培优专题03 一元二次方程全章压轴题汇总（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程三大核心考点，通过题型分类构建从基础含参到几何综合的递进训练体系，强化推理能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判别式Δ相关含参问题|3题型×5题|含参范围、恒有实根、整数根条件|从根的存在性判定到参数限定，构建逻辑推理链条| |根与系数关系|2题型×5题|代数式求值、新定义应用|基于韦达定理实现代数变形与创新情境迁移| |几何综合|3题型×5题|线段长度、动点、面积结合|以方程为工具解决几何度量与动态问题，体现模型意识|

专题03 一元二次方程重难点压轴 常考题型·精准突破 考点一 判别式 Δ 相关含参问题 题型1 已知方程根的个数求参数范围 题型2 证明无论参数取何值，方程总有实数根 题型3 结合整数根条件，求参数整数值 考点二 根与系数关系（韦达定理） 题型 1：不解方程，求两根代数式的值 题型2：新定义 考点三 一元二次方程与几何综合 题型1：利用方程的根求线段长度 题型2：动点问题 题型3：一元二次方程与面积类结合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 判别式 Δ 相关含参问题 ◆题型1已知方程根的个数求参数范围 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 2．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 4．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 5．我们规定：对于任意实数，，，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲． (1)若▲，求的值； (2)若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围． ◆题型2 证明无论参数取何值，方程总有实数根 1．关于的一元二次方程总有实数根，则的取值范围（   ） A．且 B．且 C． D．且 2．若关于x的一元二次方程(k-2)x2+4x=1总有两个不相等实数根，则k的取值范围是___________ 3．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 5．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值； （3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值． ◆题型3 结合整数根条件，求参数整数值 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 2．使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有______． 4．若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数为______． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 考点二 根与系数关系（韦达定理） ◆题型1不解方程，求两根代数式的值 1．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，，则__________． 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 5．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． ◆题型2 新定义 1．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 2．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 3．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 4．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 考点三 一元二次方程与几何综合 ◆题型1利用方程的根求线段长度 1．已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，其中，a、b、c为互不相等的正数．则以 为长度的三条线段顺次连接所形成的三角形 (    ) A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．这样的三角形不存在 2．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且满足，连接，且与对角线交于点G，若，则的长度为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，为的中线，，点在上，，若，则线段的长度为_______． 4．如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 5．如图，矩形在平面直角坐标系中，，的长度是的两根，． (1)求点的坐标． (2)把沿对折，点落在点处，线段与轴交于点，在平面上是否存在点，使、、、四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型2 动点问题 1．在矩形中，，，点P为边上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，满足，且点B与点Q分别在直线的两侧，连接，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C． D． 2．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点F处，连接，当线段取最小值时，线段的长为______． 4．如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，动点在轴正半轴上，，动点自点向终点运动，动点自点向点运动．连接、交于点．且点、点同时出发，同时停止，并都以单位长度秒的速度运动．已知线段的长是方程的一个根．    (1)如图1，当点为线段中点时，求点的坐标． (2)如图2，猜想线段和线段的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，求的面积． ◆题型3 一元二次方程与面积类结合 1．在矩形中，，，点P为边上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，满足，且点B与点Q分别在直线的两侧，连接，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C． D． 2．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点F处，连接，当线段取最小值时，线段的长为______． 4．如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，动点在轴正半轴上，，动点自点向终点运动，动点自点向点运动．连接、交于点．且点、点同时出发，同时停止，并都以单位长度秒的速度运动．已知线段的长是方程的一个根．    (1)如图1，当点为线段中点时，求点的坐标． (2)如图2，猜想线段和线段的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，求的面积． 综合攻坚·知能拔高 1．如果关于的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 4．如图，菱形周长为6，对角线，的长度分别是关于的一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 6．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 7．新定义：已知y是x的函数，若函数图像上存在一点，则称点P为函数图像上的“关联点”，例如：直线上存在的“关联点”是直线与直线的交点，即“关联点”的坐标为． (1)若抛物线上存在两个“关联点”，两个“关联点”横坐标之差2，求k的值； (2)若二次函数的图像上存在唯一的“关联点”，求此时n的最小值． 8．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元二次方程重难点压轴 常考题型精准突破 ●考点一判别式△相关含参问题● ◆题型1已知方程根的个数求参数范围 1.D 2.A 3.-2<m<- 1 4.k>- 4且k≠0 2 5. 【详解】(1)由题可知：x(x-2)+6=9, x2-2x+6=9, x2-2x-3=0, 解得：x=-1或x3=3； (2)由题意得，x&(x+1)Amx=x(x)+x+1=0, .mx2+x+1=0, :关于x的方程x&(c+)▲rx=0有两个不相等的实数根， .△=12-4m1>0且m≠0， 解得m< 4且m≠0： ◆题型2证明无论参数取何值，方程总有实数根 1.B 2.k>-2且k2 3. 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】a证明：A=[(2k+明-16k-习 =4k2+4k+1-16k+8 =4k2-12k+9 =(2k-3)}20, ∴无论k为何值，方程总有两个实数根 (2)解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， -42+04-0 ∴k=2.5 ∴方程为：x2-6x+8=0. .x=2或r=4. ∴.等腰三角形的三边为：4,4,2. 周长为：4+4+2=10： ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， .△=(2k-32=0 .k=1.5 方程为：x2-4x+4=0,解得：七=x3=2, 2+2=4, .不满足三角形三边关系。 故当k为2.5时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为10. 4. (1) 证明：△=(2m+1)°-4(m2+m）=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0, ∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根： (2)解：设方程的两根为a,b, 由韦达定理可知，a+b=-(2m+1),ab=m2+m 方程两个实数根的平方和等于5，即a2+b2=5, 又a2+b2=(a+b)}2-2ab, 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .[-(2m+10]-2(m2+m)=5, 整理，得m2+m-2=0, 解得m=1或m=-2, 当m=1时，方程为x2+3x+2=0,解得x=-l,为3=-2 当m=-2时，方程为x2-3x+2=0,解得x=1x3=2: 综上，m=1,根为-1，-2；或m=-2,根为1,2. 5. 【详解】解：(1)证明：当+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0, 解得：x=1: 当k+10,即k#1时，△=(3k1)24(k+1)(2k-2)=-6k+9=(k-3)2≥0， ·方程有实数根， 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根： (2)方程有两个整数根， -张+3.与1》2- 光 2(k+1） 2(k+1)k+1 2k+1,且任-1， 2为整数，k为正整数， .k=1或k3: 白2得=1,5=2且1 解得：k-3或=0， 经检验~3或=0是原方程的解， 故k的值为-3或0 ◆题型了结合整数根条件，求参数整数值 1.D 2.B 3.3,6,7,9,15 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.2,1,0,-1,-3 5. 1) 证明：：a=1,b=-(2m+1),c=m2+m。 .△=b2-4ac=[-(2m+1]-4(m2+m）=1>0, ∴.无论取何值，方程都有两个不相等的实数根： (2)解：x2-(2m+1)x+m2+m=0, :△=b2-4ac=[-(2m+1)]-4(m2+m）=1>0, ∴.方程都有两个不相等的实数根， x=-b±F-4ae_2m+1t1 2a 2, .x=m+l或x=m, 为>x2, .x=m+1 ,+ . 3=1+3=1+3 x m+1, .+3 为整数， 3 “m+也为整数， ,m为整数， m+1=±1或m+1=3. ∴整数m所有可能的值为-4，-2,0,2. 。考点二根与系数关系（韦达定理）。一 ◆题型1不解方程，求两根代数式的值 1.D 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.A 33 4.1 5. (2)①证明：a,P是方程的根， .a2=a+1,B2=B+1, .Sn-2+S=a0-2+Bm-2+a+B-=a21+a)+B-21+B). 因为a2=a+1,B2=B+1. 所以原式=a-2.ac2+B-2·B2=a”+B”=S ②a,B是方程x2-x-1=0的两根， .a+B=1,aB=-1, S,=a2+B2=(a+B)2-2aB=1+2=3: 由①知：S,=S6+S, =S+S4+S4+S =S4+S3+2S4+S3 =3S4+2S =3(S,+S2)+2S, =5S3+3S2 =5(S2+S)+3S, =5S1+8S =5(a+B)+8(a2+B2) =29 ◆题型2新定义 1.c 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 4. 【详解】(1)解：①解方程x2+x=0得=0，x3=-1, x-x2=0-(-1)=1, 方程x2+x=0是“邻根方程”： ②解方程x2-2x+1=0得=x2=1, x-x2=1-1=0 ∴.方程x2-2x+1=0不是“邻根方程”： ③解方程x2+3x+2=0得x=-1,x2=-2, x-x2=-1-(-2)=1, .方程x2+3x+2=0是“邻根方程” 综上可知，“邻根方程”为：①③. (2)解：解方程(x-2)(x+n)=0得：x=2,x2=-n, ,该方程是“邻根方程”， 2-（-n）=1或-n-2=1, 解得：n=-1或n=-3」 (3)解：一元二次方程r+br+C=0为“邻根方程”， ∴.b2-4ac>0, :设方程+如+e=0的丙个银为x5则+=台，名名=后k-5小1 (G-x2)2=12, -=6+广-46(8告-1， a a2 .b2-4ac=a2. 5. 【详解】四解：方程2-2x-3=0的快乐数”为F1-2-9)=41×:3引-2-4： 4×1 (2)解：方程r2-(2m-l)x+m2-2m-3=0, 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、.△=b2-4ac=[-(2m-1)]-4×1x(m2-2m-3)=4m+13, 1<m<6, .17<4m+13<37, 又方程x2-(2m-)x+m-2m-3=0是“快乐方程”，且m为整数， 2m-1±√_2m-1±V4m+13 ∴.方程的根x= 2×1 为整数， 2 .4m+13为完全平方数， ∴.4m+13=25或36， 23 六m=3?m=4(舍去)， .方程为：x2-5x=0。 .F,-5,0) 4×1×0-(-5y.25 4×1 25 “其“快乐数”数是一4： (3)解：根据题意得，FL,6c)4c-h 4×1 =-n, b2-4c=4n, ,方程x2+bx+c=0的两根为x,x2, +2=b,=c, .（0x-x)=(x-x)}=x2+x2-2xx2=(x+x}-4xx2=b2-4c=4n, =v4n=2vn :x2+bx+c=0是“快乐方程”， .,2是整数， x-x=V4n=2√n是整数， n为正整数， .n为完全平方数， k-x2≤4， (0压-xl0≤16， 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4n≤16， ∴n≤4， ∴.n=1或4， F(1,b,c)=-n=-1或-4. ·考点三一元二次方程与几何综合● ◆题型1利用方程的根求线段长度 1.B 2.D 3.8 4.62 5. 【详解】(1)解：方程x2-12x+32=0可因式分解为(x-4(x-8)=0, 解得=4，x=8, .OB>OA. OA=4,OB=8, 在Rt△A0B中，AB=VOB2-OA=V82-42=4V5, 在矩形OABC中，OC=AB=4V3, ∴B点的坐标为(4V3,4). (2)解：存在，点坐标为 3,4 454 由翻折的性质可得∠BAC=∠BAC, 在矩形OABC中，AB1IOC, .∠BAC=∠OCA, ∠B'AC=∠OCA, .AD=CD 设OD=x,则CD=4W3-x, 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△AOD中，OD=x,OA=4, .AD=V0D2+0A=V2+4=√x2+16, AD=CD, 2+16=45-x即(N+16=45-x, 则+16=48-8V5x+,解得x=5 点坐标为 D 0C=43, ∴C点坐标为4V3,0), 当以CD为D、C、B、P四点形成的平行四边形的对角线，如图， B 则点B(4V5,4)向下平移4个单位长得到点C(45,0), 多·0向下平移4个单位长印可得到点P 点D 45 4v3 点坐标为 4 3， 当以BD为D、C、B、P四点形成的平行四边形的对角线，如图， B D C 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则点C(45,0)向上平移4个单位长得到点B(45,4）, 向上平移4个单位长即可得到点P 4v3 3,4 45 .点坐标为 P 34 当以BC为D、C、B、P四点形成的平行四边形的对角线，如图， B 0 D C 43 则点D3,0 向右平移8y5个单位长得到点c4W5,0) 3 点B(45,4)向右平移85 20v5, 个单位长即可得到点P 3,4 20V5 点坐标为 3,4 综上，在平面上存在点P,使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形， 则点坐标为 ◆题型2动点问题 1.c 2.C 4.2或4或8 5. 【详解】(1)解：解方程x2-4x-12=0 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即(x+2)(x-6)=0 解得：x=-2,x2=6 ∴.BD=6, :点A(0,6), .A0=6, 依题意，AC=OD 当点C为线段OA中点时， .OD=AC=3, .OB=OD+DB=3+6=9. .B(9,0) (2)解：设AC=t,则OC=6-t, 则OB=OD+BD=AC+6=6+t, 在Rta0BC中，BC2=0C2+0B2=(6-t}+(6+)}=72+22, 在Rt△A0D中，AD2=OD2+A02=62+2=36+t2, .BC2=2AD2, .BC=2AD: (3)解：如图所示，过点D作DE⊥x轴，且DE=OD,连接OE,则aODE是等腰直角三角形，连接CE BE, B E 依题意，AC=OD, .DE=AC 则四边形ACED是平行四边形， .'AD=CE, 在△AOD和△BDE中 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AO=BD=6 ∠AOD=∠BDE=90° OD=DE ∴.△AOD≌ABDE .'AD=BE ∴CE=BE, 由(2)可得BC=V2AD 则CE2+BE2=2AD2=BC2 .△BCE是直角三角形， 又CE=BE,则△BCE是等腰直角三角形， ∴∠BCE=45°， AD∥CE .∠BFD=∠BCE=45°， ∠DFB=2∠OBC :∠0BC=)∠DFB=22.5°. .∠DBE=22.5°， 在Rt△OCB中，∠0CB=90°-∠OBC=90°-22.5°=67.5°， ∴∠0CE=∠0CB-∠ECB=67.5°-45°=22.5°， :∠DEB=90°-∠DBE=67.5°， .∠0EC=∠0ED+∠DEB-∠CEB=45°+67.5°-90°=22.5°， ∴.∠OCE=∠OEC ..OE=OC. 设AC=OD=a,则OC=6-a=OE, 在RtAODE中，OE=V2OD=V2a, ∴6-a=V2a, 6 解得：a=2+6(5-)-65-6,则0c-2a=12-62 ·D(62-6,0）,则B(62,0) 设直线AD的解析式为y=mx+6,则(6N2-6)m+6=0 解得：m=-√2-1 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “直线4D的解析式为y=（V2-x+6, 设直线BC的解析式为：y=x+12-6√2」 将B(6W2,0)代入得，6N2m+12-6N2=0 解得：n=1-√2 ∴直线BC的解析式为：y=(1-V2)x+12-6√2 y=(2-x+6 联立 y=(1-V2)x+12-62 x=3√2-3 解得： y=3 ∴.F点的纵坐标为3， ·AEBD的面积为5BDx32X6×3=9 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数的应用，全等三角形的性质，勾股定理求两点距离，熟练 掌握以上知识关键， ◆题型3一元二次方程与面积类结合 1.C 2.c 3.4 4.2或4或8 5. 【详解】(1)解：解方程x2-4x-12=0 即(x+2)(x-6)=0 解得：x=-2,:2=6 BD=6, :点A(0,6), .A0=6, 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 依题意，AC=OD, 当点C为线段OA中点时， .'.OD=AC=3, .OB=OD+DB=3+6=9. B(9,0): (2)解：设AC=t,则OC=6-t, 则OB=OD+BD=AC+6=6+t, 在Rta0BC中，BC2=0C2+0B=(6-t)}+(6+}=72+2r, 在Rt△AOD中，AD2=OD2+AO2=62+2=36+2, .BC2=2AD2, :.BC=AD: (3)解：如图所示，过点D作DE⊥x轴，且DE=OD,连接OE,则△ODE是等腰直角三角形，连接CE, BE, 依题意，AC=OD, .DE=AC 则四边形ACED是平行四边形， ∴AD=CE, 在△AOD和△BDE中 AO=BD=6 ∠AOD=∠BDE=90° OD=DE ∴.△AOD≌ABDE ∴.AD=BE ∴.CE=BE, 14/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)可得BC=V2AD 则CE2+BE2=2AD2=BC2 “.△BCE是直角三角形， 又CE=BE,则△BCE是等腰直角三角形， ∴.∠BCE=45°， 'AD∥CE .∠BFD=∠BCE=45°， .∠DFB=2∠OBC :∠0BC=)∠DFB=2.5°. .∠DBE=22.5°， 在Rta0CB中，∠0CB=90°-∠0BC=90°-22.5°=67.5°， ∴.∠0CE=∠0CB-∠ECB=67.5°-45°=22.5°， ∠DEB=90°-∠DBE=67.5°， ∠OEC=∠OED+∠DEB-∠CEB=45°+67.5°-90°=22.5°， ∴.∠OCE=∠OEC ..OE=OC. 设AC=OD=a,则OC=6-a=OE, 在RtAODE中，OE=V2OD=V2a, ∴.6-a=V2a, 解得：a==6个5-小-65-6，则0ca=l2-6万 :D(62-6,0,则B6W2,0) 设直线AD的解析式为y=mr+6,则(6N2-6)m+6=0 解得：m=-√2-1 ∴直线4D的解析式为y=(√2-)x+6, 设直线BC的解析式为：y=x+12-6N2, 将B(6W2,0)代入得，62n+12-6N2=0 解得：n=1-√2 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线BC的解析式为：y=(1-V2)x+12-62 y=(-2-x+6 联立 y=(1-V2)x+12-62 x=32-3 解得： y=3 ∴.F点的纵坐标为3， AFBD的面积为)BDx3=)x6x3=9. 2 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数的应用，全等三角形的性质，勾股定理求两点距离，熟练 掌握以上知识关键 综合攻坚·知能拔高 1.C 2.A 3.D 4.B 5.4,6,8,12 6.59 7. 【详解】(1)解：，抛物线y=x+3x+2-k上存在两个“关联点”， ∴.a+2=a2+3a+2-k,即a2+2a-k=0, :.△=22-4×1×(-k)=4+4k>0,即k>-1, .a1+a2=-2,a02=-k, 4-4=2, .(a-a=4,即(a,+a2)2-4a,a2=4, :（-2)-4(-k)=4,解得：k=0. (2)解：由题意可得：a+2女+3-)加+n+1,即42+2-加+n+1-2=0有且仅有两个相等的实 4 数根， 16/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=0-八-4好a+-2刘-0，a=-:6-4 5 1 “当=2时，n有最小值4 8 【详解】(1)解：如图.过A作AE⊥CD于E,过点P作PF⊥CD于F, AP B D EF oc AB IICD,∠C=90°， ∠B=∠C=90°， ∴，四边形PBCF、四边形ABCE是矩形， .PF=BC=AE,CE=AB=6cm,CF=PB, 在Rt△AED中，AD=5cm,DE=CD-CE=4cm, .AE=AD2-DE2=V52-42=3cm, 由题意，AP=2icm,CF=PB=(6-2)cm,CQ=tcm, 在Rt△PFg中，PF=AE=3cm,F0=|CF-Cg=l6-2t-t=l6-3t, 由FQ2+PF2=PQ得6-3+32=52， :4号693（不合思意合去） 答：经过3秒钟，点pQ之间的距离为5cm (2)不存在，理由如下 假设存在t值，使得PD恰好平分∠APO,则∠APD=∠DPg, A P B D .AB II CD ∠APD=∠PDg, .∠DPQ=∠PD0. 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DO=PO. :Pg2=(6-3)2+32,Dg2=(10-, .(3-6)}2+32=(10-t2, 解得5-1+3 4,5=1-34 4 0<t≤3， ∴.两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得PD恰好平分∠APQ 18/18 专题03 一元二次方程重难点压轴 常考题型·精准突破 考点一 判别式 Δ 相关含参问题 题型1 已知方程根的个数求参数范围 题型2 证明无论参数取何值，方程总有实数根 题型3 结合整数根条件，求参数整数值 考点二 根与系数关系（韦达定理） 题型 1：不解方程，求两根代数式的值 题型2：新定义 考点三 一元二次方程与几何综合 题型1：利用方程的根求线段长度 题型2：动点问题 题型3：一元二次方程与面积类结合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 判别式 Δ 相关含参问题 ◆题型1已知方程根的个数求参数范围 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 2．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 3．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围． 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 4．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 【答案】 且 2 【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大于0，据此求出的取值范围； 若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合的取值范围求出最小整数即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实根， ∴该方程为一元二次方程，可得， ∵方程有两个不相等的实根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且； 若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式必须是完全平方数，即 为完全平方数 设（为正整数），则， 当时，，不符合，舍去， 当时，，符合条件， ∴整数的最小值为． 5．我们规定：对于任意实数，，，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲． (1)若▲，求的值； (2)若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据新定义，将方程左边写成，然后解一元二次方程； （2）根据新定义，将方程化成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式列不等式解题即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ， 解得：或； （2）由题意得，▲， ∴， ∵关于的方程▲有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． ◆题型2 证明无论参数取何值，方程总有实数根 1．关于的一元二次方程总有实数根，则的取值范围（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且△， 解之得且． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 2．若关于x的一元二次方程(k-2)x2+4x=1总有两个不相等实数根，则k的取值范围是___________ 【答案】k＞-2且k≠2 【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得出Δ＝42−4(k-2)×(-1)＞0且k−2≠0，求出k的取值即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程(k-2)x2+4x=1有两个不相等的实数根， ∴Δ＝42−4(k-2)×(-1)＞0且k−2≠0， 解得：k＞-2且k≠2， 故答案为：k＞-2且k≠2． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键． 3．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】(1) 证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)，根为，；或，根为1，2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 5．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值； （3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0 【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论； （2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值； （3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解． 【详解】解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0， 解得：x=-1； 当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0， ∴方程有实数根， 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）∵方程有两个整数根， ∴，，且k≠﹣1， ∵x2为整数，k为正整数， ∴k=1或k=3； （3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1， ∴|x1-x2|=， 解得：k=-3或k=0， 经检验k=﹣3或k=0是原方程的解， 故k的值为﹣3或0． 【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键． ◆题型3 结合整数根条件，求参数整数值 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 2．使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解与一元二次方程根的判别式，解题的关键是分别求出不等式组中的取值范围和方程有实数根时的取值范围，再确定符合条件的整数并求和． 先解不等式组得到解集，根据整数解个数确定的范围；再根据一元二次方程有实数根的条件（判别式且二次项系数不为0）确定的范围，取公共部分的整数求和． 【详解】解：由解得：； 由解得：． 故解集为． 因有且只有3个整数解（0、1、2），故，解得． 对于一元二次方程， 由得； 由，得． 结合得且，整数为3、4，和为． 故选：B． 3．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有______． 【答案】3，6，7，9，15 【分析】本题考查了含待定字母的一元二次方程的整数解，求解待定字母的取值．熟练掌握一元二次方程和一元一次方程解的整数性，分情况进行求解，是解答本题的关键． 分、和三种情况考虑，当或9时求出x的值，以此确定或9是否合适；当（，利用分解因式法找出的值，根据以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论． 【详解】解：∵， 当，即 时， 原方程为， 解得：， ∴合适； 当，即时， 原方程为， 解得， ∴合适； 当，即且 时, ∵， ∴原一元二次方程有有理根， ∵， ∴，， ∴，， ∵x是整数，a是整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a的值符合的有： 3，7，15． 综上，符合条件的整数的值有3，6，7，9，15． 4．若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数为______． 【答案】2，1，0，，． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次不等式组的整数解和根的判别式等知识点，先根据根的判别式和一元二次方程的定义求出的范围，再求出不等式组的解集，再根据题意得出的值． 【详解】解：整数使得关于的一元二次方程有实数根， ，，解得且， 由，解得，故， 因为最多有6个整数解，所以， 综上所述，整数可以为2，1，0，，． 故答案为：2，1，0，，． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）略 （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 考点二 根与系数关系（韦达定理） ◆题型1不解方程，求两根代数式的值 1．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 2．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 3．已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 5．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． ◆题型2 新定义 1．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 2．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 3．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 4．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 考点三 一元二次方程与几何综合 ◆题型1利用方程的根求线段长度 1．已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，其中，a、b、c为互不相等的正数．则以 为长度的三条线段顺次连接所形成的三角形 (    ) A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．这样的三角形不存在 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，根据一元二次方程 有两个相等的实数根，得到判别式等于0，勾股定理的逆定理，结合已知解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，且二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴， ∴①， ∵a、b、c为互不相等的正数． 设①是关于的一元二次方程， 公式法解方程得：，即， 令 ， ， ，则边长分别为 ， 由于 互不相等且为正数， 情形一：当，则 ， 代入 ， ， ，得：， 边长满足 ，且 ，互不相等， 情形二：当（不妨设），则 ， 代入 ， ， ，得：， ∴以 为长度的三条线段顺次连接所形成的三角形是直角三角形． 故选：B． 2．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且满足，连接，且与对角线交于点G，若，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质及解一元二次方程，过点作，设边长为．由，得．．，由角平分线性质得，得出设，则．再列方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，设边长为．由，得． 在中，． 在中， 故， 如图，过点作， 为正方形对角线，平分，即． 由于在上，， 因此平分． 在中，平分， ， ， 设，则． 又 故   由，得 解得：（负值舍去）， 因此，的长度为． 故选：D． 3．如图，在中，，为的中线，，点在上，，若，则线段的长度为_______． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，构造全等三角形，将转化到. 由得出，设，表示出和的长. 过点作，利用角解直角三角形求出和，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 延长至，使，连接 为的中线 在与中 设 过点作于点 在中，， 由勾股定理得 在中， 整理得 解得，（不合题意，舍去） ． 4．如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，求出,证明，得到则，根据得到，解得或（不合题意，舍去）．即可求出的长度． 【详解】解：作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴, ∵点D是边的中点， ∴ ∴， ∴ ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，,， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． 5．如图，矩形在平面直角坐标系中，，的长度是的两根，． (1)求点的坐标． (2)把沿对折，点落在点处，线段与轴交于点，在平面上是否存在点，使、、、四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或或 【分析】（1）先求解出方程的两根，再结合勾股定理求出的长度，由此可得点的坐标． （2）根据翻折的性质可得，再由矩形的性质可得，即可得，利用角的关系得到，设，利用勾股定理以及对应边相等求解出点的坐标，再分类讨论以为平行四边形的对角线，以为平行四边形的对角线，以及以为平行四边形的对角线，利用点的平移的特征求解点坐标即可． 【详解】（1）解：方程可因式分解为， 解得，， ∵． ∴，， 在中，， 在矩形中，， ∴点的坐标为． （2）解：存在，点坐标为或或 由翻折的性质可得， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即， 则，解得， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为， 当以为、、、四点形成的平行四边形的对角线，如图， 则点向下平移4个单位长得到点， ∴点向下平移4个单位长即可得到点； ∴点坐标为； 当以为、、、四点形成的平行四边形的对角线，如图， 则点向上平移4个单位长得到点， ∴点向上平移4个单位长即可得到点； ∴点坐标为； 当以为、、、四点形成的平行四边形的对角线，如图， 则点向右平移个单位长得到点， ∴点向右平移个单位长即可得到点； ∴点坐标为； 综上，在平面上存在点，使、、、四点形成的四边形为平行四边形， 则点坐标为或或． ◆题型2 动点问题 1．在矩形中，，，点P为边上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，满足，且点B与点Q分别在直线的两侧，连接，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为，然后作辅助线构建三垂直全等三角形，证明，设点，利用全等三角形的性质可得，根据两点间的距离公式可得与m的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为， 过点P作轴于点H，作于点G，则，四边形是矩形，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是（当时取得最小值）． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用和配方法的应用等知识，构建平面直角坐标系和全等三角形是解题的关键． 2．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，过点A作于点H，过点P作于点G，连接，由图象可得，，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，求出，进而求出，解直角三角形求出，进而求出，由角平分线的定义得到，设，则，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，过点P作于点G，连接， 当点P在上运动时，的面积为定值， 由图象可得点P运动到点B时，运动时间为，的面积为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， 设，则， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点F处，连接，当线段取最小值时，线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据题意可得当点A，F，C三点共线时，取得最小值，此时，过点E作于点G，过点C作交的延长线于点H，则，，结合直角三角形的性质可得，设，则，，，， 在中，利用勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴当点A，F，C三点共线时，取得最小值，此时， 如图，过点E作于点G，过点C作交的延长线于点H，则，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 【答案】2或4或8 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，动点在轴正半轴上，，动点自点向终点运动，动点自点向点运动．连接、交于点．且点、点同时出发，同时停止，并都以单位长度秒的速度运动．已知线段的长是方程的一个根．    (1)如图1，当点为线段中点时，求点的坐标． (2)如图2，猜想线段和线段的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先解一元二次方程，得出，依题意，，当点为线段中点时，则，根据，即可求解； （2）设，则，在、中，勾股定理求得，即可求解； （3）如图所示，过点作轴，且，则是等腰直角三角形，连接，，证明四边形是平行四边形，，由（2）可得，进而可得是等腰直角三角形，则，进而得出，则，设，则，勾股定理得出，则，则，进而得出直线的解析式为，直线的解析式为：，联立求得点的纵坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：解方程 即 解得： ∴， ∵点， ∴， 依题意，， 当点为线段中点时， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，且，连接，则是等腰直角三角形，连接，，    依题意，， ∴ 则四边形是平行四边形， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴， 由（2）可得 则 ∴是直角三角形， 又，则是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， 在中，，   ∴， 解得：，则 ∴，则 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为：， 将代入得， 解得： ∴直线的解析式为： 联立 解得：， ∴点的纵坐标为， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数的应用，全等三角形的性质，勾股定理求两点距离，熟练掌握以上知识关键． ◆题型3 一元二次方程与面积类结合 1．在矩形中，，，点P为边上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，满足，且点B与点Q分别在直线的两侧，连接，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为，然后作辅助线构建三垂直全等三角形，证明，设点，利用全等三角形的性质可得，根据两点间的距离公式可得与m的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为， 过点P作轴于点H，作于点G，则，四边形是矩形，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是（当时取得最小值）． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用和配方法的应用等知识，构建平面直角坐标系和全等三角形是解题的关键． 2．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，过点A作于点H，过点P作于点G，连接，由图象可得，，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，求出，进而求出，解直角三角形求出，进而求出，由角平分线的定义得到，设，则，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，过点P作于点G，连接， 当点P在上运动时，的面积为定值， 由图象可得点P运动到点B时，运动时间为，的面积为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， 设，则， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点F处，连接，当线段取最小值时，线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据题意可得当点A，F，C三点共线时，取得最小值，此时，过点E作于点G，过点C作交的延长线于点H，则，，结合直角三角形的性质可得，设，则，，，， 在中，利用勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴当点A，F，C三点共线时，取得最小值，此时， 如图，过点E作于点G，过点C作交的延长线于点H，则，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 【答案】2或4或8 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，动点在轴正半轴上，，动点自点向终点运动，动点自点向点运动．连接、交于点．且点、点同时出发，同时停止，并都以单位长度秒的速度运动．已知线段的长是方程的一个根．    (1)如图1，当点为线段中点时，求点的坐标． (2)如图2，猜想线段和线段的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先解一元二次方程，得出，依题意，，当点为线段中点时，则，根据，即可求解； （2）设，则，在、中，勾股定理求得，即可求解； （3）如图所示，过点作轴，且，则是等腰直角三角形，连接，，证明四边形是平行四边形，，由（2）可得，进而可得是等腰直角三角形，则，进而得出，则，设，则，勾股定理得出，则，则，进而得出直线的解析式为，直线的解析式为：，联立求得点的纵坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：解方程 即 解得： ∴， ∵点， ∴， 依题意，， 当点为线段中点时， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，且，连接，则是等腰直角三角形，连接，，    依题意，， ∴ 则四边形是平行四边形， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴， 由（2）可得 则 ∴是直角三角形， 又，则是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， 在中，，   ∴， 解得：，则 ∴，则 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为：， 将代入得， 解得： ∴直线的解析式为： 联立 解得：， ∴点的纵坐标为， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数的应用，全等三角形的性质，勾股定理求两点距离，熟练掌握以上知识关键． 综合攻坚·知能拔高 1．如果关于的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程已有一个根，方程有三个根要求二次式对应的一元二次方程有两个实根，则，再结合三角形三边关系列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：由方程，可得一个根， ∵方程有三个根， ∴有两个实根， ∴， 解得， 设一元二次方程的两个根为， ∴，， ∵三角形边长为正数，，     ∴， ∵三个根可作为三角形三边，，已满足两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴， 代入，得，， 解得， 综上所述，的取值范围为． 2．若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零．即分母恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴分母为二次函数恒不为零，， ∴方程无实数根， ∴，解得． 故选A． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 4．如图，菱形周长为6，对角线，的长度分别是关于的一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，，变形后代入求出m的值即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，，不符合题意，舍去， 即． 5．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 6．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 7．新定义：已知y是x的函数，若函数图像上存在一点，则称点P为函数图像上的“关联点”，例如：直线上存在的“关联点”是直线与直线的交点，即“关联点”的坐标为． (1)若抛物线上存在两个“关联点”，两个“关联点”横坐标之差2，求k的值； (2)若二次函数的图像上存在唯一的“关联点”，求此时n的最小值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、“关联点”的定义等知识点，理解“关联点”的定义是解题的关键． （1）根据“关联点”等式定义可得关于a的方程，然后再运用根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式求得k的值即可； （2）根据“关联点”等式定义可得有且仅有两个相等的实数根，然后再运用根的判别式表示出n，然后运用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线上存在两个“关联点”， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，解得：． （2）解：由题意可得：，即有且仅有两个相等的实数根， ∴，即， ∴当时，n有最小值． 8．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由如下 假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知识，理解题意是解答的关键． （1）过A作于E，过点P作于F，先证明四边形、四边形是矩形得到，，，分别在和中利用勾股定理求解即可； （2）假设存在t值，使得恰好平分，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而可得，利用勾股定理求得t值，根据t值的取值范围可得结论． 【详解】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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