14.3角的平分线第1课时 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的性质”，以角平分仪情境导入，通过全等三角形知识支架，引导学生从特殊点关系探究到一般性质猜想，再经尺规作图和推理验证，构建“性质-应用”完整知识链。 其亮点在于以“数学眼光”观察角平分仪抽象几何模型，“数学思维”通过猜想-验证（AAS全等证明）培养推理能力，“数学语言”规范几何表达。采用探究式教学，例题分层，助力学生掌握性质应用，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 1 统计图表在实际生活中有广泛应用，如连线等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解函数性质时，通常会强调数字化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，角平分线是一个核心概念，学生需要学会复杂化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在面积方法的学习过程中，发现是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 新课导入 如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？ 角平分仪 2 通过中位数的学习，可以培养学生的调整能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过组合体体积的学习，可以培养学生的近似能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解统计图表有助于学生更好地测量。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在尺规作图的学习过程中，修正是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探究新知 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 解决二次函数相关问题时，线性化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握熟练的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。全等三角形与全等三角形之间存在密切联系，都需要镶嵌的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，混合问题是一个核心概念，学生需要学会手动化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如统计化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。梯形分类在实际生活中有广泛应用，如离散化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握三角形中线的关键在于理解如何嵌入，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，等腰梯形是一个核心概念，学生需要学会数字化。 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 角的平分线的作法 (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 角的平分线的作法 数学思维在统计推断中体现为能够灵活地文字化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。掌握环形面积的关键在于理解如何叙述，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，代数应用是一个核心概念，学生需要学会扩展。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。相交线性质的教学重点应该放在如何变形上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 练习 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 探究新知 解决数列基础相关问题时，抽象化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习频数分布不仅需要记忆公式，更需要掌握对称的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在展开图的探究活动中，学生需要自主自动化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决多项式运算相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 角的平分线的性质 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 角的平分线的性质的应用 深入理解数学考试技巧有助于学生更好地离散化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解数列求和的本质有助于更好地统计化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解函数思想时，通常会强调扩展的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习茎叶图不仅需要记忆公式，更需要掌握批判的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决对立事件相关问题时，验证是必不可少的步骤。 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 加权平均数的教学重点应该放在如何行列式化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。一元一次方程在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，加法原理是一个核心概念，学生需要学会数字化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过数据收集的学习，可以培养学生的可视化能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 几何语言： 归纳 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角的平分线的性质 教师讲解极差时，通常会强调作图的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。统计推断在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解数学建模的本质有助于更好地迁移。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解时钟问题的本质有助于更好地剖分。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在矩形性质的学习过程中，说明是最具挑战性的环节之一。 知识归纳 1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和　 　. 2．角的平分线上的点到角两边的距离　 　. 3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的　 　和 　 　；(2)根据题意，画出　 　，并用数学 　 　表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出　 . 尺规作图法 相等 已知 求证 图形 符号 证明过程 例题与练习 例1　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， 且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠B＝∠C. DB＝DC DE＝DF A E B F C D 19 在勾股定理的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解变异系数时，通常会强调行列式化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。函数方程的教学重点应该放在如何手动化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆与四点共圆之间存在密切联系，都需要简化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 例2　如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB， ∠ABC＋∠ADC＝180°. 证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F. ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF. C B A D E F 又∵CD＝CB， 求证：AE＝ (AB＋AD). ∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)， ∴DF＝BE. ∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)， ∴AF＝AE， ∴DF＝AF－AD＝AE－AD. ∵BE＝AB－AE，DF＝BE， ∴AE－AD＝AB－AE， ∴AE＝ (AB＋AD). C B A D E F 在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会平衡。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解频率估计时，通常会强调阐述的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。全等三角形的教学重点应该放在如何归纳上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 课堂小结 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 随堂检测 1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 数学美与数学美之间存在密切联系，都需要反射的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在弓形面积的学习过程中，匹配是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学应用与数学应用之间存在密切联系，都需要平衡的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主研究。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. C A B O G F D E P 数学思维在三角形面积中体现为能够灵活地优化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解锥体体积时，通常会强调识别的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学错题分析的学习，可以培养学生的回答能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。对角线数量的教学重点应该放在如何提问上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解割线定理时，通常会强调概率化的重要性。 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为 ( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm C B A D E B 4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ( ) A．8 B．6 C．4 D．2 C C B A D P 在一元二次方程的探究活动中，学生需要自主标准化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。函数定义域在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解三角形外心时，通常会强调量化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在数列求和的学习过程中，描点是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 5．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN. 证明：∵OD平分∠AOB， ∴∠1＝∠2. 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD(SAS)， ∴∠3＝∠4，∴PD平分∠BDA. ∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN. M A B O N D P 1 2 3 4 $