第三章 代数式（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 七年级上册代数式单元能力提升卷，融合杨辉三角、进位制等文化素材与水泥运输等实际问题，覆盖整式运算、规律探究等核心知识，适配单元复习与分层能力训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|同类项、多项式次数等基础概念|第5题杨辉三角规律探究，培养抽象能力与创新意识| |填空题|8/24|几何图形分割、数字规律等|第11题正方形剪拼求长方形长，体现几何直观与空间观念| |解答题|10/72|整式化简、实际应用、跨学科探究|20题水泥运输费用计算（模型意识）、25题进位制转换（数学语言表达），发展运算能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·新疆·开学考试）下列说法中，正确的是（） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，那么的值为（　　） A． B．5 C．3 D．9 4．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）有一个运算程序：若，则且．按程序运算，若，则（    ） A．73 B．89 C．97 D．108 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）如果单项式与是同类项，那么_________． 10．（25-26七年级上·江西宜春·期中）多项式的常数项是__________． 11．（25-26九年级下·江苏·周测）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）张先生、王先生和李先生共同开了一家股份制公司，张先生占股，王先生的占股数量是张先生的，李先生比王先生少占股，则该公司总共有________股． 13．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，…，则第2024次输出的结果为___． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）数学家欧拉最先把关于的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于__________． 16．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 18．（5分）（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 20．（6分）（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 21．（6分）（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【教材呈现】 在苏科版七年级上册95页有这样的一道探究题，从1-9这9个数字中任选两个数字，分别用，表示，由，可以组成两个两位数．如果将这两个两位数相减，你有什么发现？ 聪明的小正发现它们的差能被9整除． （1）若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为_______； （2）在（1）的条件下，你能说明小正的想法是正确的吗？ 【迁移尝试】 （3）当五位数能被9整除时，________； 【拓展应用】 （4）判断能否被9整除，请说明理由． 22．（8分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 23．（8分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）我们知道，像9，45，108，999…这样的正整数能被9整除，一般地，如果一个正整数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个正整数就能被9整除．你知道其中的道理吗？ (1)当该正整数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为a，b，通常记这个两位数为，则 ①= ②，显然②能被9整除，因此，当能被9整除时，就能被9整除．请将横线上内容补充完整： (2)参考上述方法，当该正整数是三位数时，请给出解释； (3)如果一个正整数满足 时，该正整数能被5整除，请对该正整数是四位数时予以解释． 24．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，求出关于x的方程的解； (3)已知关于x的二次多项式，经过处理后得到一次多项式，求的值． 25．（10分）（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 26．（10分）（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； C、，计算错误，故C错误，不符合题意； D、，符合合并同类项法则，计算正确，故D正确，符合题意． 2．（25-26七年级下·新疆·开学考试）下列说法中，正确的是（） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 【答案】A 【详解】解：∵单项式的数字因数为，即系数是，∴A说法正确，符合题意； ∵单项式的系数为，次数为，∴B说法错误，不符合题意； ∵多项式的最高次项是，次数为，该多项式是三次三项式，∴C说法错误，不符合题意； ∵多项式的最高次项是，次数为，即多项式的次数是， ∴D说法错误，不符合题意． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，那么的值为（　　） A． B．5 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，运用整体代入思想，将待求式变形为含已知式的形式后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 5．（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察已知三个等式，总结各部分的变化规律，即可推导出下一个等式． 【详解】解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ∴规律为：第n个等式中，左边第一个乘数是从1开始的连续n个正整数组成的数，加号后的加数是n，结果是从9开始依次递减1的连续n个正整数组成的数. ∴下一个等式对应 ，第一个乘数为1234，加数为4，结果为9876，即等式为． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）有一个运算程序：若，则且．按程序运算，若，则（    ） A．73 B．89 C．97 D．108 【答案】A 【分析】根据题意先计算出，进而得到，，，，，，，据此可得，则可求出，进而可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， 同理可得，， ，， ，， ……， 以此类推可知，（k为正整数）， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入中计算即可． 【详解】解：∵， 当时，得：， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，由题意可知长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和，设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为，列出等式，从而有，又块阴影长方形的周长之和为，再化简代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和， 设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为， ∴可得， 解得：， ∴块阴影长方形的周长之和为 ， ， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）如果单项式与是同类项，那么_________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，据此列出关于、的方程，求出、的值后，代入代数式计算即可. 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得，， . 10．（25-26七年级上·江西宜春·期中）多项式的常数项是__________． 【答案】 【分析】根据常数项是不含字母的项求解即可． 【详解】解：多项式的常数项是． 11．（25-26九年级下·江苏·周测）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 【答案】 【分析】根据拼图的过程可得出长方形的长即可． 【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）张先生、王先生和李先生共同开了一家股份制公司，张先生占股，王先生的占股数量是张先生的，李先生比王先生少占股，则该公司总共有________股． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用． 根据题意，先求王先生的占股，再求李先生的占股，最后将三人占股相加即可． 【详解】解：∵张先生占股，王先生的占股数量是张先生的， ∴王先生占股为， ∵李先生比王先生少占股， ∴李先生占股为， 总占股为． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，…，则第2024次输出的结果为___． 【答案】2 【分析】观察运算程序的结果发现，从第四次输出结果开始，每三次循环一次，依次为4、2、1，即可得解． 【详解】解：开始输入的值为7， 则第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， …… 观察发现，从第四次输出结果开始，每三次循环一次，依次为4、2、1， ， 第2024次输出的结果为2． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 【答案】 【分析】根据规律，第n个数为，时，三个数的和最大；时，三个数的和最小； 【详解】解：根据题意，得1，，4，，16，，……， 其规律是，，， ，，， 故第n个数为， 由三张卡片上的数字乘积为， 故三数之和的最大值为； 由三张卡片上的数字乘积为， 故三数之和的最小值为； 故 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）数学家欧拉最先把关于的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，关键是整体代入思想的应用；根据已知条件求出 的值，再整体代入的表达式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素是解题的关键． 先求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，2依次循环，且，则可求解的值． 【详解】解：，是的差倒数， ， 是的差倒数， ， 是的差倒数， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ；··································2分 （2）解： ．··································5分 18．（5分）（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式去括号、合并同类项得到最简结果，再利用平方和绝对值的非负性求出的值，代入最简结果计算即可得到最终答案． 【详解】解：原式 ，··································2分 ∵，，且， ∴，， 解得，··································4分 将，代入， 得．··································5分 19．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得．··································3分 （2）解：当时， ， ， ．··································6分 20．（6分）（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 【答案】(1)吨，吨 (2) (3)545 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）用表示出、两个仓库分别向、运送的吨数，再乘以每吨的运费，然后合并起来即可； （3）把代入（2）中的代数式，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为吨，从B仓库运到D工地的水泥为吨；····························2分 （2）解：把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费为： 元；··································4分 （3）解：当时，（元）， 如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为元．··································6分 21．（6分）（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【教材呈现】 在苏科版七年级上册95页有这样的一道探究题，从1-9这9个数字中任选两个数字，分别用，表示，由，可以组成两个两位数．如果将这两个两位数相减，你有什么发现？ 聪明的小正发现它们的差能被9整除． （1）若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为_______； （2）在（1）的条件下，你能说明小正的想法是正确的吗？ 【迁移尝试】 （3）当五位数能被9整除时，________； 【拓展应用】 （4）判断能否被9整除，请说明理由． 【答案】（1） （2）解： ， ∵是9的倍数， ∴差能被9整除． （3）或 （4）解：能被9整除，理由如下： ， ∴能被9整除． 【分析】本题主要考查了列代数式、乘法分配律及幂的运算，熟练掌握代数式的表示方法、因式分解的技巧和能被9整除的数的特征是解题的关键． （1）根据两位数的数位表示方法，十位数字为、个位数字为的两位数，直接用代数式表示． （2）先写出两个两位数的代数式，再计算它们的差，通过因式分解判断差是否为9的倍数． （3）根据能被9整除的数的特征：各位数字之和能被9整除，建立方程求解． （4）先对原式进行因式分解和化简，再判断结果是否为9的倍数． 【详解】（1）解：若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为， 故答案为：；··································1分 （2）略··································2分 （3）解：∵，五位数能被9整除， ∴能整除， ∴或， 故答案为或；··································4分 （4）略··································6分 22．（8分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第5个等式即可； （2）观察可知，相差为2的两个正整数的积与1的和等于较小的正整数与1的和的平方，据此可得答案； （3）先把每个小括号内的式子通分，再根据（2）所求把对应分数的分子进行替换，进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解：依照上述规律，第5个式子为， 故答案为：；··································2分 （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：；··································4分 （3）解：原式 ．··································8分 23．（8分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）我们知道，像9，45，108，999…这样的正整数能被9整除，一般地，如果一个正整数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个正整数就能被9整除．你知道其中的道理吗？ (1)当该正整数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为a，b，通常记这个两位数为，则 ①= ②，显然②能被9整除，因此，当能被9整除时，就能被9整除．请将横线上内容补充完整： (2)参考上述方法，当该正整数是三位数时，请给出解释； (3)如果一个正整数满足 时，该正整数能被5整除，请对该正整数是四位数时予以解释． 【答案】(1)①：② (2) 当该自然数是三位数时，设它的百位、十位、个位上的数字分别为c，d，e，记这个三位数为，则 ． 因为能被9整除，所以当能被9整除时，就能被9整除． (3)个位数字是0或5 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，表示三位数和两位数，四位数的方法，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，即可作出判断； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，表示出三位数，验证即可； （3）设四位数的千位、百位、十位、个位分别为a、b、c、d，则四位数，由能被5整除，得到当或时，四位数就能被5整除，即可解答． 【详解】（1）解：依题意，得：， 故答案为：①：②；··································2分 （2）略··································4分 （3）解：设四位数的千位、百位、十位、个位分别为a、b、c、d， 则四位数 ， ∵能被5整除， ∴当或时，四位数就能被5整除． 故答案为：个位数字是0或5．··································8分 24．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，求出关于x的方程的解； (3)已知关于x的二次多项式，经过处理后得到一次多项式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式加减的应用，解一元一次方程； （1）根据新定义，先计算二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差，作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项，即可写出多项式； （2）根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）先根据定义列出多项式，结合题意，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵，二次项系数为，一次项系数为，差为，常数项为 ∴··································2分 （2）解：∵，二次项系数为，一次项系数为，差为，常数项为 ∴ ∵ ∴ ··································4分 （3）解：∵，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ∴ ∵ ∴， 解得：， ∴··································8分 25．（10分）（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一，···························2分 （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：，··································4分 （3）解：将十二进制转化为十进制数为：，··································6分 （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：．··································10分 26．（10分）（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 【答案】(1) (2)①6；；②1③④的值为或8 【分析】本题考查列代数式、整式的加减以及解一元一次方程，正确理解“伴生多项式”是解答本题的关键． （1）根据“伴生多项式”的定义解答即可； （2）①先求出，再代入，求出，即可； ②先求出，再求得，根据差不含有二次项得； ③求出，根据与多项式的值相等列方程，求出，代入方程，求解方程得m的值； ④分别求出，代入，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据定义得：， 故答案为：；··································2分 （2）解：①， 当时， ； ； 故答案为：6；；··································4分 ②∵， ∴ ∴ ∵差不含有二次项，即二次项系数为0， ∴， 解得， 故答案为：1；··································6分 ③∵， ∴， 又与多项式的值相等， ∴， 解得， 把代入方程得：， 解得：··································8分 ④∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， 综上，的值为或8． 故答案为：或8．··································10分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·新疆·开学考试）下列说法中，正确的是（） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，那么的值为（　　） A． B．5 C．3 D．9 4．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）有一个运算程序：若，则且．按程序运算，若，则（    ） A．73 B．89 C．97 D．108 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）如果单项式与是同类项，那么_________． 10．（25-26七年级上·江西宜春·期中）多项式的常数项是__________． 11．（25-26九年级下·江苏·周测）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）张先生、王先生和李先生共同开了一家股份制公司，张先生占股，王先生的占股数量是张先生的，李先生比王先生少占股，则该公司总共有________股． 13．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，…，则第2024次输出的结果为___． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）数学家欧拉最先把关于的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于__________． 16．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 18．（5分）（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 20．（6分）（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 21．（6分）（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【教材呈现】 在苏科版七年级上册95页有这样的一道探究题，从1-9这9个数字中任选两个数字，分别用，表示，由，可以组成两个两位数．如果将这两个两位数相减，你有什么发现？ 聪明的小正发现它们的差能被9整除． （1）若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为_______； （2）在（1）的条件下，你能说明小正的想法是正确的吗？ 【迁移尝试】 （3）当五位数能被9整除时，________； 【拓展应用】 （4）判断能否被9整除，请说明理由． 22．（8分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 23．（8分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）我们知道，像9，45，108，999…这样的正整数能被9整除，一般地，如果一个正整数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个正整数就能被9整除．你知道其中的道理吗？ (1)当该正整数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为a，b，通常记这个两位数为，则 ①= ②，显然②能被9整除，因此，当能被9整除时，就能被9整除．请将横线上内容补充完整： (2)参考上述方法，当该正整数是三位数时，请给出解释； (3)如果一个正整数满足 时，该正整数能被5整除，请对该正整数是四位数时予以解释． 24．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，求出关于x的方程的解； (3)已知关于x的二次多项式，经过处理后得到一次多项式，求的值． 25．（10分）（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 26．（10分）（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D D A A A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13．2 14． 15． 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ；··································2分 （2）解： ．··································5分 18．（5分） 【答案】， 【分析】先对原式去括号、合并同类项得到最简结果，再利用平方和绝对值的非负性求出的值，代入最简结果计算即可得到最终答案． 【详解】解：原式 ，··································2分 ∵，，且， ∴，， 解得，··································4分 将，代入， 得．··································5分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得．··································3分 （2）解：当时， ， ， ．··································6分 20．（6分） 【答案】(1)吨，吨 (2) (3)545 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）用表示出、两个仓库分别向、运送的吨数，再乘以每吨的运费，然后合并起来即可； （3）把代入（2）中的代数式，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为吨，从B仓库运到D工地的水泥为吨；····························2分 （2）解：把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费为： 元；··································4分 （3）解：当时，（元）， 如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为元．··································6分 21．（6分） 【答案】（1） （2）解： ， ∵是9的倍数， ∴差能被9整除． （3）或 （4）解：能被9整除，理由如下： ， ∴能被9整除． 【分析】本题主要考查了列代数式、乘法分配律及幂的运算，熟练掌握代数式的表示方法、因式分解的技巧和能被9整除的数的特征是解题的关键． （1）根据两位数的数位表示方法，十位数字为、个位数字为的两位数，直接用代数式表示． （2）先写出两个两位数的代数式，再计算它们的差，通过因式分解判断差是否为9的倍数． （3）根据能被9整除的数的特征：各位数字之和能被9整除，建立方程求解． （4）先对原式进行因式分解和化简，再判断结果是否为9的倍数． 【详解】（1）解：若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为， 故答案为：；··································1分 （2）略··································2分 （3）解：∵，五位数能被9整除， ∴能整除， ∴或， 故答案为或；··································4分 （4）略··································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第5个等式即可； （2）观察可知，相差为2的两个正整数的积与1的和等于较小的正整数与1的和的平方，据此可得答案； （3）先把每个小括号内的式子通分，再根据（2）所求把对应分数的分子进行替换，进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解：依照上述规律，第5个式子为， 故答案为：；··································2分 （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：；··································4分 （3）解：原式 ．··································8分 23．（8分） 【答案】(1)①：② (2) 当该自然数是三位数时，设它的百位、十位、个位上的数字分别为c，d，e，记这个三位数为，则 ． 因为能被9整除，所以当能被9整除时，就能被9整除． (3)个位数字是0或5 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，表示三位数和两位数，四位数的方法，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，即可作出判断； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，表示出三位数，验证即可； （3）设四位数的千位、百位、十位、个位分别为a、b、c、d，则四位数，由能被5整除，得到当或时，四位数就能被5整除，即可解答． 【详解】（1）解：依题意，得：， 故答案为：①：②；··································2分 （2）略··································4分 （3）解：设四位数的千位、百位、十位、个位分别为a、b、c、d， 则四位数 ， ∵能被5整除， ∴当或时，四位数就能被5整除． 故答案为：个位数字是0或5．··································8分 24．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式加减的应用，解一元一次方程； （1）根据新定义，先计算二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差，作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项，即可写出多项式； （2）根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）先根据定义列出多项式，结合题意，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵，二次项系数为，一次项系数为，差为，常数项为 ∴··································2分 （2）解：∵，二次项系数为，一次项系数为，差为，常数项为 ∴ ∵ ∴ ··································4分 （3）解：∵，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ∴ ∵ ∴， 解得：， ∴··································8分 25．（10分） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一，···························2分 （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：，··································4分 （3）解：将十二进制转化为十进制数为：，··································6分 （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：．··································10分 26．（10分） 【答案】(1) (2)①6；；②1③④的值为或8 【分析】本题考查列代数式、整式的加减以及解一元一次方程，正确理解“伴生多项式”是解答本题的关键． （1）根据“伴生多项式”的定义解答即可； （2）①先求出，再代入，求出，即可； ②先求出，再求得，根据差不含有二次项得； ③求出，根据与多项式的值相等列方程，求出，代入方程，求解方程得m的值； ④分别求出，代入，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据定义得：， 故答案为：；··································2分 （2）解：①， 当时， ； ； 故答案为：6；；··································4分 ②∵， ∴ ∴ ∵差不含有二次项，即二次项系数为0， ∴， 解得， 故答案为：1；··································6分 ③∵， ∴， 又与多项式的值相等， ∴， 解得， 把代入方程得：， 解得：··································8分 ④∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， 综上，的值为或8． 故答案为：或8．··································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $