第三章 代数式（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 七年级上册第三章代数式单元卷，以基础通关为目标，涵盖代数式意义、求值、实际应用等核心知识，通过分层设计与真实情境，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|代数式意义、列代数式、求值|结合运动心率（第7题）等生活情境，考查抽象能力| |填空题|4/12|代数式变形、幻圆文化|融入传统游戏（第15题），体现文化传承| |解答题|8/72|营销问题（第20题）、几何面积（第19题）、规律探究（第23题）|综合实际应用与推理，发展模型意识与运算能力|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 3．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）用代数式表示x的4倍与y的和的平方，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C．2 D．6 5．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）长方体的底面是边长为的正方形，当长方体的高变化时，长方体的体积随之发生变化，关于①、②的说法，下列判断正确的是（    ） ①V与h的关系式为；②h每增加，V就增加 A．①、②都对 B．①、②都错 C．①对②错 D．①错②对 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图是嘉琪的小测试卷，她的得分是（    ） 填空题（每小题25分，共100分）姓名：嘉琪得分_________ 1．如果代数式的值为7，那么代数式的值为． 2．在墙壁上用两枚钉子就能固定一根横放的木条，根据是两点确定一条直线． 3．如图，在数轴上，注明了三段的范围，的倒数在数轴上表示的点所在的范围是（①） 4．将一副三角板按图示位置摆放，其中α和β的关系是互补． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 7．（25-26七年级上·河北沧州·期中）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，若用n表示一个人的年龄，则这个人运动时能承受的每分钟心跳的最高次数为次．正常情况下，20岁的青年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是（    ） A．16次 B．160次 C．176次 D．200次 8．（25-26七年级上·河北承德·期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果为20的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 10．（25-26七年级上·广西来宾·期中）如图所示，有一种塑料杯子的高度是，两个这种杯子叠放时高度为，三个这种杯子叠放时高度为，则个这种杯子叠放在一起高度是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）三个长方形的长都为a，宽都为b，图1中内部空白部分为半圆；图2中2个圆完全相同；图3中8个圆完全相同，三个图形中阴影部分的面积分别记为，，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当，时， A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 12．（2025·河北唐山·三模）四位同学分别用四种不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．； Ⅳ．． 则正确的对应关系是（　　） A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ C．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅳ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·青海·模拟预测）已知，则______． 14．（25-26七年级上·河北邢台·期末）记，．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当时，．若x和M，N的值如下表所示，则________． x c b a b 15．（25-26七年级上·河北保定·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，，0，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为_____． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知正方形的边长为． （1）如图1-1，正方形各边的中点分别为E，F，G，H，依次连接四个中点，得到四边形的面积为______； （2）如图1-2，点分布在正方形的边上，且有．连接，得到八边形．设，则八边形的面积为______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级上·河北保定·期中）用代数式表示． (1)用元购买件单价为元的文具后剩余的钱； (2)个位上数字为，十位上数字为的两位数． 18．（8分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）若有理数满足，且，求的值． 19．（8分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，是一个长方形休闲广场的平面示意图，长为米，宽为米，其中4个半圆部分是修建的花坛，种植各种花卉，半径为r米，其余（阴影）部分是铺设的小石子路面．（花坛壁厚不计） (1)请用含a，r的式子表示出阴影部分的面积；（保留） (2)若，取3，求阴影部分的面积． 20．（8分）（25-26七年级上·河北沧州·期中）【新情境•营销问题】金丝小枣是河北沧州特产．某经销商对金丝小枣礼盒进行优惠促销，对购买个礼盒以上的客户有以下两种销售方案： 方案一：每个礼盒元，由经销商承担运费； 方案二：每个礼盒元，客户需要承担运费元． 某公司计划购买个金丝小枣礼盒． (1)请用含的代数式分别表示该公司按方案一、二购买时需支付的费用； (2)当和时，分别判断该公司选择哪个方案更省钱． 21．（9分）（25-26七年级上·河北·期末）综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑_____圈，若终点位于D区域，那么起点应在_____区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米100元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取3） 22．（9分）（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）阅读理解：我们知道．．类似的，我们可以把看成一个整体，则．"整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程： (2)已知，则_______． (3)已知，则________． 23．（11分）（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 24．（12分）（25-26七年级上·湖北荆州·期末）综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 (1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 …… 因为点，分别是线段，的中点． 所以，________． 所以________________． 因为． 所以________． 【知识迁移】 (2)小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 (3)有一种面积为的正方形餐垫． ①如图3，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是________（用含的代数式表示）； ②如图4，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是________（用含，，的代数式表示）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 3．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）用代数式表示x的4倍与y的和的平方，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C．2 D．6 5．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）长方体的底面是边长为的正方形，当长方体的高变化时，长方体的体积随之发生变化，关于①、②的说法，下列判断正确的是（    ） ①V与h的关系式为；②h每增加，V就增加 A．①、②都对 B．①、②都错 C．①对②错 D．①错②对 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图是嘉琪的小测试卷，她的得分是（    ） 填空题（每小题25分，共100分）姓名：嘉琪得分_________ 1．如果代数式的值为7，那么代数式的值为． 2．在墙壁上用两枚钉子就能固定一根横放的木条，根据是两点确定一条直线． 3．如图，在数轴上，注明了三段的范围，的倒数在数轴上表示的点所在的范围是（①） 4．将一副三角板按图示位置摆放，其中α和β的关系是互补． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 7．（25-26七年级上·河北沧州·期中）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，若用n表示一个人的年龄，则这个人运动时能承受的每分钟心跳的最高次数为次．正常情况下，20岁的青年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是（    ） A．16次 B．160次 C．176次 D．200次 8．（25-26七年级上·河北承德·期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果为20的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 10．（25-26七年级上·广西来宾·期中）如图所示，有一种塑料杯子的高度是，两个这种杯子叠放时高度为，三个这种杯子叠放时高度为，则个这种杯子叠放在一起高度是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）三个长方形的长都为a，宽都为b，图1中内部空白部分为半圆；图2中2个圆完全相同；图3中8个圆完全相同，三个图形中阴影部分的面积分别记为，，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当，时， A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 12．（2025·河北唐山·三模）四位同学分别用四种不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．； Ⅳ．． 则正确的对应关系是（　　） A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ C．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅳ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·青海·模拟预测）已知，则______． 14．（25-26七年级上·河北邢台·期末）记，．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当时，．若x和M，N的值如下表所示，则________． x c b a b 15．（25-26七年级上·河北保定·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，，0，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为_____． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知正方形的边长为． （1）如图1-1，正方形各边的中点分别为E，F，G，H，依次连接四个中点，得到四边形的面积为______； （2）如图1-2，点分布在正方形的边上，且有．连接，得到八边形．设，则八边形的面积为______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级上·河北保定·期中）用代数式表示． (1)用元购买件单价为元的文具后剩余的钱； (2)个位上数字为，十位上数字为的两位数． 18．（8分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）若有理数满足，且，求的值． 19．（8分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，是一个长方形休闲广场的平面示意图，长为米，宽为米，其中4个半圆部分是修建的花坛，种植各种花卉，半径为r米，其余（阴影）部分是铺设的小石子路面．（花坛壁厚不计） (1)请用含a，r的式子表示出阴影部分的面积；（保留） (2)若，取3，求阴影部分的面积． 20．（8分）（25-26七年级上·河北沧州·期中）【新情境•营销问题】金丝小枣是河北沧州特产．某经销商对金丝小枣礼盒进行优惠促销，对购买个礼盒以上的客户有以下两种销售方案： 方案一：每个礼盒元，由经销商承担运费； 方案二：每个礼盒元，客户需要承担运费元． 某公司计划购买个金丝小枣礼盒． (1)请用含的代数式分别表示该公司按方案一、二购买时需支付的费用； (2)当和时，分别判断该公司选择哪个方案更省钱． 21．（9分）（25-26七年级上·河北·期末）综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑_____圈，若终点位于D区域，那么起点应在_____区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米100元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取3） 22．（9分）（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）阅读理解：我们知道．．类似的，我们可以把看成一个整体，则．"整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程： (2)已知，则_______． (3)已知，则________． 23．（11分）（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 24．（12分）（25-26七年级上·湖北荆州·期末）综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 (1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 …… 因为点，分别是线段，的中点． 所以，________． 所以________________． 因为． 所以________． 【知识迁移】 (2)小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 (3)有一种面积为的正方形餐垫． ①如图3，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是________（用含的代数式表示）； ②如图4，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是________（用含，，的代数式表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A A D A A B C D A B C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．5 14．81 15．或8 16．50 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据剩余的钱数为总钱数减去花费列式即可． （2）本题考查整式中列代数式，准确地理解十位上数字是几则表示几个十，个位上数字为几则表示几个一是解决问题的关键．即十位数字乘以10加上个位数字即可． 【详解】（1）解：购买件单价为元的文具，总花费为元．用a元购买，剩余应找回的钱数为总钱数减去花费即元． 故答案为：元．···························3分 （2）解：个位上数字为，十位上数字为，这个两位数为． 故答案为：．···························7分 18．（8分） 【答案】1或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；由题意易得，然后由可知，则有，进而代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，···························2分 ∵， ∴， ∴，···························4分 ∴当时，； 当时，． ∴的值为1或．···························8分 19．（8分） 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)阴影部分的面积是384平方米 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积=长方形的面积个圆的面积，进行列式化简，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积=长方形的面积个圆的面积， 则有：平方米， 故阴影部分的面积为平方米；···························4分 （2）解：当，时，阴影部分的面积为： （平方米）， 故阴影部分的面积是384平方米．···························8分 20．（8分） 【答案】(1)方案一需支付的费用为元；方案二需支付的费用为元； (2)当时，该公司选择方案一更省钱；当时，该公司选择方案二更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，能根据所给优惠方案分别表示出两种方案的费用是解题的关键． （）根据所给优惠方式，用含x的代数式分别表示出两种方案所需费用即可； （）当和时，结合（）中的代数式进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题知，方案一需支付的费用为元；···························2分 方案二需支付的费用为元；···························4分 （2）解：当时， 方案一：（元）；方案二：（元）， 因为， 所以该公司选择方案一更省钱； 当时， 方案一：（元），方案二：（元）， 因为， 所以该公司选择方案二更省钱．···························8分 21．（9分） 【答案】(1)2.5，B (2)①平方米；②塑胶跑道的建造费用是390000元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据题意用1000除以周长可得圈数，根据4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为100米，结合图形，即可求解； （2）①根据足球场和缓冲区的总面积是长方形的面积加上两个半圆的面积，列出代数式即可求解；②根据总面积减去足球场和缓冲区的总面积求得塑胶跑道的面积进而乘以100，代入，即可求解． 【详解】（1）解：（圈），D区域到B区域恰好为半圈， ∵第一圈（最短圈）周长为400米；直道长为100米． ∴米，两个半圆的长分别为米， ∴4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为100米 ∴终点位于D区域，那么起点应在它的对面的点即点B． 故答案为：2.5，B；···························2分 （2）解：①足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆， 足球场和缓冲区的总面积是平方米；······················5分 ②总占地面积为平方米， 塑胶跑道的面积为， 当时， 总费用为：（元）， 答：塑胶跑道的建造费用是390000元．···························9分 22．（9分） 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤解答即可； （2）由，得即，代入解答即可； （3）由，得，整体代入计算即可． 本题考查了解一元一次方程，求代数式的值，整体思想的应用，熟练掌握解方程，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：， 解得．···························3分 （2）解：由，得即， 故， 故原式．···························6分 （3）解：由，得， ．···························9分 23．（11分） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ；···························3分 （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ；···························6分 （3）解： ．···························11分 24．（12分） 【答案】(1)，，，8 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据中点的意义，结合推理即可完成填空； （2）根据角平分线的定义及角的和差关系，即可完成求解； （3）①根据覆盖的面积为两张餐垫面积的和减去两张餐垫重叠部分的面积即可计算； ②设从上往下三张餐垫分别记为，上下两个阴影部分的面积分别为，三张餐垫的共同部分面积为，求出餐垫A、B的盖住桌面的面积，求出加上C餐垫后增加的面积，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：因为点，分别是线段，的中点． 所以，． 所以． 因为． 所以．···························4分 （2）解：∵、分别是，的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴；···························7分 （3）解：①；···························9分 ②如图，设从上往下三张餐垫分别记为，上下两个阴影部分的面积分别为，三张餐垫的共同部分面积为，则， 餐垫A、B的盖住桌面的面积为，则， 加上C餐垫后增加的面积为， 两式相加得， ∴．···························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式的意义，根据代数式的运算顺序与各部分含义，匹配对应的文字叙述即可． 【详解】解：∵表示a的3倍，表示b的一半， ∴表示a的3倍与b的一半的差，与选项A的叙述一致； ∵选项B对应的代数式为，选项C对应的代数式为，选项D对应的代数式为，均与原代数式不符． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）用代数式表示x的4倍与y的和的平方，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式．根据题意，“的倍”表示为，“与的和”即，“的平方”表示整体平方，因此代数式为． 【详解】解：用代数式表示x的4倍与y的和的平方为， 故选：A． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，利用平方数与绝对值的非负性求出m、n的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任何数的平方是非负数，任何数的绝对值是非负数， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， 将，代入代数式中： 原式 ． 5．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）长方体的底面是边长为的正方形，当长方体的高变化时，长方体的体积随之发生变化，关于①、②的说法，下列判断正确的是（    ） ①V与h的关系式为；②h每增加，V就增加 A．①、②都对 B．①、②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】根据长方体体积公式得出V与h的关系式，再根据关系式分析h变化时V的变化情况． 【详解】分析①：∵长方体底面是边长为的正方形，根据正方形面积公式可得， 将代入体积公式， ∴，故①正确； 分析②：由①可知，当h增加时，即变为，此时体积， ∴体积增加的值为，故②正确， 综上，①、②都对． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图是嘉琪的小测试卷，她的得分是（    ） 填空题（每小题25分，共100分）姓名：嘉琪得分_________ 1．如果代数式的值为7，那么代数式的值为． 2．在墙壁上用两枚钉子就能固定一根横放的木条，根据是两点确定一条直线． 3．如图，在数轴上，注明了三段的范围，的倒数在数轴上表示的点所在的范围是（①） 4．将一副三角板按图示位置摆放，其中α和β的关系是互补． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值、两点确定一条直线、数轴和角的计算，掌握相应知识点是解决本题的关键．根据相应知识点进行判断，再结合每小题25分进行计算分数即可． 【详解】解：1．如果代数式的值为7， 即 ∴ ∴，故第1题不正确． 2．在墙壁上用两枚钉子就能固定一根横放的木条，根据是两点确定一条直线，故第2题正确． 3．如图，在数轴上，注明了三段的范围，的倒数为在数轴上表示的点所在的范围是（②），故第3题不正确 4．将一副三角板按图示位置摆放，其中，则α和β的关系不是互补，故第4题不正确． ∵每小题25分， ∴得分为：分 故选：A． 7．（25-26七年级上·河北沧州·期中）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，若用n表示一个人的年龄，则这个人运动时能承受的每分钟心跳的最高次数为次．正常情况下，20岁的青年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是（    ） A．16次 B．160次 C．176次 D．200次 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值． 将年龄代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴最高次数（次）． 故选：B． 8．（25-26七年级上·河北承德·期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果为20的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 对每个选项分别判断大小关系，再代入对应的运算程序中计算，再根据计算结果判断即可． 【详解】解：A、，即，则输出结果是：，故本选项不符合题意； B、，即，则输出结果是：，故本选项不符合题意； C、，即，则输出结果是：，故本选项符合题意； D、，即，则输出结果是：，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的意义，熟练掌握将文字叙述转化为代数式并进行对比是解题的关键．通过将甲、乙的叙述转化为代数式，与给定代数式 对比判断． 【详解】∵ 甲的叙述“x的2倍与y的和”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，甲错误； ∵ 乙的叙述“苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，乙错误； ∴ 甲、乙都不正确， 故选D． 10．（25-26七年级上·广西来宾·期中）如图所示，有一种塑料杯子的高度是，两个这种杯子叠放时高度为，三个这种杯子叠放时高度为，则个这种杯子叠放在一起高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探索数字与图形的规律、列代数式，由图形可知，每增加个杯子，高度增加，所以个杯子增加了个，列出代数式即可． 【详解】解：由图可知，个杯子的高度是，个杯子的高度是，个杯子的高度是， 每增加个杯子，高度增加， 个这种杯子叠放在一起高度是． 故选：A． 11．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）三个长方形的长都为a，宽都为b，图1中内部空白部分为半圆；图2中2个圆完全相同；图3中8个圆完全相同，三个图形中阴影部分的面积分别记为，，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当，时， A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式及其应用，涉及了长方形与圆的面积公式，阴影部分的面积是两种图形面积的差．此题是代数式在实际生活中的应用． 图1中阴影部分的面积是长方形与半圆的差；图2中为长方形与两个小圆的差；图3中为长方形与八个小圆的差；分别求出它们的值后再比较即可得到结论． 【详解】解：由图1可得，，故结论Ⅰ错误； 由图2，3可得，， ∴当，时，， 故结论Ⅱ正确， 故选：B． 12．（2025·河北唐山·三模）四位同学分别用四种不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．； Ⅳ．． 则正确的对应关系是（　　） A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ C．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅳ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 【答案】C 【分析】根据图形的不同分割方式分割成几个简单图形，然后计算每个部分的面积，用代数式表示，与题目中给出的代数式进行对应，即可找出正确的匹配关系． 【详解】解：图分割成两个小长方形的面积，再求和，面积之和为，与II配对； 图分割成两个小长方形和一个小正方形的面积，再求和，面积之和为，与Ⅲ配对； 图用大长方形的面积减去左下角小长方形的面积，即，与IV配对； 图计算大长方形的面积，即，与I配对． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·青海·模拟预测）已知，则______． 【答案】5 【分析】先根据已知等式求出的值，再将所求代数式变形为含的形式，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 14．（25-26七年级上·河北邢台·期末）记，．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当时，．若x和M，N的值如下表所示，则________． x c b a b 【答案】81 【分析】本题考查了求代数式的值，代入到，求出对应N的值，得出a的值，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 故答案为：81． 15．（25-26七年级上·河北保定·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，，0，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为_____． 【答案】或8 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，代数式求值．根据题意求出横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和为，再根据规律求解即可． 【详解】解：根据横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等， 得出， 由得， ，，，，0，3，4，5这8个数的和是， ∴内、外两圈上的4个数字之和都是， 由得， 由得， ∴，，或，， ∴，或， 故答案为：或8． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知正方形的边长为． （1）如图1-1，正方形各边的中点分别为E，F，G，H，依次连接四个中点，得到四边形的面积为______； （2）如图1-2，点分布在正方形的边上，且有．连接，得到八边形．设，则八边形的面积为______（用含的代数式表示）． 【答案】 50 【分析】本题考查了列代数式，熟练利用作差法求面积是解题的关键． （1）利用正方形面积减去四个直角三角形的面积即可解答； （2）利用正方形面积减去四个直角三角形的面积即可解答． 【详解】解：（1）正方形各边的中点分别为E，F，G，H， ， 四边形的面积为， （2）， ， 则八边形的面积为， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级上·河北保定·期中）用代数式表示． (1)用元购买件单价为元的文具后剩余的钱； (2)个位上数字为，十位上数字为的两位数． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据剩余的钱数为总钱数减去花费列式即可． （2）本题考查整式中列代数式，准确地理解十位上数字是几则表示几个十，个位上数字为几则表示几个一是解决问题的关键．即十位数字乘以10加上个位数字即可． 【详解】（1）解：购买件单价为元的文具，总花费为元．用a元购买，剩余应找回的钱数为总钱数减去花费即元． 故答案为：元．···························3分 （2）解：个位上数字为，十位上数字为，这个两位数为． 故答案为：．···························7分 18．（8分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）若有理数满足，且，求的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；由题意易得，然后由可知，则有，进而代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，···························2分 ∵， ∴， ∴，···························4分 ∴当时，； 当时，． ∴的值为1或．···························8分 19．（8分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，是一个长方形休闲广场的平面示意图，长为米，宽为米，其中4个半圆部分是修建的花坛，种植各种花卉，半径为r米，其余（阴影）部分是铺设的小石子路面．（花坛壁厚不计） (1)请用含a，r的式子表示出阴影部分的面积；（保留） (2)若，取3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)阴影部分的面积是384平方米 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积=长方形的面积个圆的面积，进行列式化简，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积=长方形的面积个圆的面积， 则有：平方米， 故阴影部分的面积为平方米；···························4分 （2）解：当，时，阴影部分的面积为： （平方米）， 故阴影部分的面积是384平方米．···························8分 20．（8分）（25-26七年级上·河北沧州·期中）【新情境•营销问题】金丝小枣是河北沧州特产．某经销商对金丝小枣礼盒进行优惠促销，对购买个礼盒以上的客户有以下两种销售方案： 方案一：每个礼盒元，由经销商承担运费； 方案二：每个礼盒元，客户需要承担运费元． 某公司计划购买个金丝小枣礼盒． (1)请用含的代数式分别表示该公司按方案一、二购买时需支付的费用； (2)当和时，分别判断该公司选择哪个方案更省钱． 【答案】(1)方案一需支付的费用为元；方案二需支付的费用为元； (2)当时，该公司选择方案一更省钱；当时，该公司选择方案二更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，能根据所给优惠方案分别表示出两种方案的费用是解题的关键． （）根据所给优惠方式，用含x的代数式分别表示出两种方案所需费用即可； （）当和时，结合（）中的代数式进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题知，方案一需支付的费用为元；···························2分 方案二需支付的费用为元；···························4分 （2）解：当时， 方案一：（元）；方案二：（元）， 因为， 所以该公司选择方案一更省钱； 当时， 方案一：（元），方案二：（元）， 因为， 所以该公司选择方案二更省钱．···························8分 21．（9分）（25-26七年级上·河北·期末）综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑_____圈，若终点位于D区域，那么起点应在_____区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米100元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取3） 【答案】(1)2.5，B (2)①平方米；②塑胶跑道的建造费用是390000元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据题意用1000除以周长可得圈数，根据4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为100米，结合图形，即可求解； （2）①根据足球场和缓冲区的总面积是长方形的面积加上两个半圆的面积，列出代数式即可求解；②根据总面积减去足球场和缓冲区的总面积求得塑胶跑道的面积进而乘以100，代入，即可求解． 【详解】（1）解：（圈），D区域到B区域恰好为半圈， ∵第一圈（最短圈）周长为400米；直道长为100米． ∴米，两个半圆的长分别为米， ∴4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为100米 ∴终点位于D区域，那么起点应在它的对面的点即点B． 故答案为：2.5，B；···························2分 （2）解：①足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆， 足球场和缓冲区的总面积是平方米；······················5分 ②总占地面积为平方米， 塑胶跑道的面积为， 当时， 总费用为：（元）， 答：塑胶跑道的建造费用是390000元．···························9分 22．（9分）（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）阅读理解：我们知道．．类似的，我们可以把看成一个整体，则．"整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程： (2)已知，则_______． (3)已知，则________． 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤解答即可； （2）由，得即，代入解答即可； （3）由，得，整体代入计算即可． 本题考查了解一元一次方程，求代数式的值，整体思想的应用，熟练掌握解方程，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：， 解得．···························3分 （2）解：由，得即， 故， 故原式．···························6分 （3）解：由，得， ．···························9分 23．（11分）（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ；···························3分 （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ；···························6分 （3）解： ．···························11分 24．（12分）（25-26七年级上·湖北荆州·期末）综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 (1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 …… 因为点，分别是线段，的中点． 所以，________． 所以________________． 因为． 所以________． 【知识迁移】 (2)小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 (3)有一种面积为的正方形餐垫． ①如图3，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是________（用含的代数式表示）； ②如图4，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是________（用含，，的代数式表示）． 【答案】(1)，，，8 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据中点的意义，结合推理即可完成填空； （2）根据角平分线的定义及角的和差关系，即可完成求解； （3）①根据覆盖的面积为两张餐垫面积的和减去两张餐垫重叠部分的面积即可计算； ②设从上往下三张餐垫分别记为，上下两个阴影部分的面积分别为，三张餐垫的共同部分面积为，求出餐垫A、B的盖住桌面的面积，求出加上C餐垫后增加的面积，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：因为点，分别是线段，的中点． 所以，． 所以． 因为． 所以．···························4分 （2）解：∵、分别是，的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴；···························7分 （3）解：①；···························9分 ②如图，设从上往下三张餐垫分别记为，上下两个阴影部分的面积分别为，三张餐垫的共同部分面积为，则， 餐垫A、B的盖住桌面的面积为，则， 加上C餐垫后增加的面积为， 两式相加得， ∴．···························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $