为∶105． 77．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) 将逐渐增大．理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：和均为直角， ， 则； （2）略 78．已知线段，点是直线上任意一点，且． (1)线段的长度为_____． (2)如图所示，当点在线段延长线上时，为上一点，为中点，若，求线段的长． 【答案】(1)5或； (2) 【分析】本题考查线段的和差运算及线段中点的性质，关键是根据点在直线上的不同位置分情况讨论，以及先利用比例关系求出的长度，再结合中点性质计算，最后通过线段和差得到的长度． （1）由于点在直线上，存在两种位置情况：点在线段上、点在线段的延长线上，分别通过线段的差与和计算的长度； （2）根据与的比例及的总长度求出，由线段中点定义得到的长度，再将与相加得到的长度． 【详解】（1）解：分两种情况计算： ①当点在线段上时， ，， ； ②当点在线段的延长线上时， ，， ； 故答案为：5或； （2）解：，， ； 为的中点，， ； ∴． 79．将三角板的直角顶点按如图1中的方式放置在直线上． (1)当时，______； (2)如图2，作射线平分，射线平分． ①若，求的度数； ②若设，直接写出的大小为______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，正确认识图形，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，由平角的定义，得到的度数； （2）①由（1）的结果，结合角平分线的定义，得到和的度数，从而得到结果；②仿照①的计算，表示出和，从而得到结果． 【详解】（1）解：如图1，， ， 故答案为：； （2）解：如图2，①， ， 平分， ， ，平分， ， ； ②，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 80．如图：已知和都是直角． (1)如果，则_____________； (2)如果变小，则_____________（填“变大”、“变小”或“不变”）； (3)琪琪经观察、画图、计算发现和之间有一个确定的数量关系，请你写出这个数量关系并加以说明． 【答案】(1)152 (2)变大 (3) ， 因为 ， 所以． 【分析】本题主要考查余角，角的计算，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）从图形中可看出和相加，再减去即为所求． （2）根据，可得，进而得到逐渐变小，则逐渐变大； （3）发现和之间有一个确定的数量关系是，，利用，即可得出结果． 【详解】（1）因为，， 所以， 故答案为：152； （2）因为， 所以， 所以逐渐变小，逐渐变大； 故答案为：变大； （3）略 81．如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) ①，理由如下： ， ． ， ． ②或 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）①，根据，，可得，即可求解； ②根据题意可得，设，则，，分射线在的内部，射线在的外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． 平分， ． ． （2）解：当时，， ， ． ． ， ． 平分， ． ． （3）解：①略 ②，， ． ． 设，则， ． 当射线在的内部时， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ，解得． ． 综上所述，的度数为或． 82．【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若，________；若，则________； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是________； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系?请说明理由． 【答案】(1)155；50 (2) (3) 解：，理由如下： ∵，， ∴ ． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，熟练掌握相关知识点并正确计算是解题关键． （1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求得答案； （2）利用，，即可求得； （3）同（2）的解决思路即可解答． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：155；50． （2）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． （3）略 83．在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，图1是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的作法是否正确？__________．（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的作法都正确    B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确    D．小明和小华的作法都不正确 (2)如图2所示，已知，以为一边，在的左侧作，使，若，为的平分线，求的度数． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； （2）根据已知条件可知，进而得到，根据角平分线的性质可得，最后求解即可． 【详解】（1）解：小明的作法：，，， ， ，即， 小华的作法：，，， ， ，即， 综上所述，小明和小华的作法都正确， 故答案为：A． （2）解：，， ， ， 为的平分线， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何图形初步认识章末易错必考题 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末易错必考题 易错题型01 常见的几何体及其分类 易错题型02 几何体中的点、棱、面 易错题型03 截一个几何体 易错题型04 直线、线段和射线联系与区别 易错题型05 两点确定一条直线 易错题型06 尺规作线段 易错题型07 线段的和差 易错题型08 两点间的距离 易错题型09 线段中点的有关计算 易错题型10 与线段有关的动点问题 易错题型11 角的表示与分类 易错题型12 钟面角 易错题型13 方向角 易错题型14 角的大小比较 易错题型15 三角板中角度计算问题 易错题型16 几何图形中角度计算 易错题型17 角度的四则运算 易错题型18 实际问题中角度计算 易错题型19 余角和补角 易错题型20 角平分线有关计算 易错题型21 旋转的相关概念 易错题型22 旋转的性质 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识章末易错必考题 ◆易错题型01 常见的几何体及其分类 1．下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 2．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 3．下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆易错题型02 几何体中的点、棱、面 4．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 5．如图所示的四个图形都是平面图形．观察图和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边、这些边围成多少个区域，将结果填入下表． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 7 边数 9 区域数 3 (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系． (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为_____． 6．阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体． (1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E 四面体 4 6 长方体 6 2 五棱柱 10 7 15 2 (2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ (3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ ◆易错题型03 截一个几何体 7．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 8．给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体共有______个． 9．用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是长方形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ◆易错题型04 直线、线段和射线联系与区别 10．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 11．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 12．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ ◆易错题型05 两点确定一条直线 13．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（    ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 14．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 15．平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（    ） A．1或4 B．1或6 C．4或6 D．1或4或6 ◆易错题型06 尺规作线段 16．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 17．如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： (1)画直线、线段、连接线段并反向延长； (2)图中以为端点的线段共有________条． 18．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． ◆易错题型07 线段的和差 19．已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 20．如图，已知线段，在线段上有四个点，，，，在的右侧，且，，，求线段的长． 21．如图，A，B，C，D四点在一直线上，，，，F为线段上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则的值为（   ） A．14 B．20 C．26 D．28 ◆易错题型08 两点间的距离 22．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 23．村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 24．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 ◆易错题型09 线段中点的有关计算 25．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 26．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 27．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． ◆易错题型10 与线段有关的动点问题 28．规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 29．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 30．已知，，点C为射线上一个动点，点E，F分别是的中点． (1)如图，若点C在线段上，且，求的长度； (2)若点C在线段的延长线上，求的长度． ◆易错题型11 角的表示与分类 31．下列选项中的两个语句（分号隔开）表述的含义不一致的是（   ） A．画直线l，使点A在直线l上；经过点A画直线l B．延长线段；反向延长线段 C．延长线段至点C，使；延长线段至点C，使 D．画的平分线；画射线，使 32．按要求完成下列作图： (1)如图，画直线； (2)画； (3)连接与射线交于点P； (4)若点M是线段的中点，，，则_____． 33．探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ ◆易错题型12 钟面角 34．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 35．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 36．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．发射时刻，钟面上的分针和时针组成的最小角是_________度． ◆易错题型13 方向角 37．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 39．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． ◆易错题型14 角的大小比较 40．若，，则______填“”“”或“” 41．比较3815’与的大小：3815’____（用“>”、“<”或“=”填空） 42．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． ◆易错题型15 三角板中角度计算问题 43．如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 44．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，即 (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分则的度数为 ； ②若在内部，请判断与的数量关系并说明理由． 45．问题情境 为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，． 猜想证明 （1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数． 拓展延伸 （2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转． ①当直角三角板的边与射线重合时，试说明． ②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数． ◆易错题型16 几何图形中角度计算 46．直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 47．如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 48．如图，直线、相交于点O，平分 (1)若，求的度数； (2)若平分，能判断吗？ ◆易错题型17 角度的四则运算 49．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 50．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 51．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． ◆易错题型18 实际问题中角度计算 52．双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是___________度． 53．在3：30分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是__________度． 54．材料阅读 角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定． 因为时针绕钟面转一圈（）需要12小时，所以时针每小时转过． 如图3中时针就转过． 因为分针绕钟面转一圈（）需要60分钟，所以分针每分钟转过． 如图4中分针就转过． 再如图5中时针转过的度数为，分针转过的度数记为，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以时针与分针的夹角为． 知识应用 请使用上述方法，求出时针与分针的夹角． 拓广探索 张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．） ◆易错题型19 余角和补角 55．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 56．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 57．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． ◆易错题型20 角平分线有关计算 58．如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 59．如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 60．将三角板的直角顶点按如图1中的方式放置在直线上． (1)当时， ； ； (2)如图2，作射线平分，射线平分． ①若的条件不变，求的度数； ②若设，直接写出的大小为 ． ◆易错题型21 旋转的相关概念 61．下列叙述的运动属于旋转的是（ ） A．运动员在米跑道上赛跑 B．竖直下落的石子 C．电风扇启动后，它的叶子的运动 D．静止的车轮 62．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 63．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， ◆易错题型22 旋转的性质 64．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 65．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 66．直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 综合攻坚·知能拔高 67．已知线段，点C在直线上，且，M为的中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 68．按如下步骤折叠长方形纸片，下列说法错误的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 69．如图：已知和都是恒定不变的直角，若将绕点旋转使减小，则下列说法正确的有（   ）个 ①增加    ②增加    ③增加 ④    ⑤与的和不变 A．2 B．3 C．4 D．5 70．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 71．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 72．如图，点在直线上，，平分，则的度数为________． 73．如图，C为线段上一点，D为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为_____． 74．如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为______． 75．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了______． 76．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时，___________； （2）当在右边且平分时，___________． 77．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 78．已知线段，点是直线上任意一点，且． (1)线段的长度为_____． (2)如图所示，当点在线段延长线上时，为上一点，为中点，若，求线段的长． 79．将三角板的直角顶点按如图1中的方式放置在直线上． (1)当时，______； (2)如图2，作射线平分，射线平分． ①若，求的度数； ②若设，直接写出的大小为______． 80．如图：已知和都是直角． (1)如果，则_____________； (2)如果变小，则_____________（填“变大”、“变小”或“不变”）； (3)琪琪经观察、画图、计算发现和之间有一个确定的数量关系，请你写出这个数量关系并加以说明． 81．如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 82．【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若，________；若，则________； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是________； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系?请说明理由． 83．在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，图1是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的作法是否正确？__________．（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的作法都正确    B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确    D．小明和小华的作法都不正确 (2)如图2所示，已知，以为一边，在的左侧作，使，若，为的平分线，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $