培优专题01 一元二次方程的解法全方法归纳（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本专项系统归纳一元二次方程解法，以“考点-题型-方法”逻辑构建训练体系，覆盖配方法、公式法及特殊解法，突出通性通法与技巧迁移，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配方法|3题型/15题|直接开平方法步骤、配方技巧及最值应用|从直接开方到配方转化，再到代数最值，体现从特殊到一般的推理| |公式法|3题型/15题|判别式应用、参数求解及公式法步骤|基于配方法推导求根公式，形成“判别式-求根-参数分析”逻辑链| |其它解法|2题型/10题|因式分解（含十字相乘）、换元法整体代换|通过因式分解简化运算，换元法实现复杂方程转化，培养模型意识|

专题01 一元二次方程的解法全方法归纳 常考题型·精准突破 考点一 配方法 题型1 直接开平方法 题型2 配方法（重） 题型3 配方法的应用 考点二 公式法 题型1 判别式判别根的情况（高频） 题型2 已知根求参数 题型3 公式法解方程 考点三 其它解法 题型1 因式分解法（难） 题型2 换元法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 配方法 ◆题型1直接开平方法 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．方程的根为________． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．解方程： 5．解方程： ◆题型2 配方法 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 3．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 4．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 5．用配方法解方程： (1)． (2)． ◆题型3 配方法的应用 1．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 3．若，当________时，的最大值是________． 4．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 5．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 考点二 公式法 ◆题型1判别式判别根的情况 1．一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 2．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 4．关于的一元二次方程的根的情况是______． 5．已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． ◆题型2 已知根求参数 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 2．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 4．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 5．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根 ◆题型3 公式法解方程 1．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 3．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 4．用公式法解方程： (1)； (2)． 5．用公式法解一元二次方程：． 考点三 其它解法 ◆题型1因式分解法 1．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 2．方程的解是 _____． 3．解方程： 4．解方程 (1) (2) 5．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型2 换元法 1．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 3．若，则的值为___________． 4．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 5．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 综合攻坚·知能拔高 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 2．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 3．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 4．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 5．已知，则___________． 6．若，则代数式的值为__________． 7．方程的解为___________． 8．解方程： (1) (2)（配方法） 9．用适当的方法解方程： (1) (2) 10．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 11．解方程 (1) ； (2)； (3)； (4)． 12．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 14．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 15．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的解法全方法归纳 常考题型·精准突破 考点一 配方法 题型1 直接开平方法 题型2 配方法（重） 题型3 配方法的应用 考点二 公式法 题型1 判别式判别根的情况（高频） 题型2 已知根求参数 题型3 公式法解方程 考点三 其它解法 题型1 因式分解法（难） 题型2 换元法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 配方法 ◆题型1直接开平方法 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．方程的根为________． 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 4．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 5．解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法解一元二次方程即可，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴，． ◆题型2 配方法 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 2．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 3．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 4．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 5．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． ◆题型3 配方法的应用 1．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 2．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，由得，，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 3．若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 4．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 5．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 考点二 公式法 ◆题型1判别式判别根的情况 1．一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】C 【分析】明确一元二次方程的两个实数根包含相等与不等两种情况，结合根的判别式的取值范围判断． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， 包括两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况， 当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式． 当方程有两个相等的实数根时，根的判别式． 综上，根的判别式的值为非负数． 2．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 3．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 4．关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 5．已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 【答案】证明：当时，方程为， 此时方程有解，解为； 当时，， 此时方程有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【分析】分两种情况：当时或当时，分别进行证明即可． 【详解】略 ◆题型2 已知根求参数 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 2．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 3．关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为． 4．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 5．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． ◆题型3 公式法解方程 1．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 2．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 3．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【答案】64 【分析】先把原方程整理为一元二次方程一般形式，确定的值后代入计算即可． 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 4．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 5．用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 考点三 其它解法 ◆题型1因式分解法 1．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 2．方程的解是 _____． 【答案】 ， 【详解】解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 3．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得． 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 5．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． ◆题型2 换元法 1．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 2．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 3．若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 4．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 5．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 综合攻坚·知能拔高 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 2．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 3．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 4．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 5．已知，则___________． 【答案】或 【分析】将两个已知等式作差分解因式，分和两种情况计算的值． 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 6．若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 7．方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 8．解方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先两边同时乘以2，然后用直接开方法即可解答； （2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 9．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 10．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ，． （2）解： 或 ，． （3）解： ，． （4）解： 根据题意可知，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 利用公式法解方程得 ，． 11．解方程 (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【详解】（1）解：， 开方得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴或， 解得； （3）解：， 因式分解得，即， 解得； （4）解：， 开方得， ∴或， 解得，． 12．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 15．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的解法全方法归纳 常考题型精准突破 。考点一配方法● ◆题型1直接开平方法 1.D 2.x=3.x2=-3 3. 【详解】(1)解：x2=6, 直接开平方，得x=±V6, x=6,5=-6: (2)解：x2-900=0 移项，得x2=900, 直接开平方，得x=±30， .x=30,x2=-30 4. 【详解】解：(3x-1=4(2x+3} 3x-1=2(2x+3), 则3x-1=-4x-6或3x-1=4x+6, 5 解得：x=7,x2=-7· 5. 【详解】解：x2-1=3, x2=4, x=±2， .=2,x2=-2 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2配方法 1.C 2.C 3.14 4.-12 5. 【详解】(1)解：x2-4x-3=0 移项，得x2-4x=3」 配方，得x2-4x+22=3+22, (x-2)2=7 由此可得x-2=士万， x=2+V7,x=2-7: (2)解：x2-2x-5=0 移项，得x2-2x=5. 配方，得x2-2x+1=5+1, (x-1)2=6 由此可得x-1=±V6, x=6+1,x2=-V6+1. ◆题型3配方法的应用 1.A 2.A 3.13 4.< 5. 【详解】(1)解：：-2x2+4x+6=-2(x-1+8,,当x=1时，代数式-2x2+4x+6有最大值，这个值是 8 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：1，大，8 (2) 3x2-x+1>2x2+3x-6,理由如下： 3x2-x+1-(2x2+3x-6)=x2-4x+4+3=(x-2)2+3>0 ∴.3x2-x+1>2x2+3x-6 一●考点二公式法● ◆题型1判别式判别根的情况 1.c 2.C 3.有两个不相等的实数根 4.有两个不相等的实数根 5. 证明：当m=0时，方程为-2x+2=0, 此时方程有解，解为x=1: 当m≠0时，△=（-22-4m(2-m)=4-8m+4m2=4m2-2m+1）=4m-12≥0， 此时方程有实数根。 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根。 ◆题型2已知根求参数 1.B 2.C 3.1 4.-10 5. 【详解】(1)解：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0, 判别式△=[-2(m+1)]-4m2=8m+4, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·原方程没有实数根， ∴△<0，即8m+4<0, 1 解得：m<一2 .当m<- 2时，原方程没有实数根。 (2)解：，原方程有两个实数根， .△≥0，即8m+4≥0 解得：m之 ∴，选取满足条件的非零整数m=】(答案不唯一，符合要求即可)， ∴.原方程为x2-4x+1=0, a=1,b=-4,c=1, x=4±4x1灯-2±5， 2×1 “.x=2+V5,5=2-5 ◆题型3公式法解方程 1.B 2.C 3.64 4. 【详解】(1)解：a=3,b=-4,c=-8,且b-4ac=(-4)2-4x3×(-8)=112>0. x=-（4±22±2W5 2×3 .24,29 3 (2)解：a=1,b=2,c=-4,且b2-4ac=22-4×1×(-4)=20>0. x=2±v20 2×1 -1±5，即5=-1+5名=-15 5.. 【详解】解：一元二次方程为3x2-4W3x+2=0. 其中a=3,b=-4V3,c=2, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△=(4W3-4×3×2=24>0. :x-4W5±24_45±262W5±6 2×3 6 3， 3V6,5=25-v6 2V3+V6 解得x= 3 ●考点三其它解法● ◆题型1因式分解法 1.A 2.x=0,x2=2 3.x=x2=6 4. 【详解】(1)解：x2-2x-6=0, x2-2x=6, x2-2x+1=6+1, (x-12=7, x-1=±V7, x=1+7,为=1-万： (2)解：3x(x-1)=2x-2, 3x(x-1)=2(x-1), 3x(x-1)-2(x-1)=0. (x-1)3x-2)=0, .x-1=0或3x-2=0, =3,32=1 5. 【详解】(1)解：x2+3x+2=0 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+1)(x+2)=0 x+1=0或x+2=0 解得x=-山，2=-2： (2)解：x2-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0 解得x=2,x2=3 (3)解：x2-5x-6=0 (x-6)(x+1)=0 x-6=0或x+1=0 解得x=6,x=1: (4)解：2x2-14x-36=0 x2-7x-18=0 （x+2)(x-9)=0 x+2=0或x-9=0 解得=-2，x2=9 ◆题型2换元法 1.D 2.C 3.5或-4 4.22 5. 解得：=6,2=-1， (1)当y=6时，(-1)=6，解得x=1+V6,为2=1-V6, (2)当y=1时，(c-1)=-1,此方程无实数根， 综合(1)(2)，可得原方程的解是：x=1+√6，x2=1-√6 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.B 2.D 3.C 4.D 5.-3或9±4√6 6.4 7.x=1,x2=-3 8. 【详解】(1)解： 2(x-1=4 (x-12=8 x-1=+2W2 x=22+1,x=-2V2+1: 0 1 (2)解：2x2-x- 0 x2-11 2 4 〔-名 1 1+V5 .1-5 x = 4，3= 4 【详解】(1)解：移项，得x+2)=25, 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开方，得x+2=±5， 解得x=-2±5， =3,x2=-7: (2)解：2x2-7x+3=0, 由题意，得a=2,b=-7,c=3, b2-4ac=(-7)-4×2×3=25>0, x=7±257±5 4 4 1 “x=2,x=3 10. 【详解】(1)解：4(x-5)}=16 (x-5)}=4 x-5=+2 x=7,x2=3」 (2)解：(3x-5)2=6x-10 (3x-5)2-2(3x-5)=0 (3x-5)[(3x-5)-2]=0 (3x-5)3x-7）=0 3x-5=0或3x-7=0 5 7 (3)解：x2+4x+1=0 x2+4x=-1 x2+4x+4=-1+4 (x+2)}=3 x+2=±V3 x=-2+5,为=-2-5」 (4)解：3x2+2x-3=0 根据题意可知a=3,b=2,c=-3 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △=b2-4aC=22-4×3×(-3)=40>0 ∴.方程有两个不相等的实数根， 利用公式法解方程x=-b士vB一4c 2a 得 x=2+y4o-1+V0 6=2y401-10 2×3 3， 2×3 3 11. 【详解】(1)解：(x-3)=25, 开方得x-3=±5， ∴x-3=5或x-3=-5, 解得=8，x3=-2, (2)解：x2-8x-11=0. 整理得x2-8x=11, 配方得x2-8x+16=11+16,即(-4)=27， 开方得x-4=±35， x-4=3W5或x-4=-35, 解得x=4+35,为=4-3√3； (3)解：x(x+I)+x+1=0. 因式分解得(x+)(x+1)=0,即(x+1)2=0, 解得=3=1： (4)解：(2x+1)=(x-3), 开方得2x+1=±(x-3), 、2x+1=x-3或2x+1=3-x, 解得x=-4,=3 12. 【详解】(1)解：设A=a2+5,B=4a, 则A-B=a2+5-4a=(a-2)2+1 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以，A>B: (2)M<N.理由如下： :M=2a-lN=a2 9 ga. w-we-06-d-a1-+1o- "a-3)xo. 。123 a-2+0即N-M>0 ∴.M<N. 13. (1)证明：，该方程是关于x的一元二次方程， .m≠0 △=(2m-3)-4m(m-3) =4m2-12m+9-4m2+12m =9>0 ∴.该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根： (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得x=2m-3上5(2m-3)±3 2m 2m 水 2m,3+3=1,6-2m3-3-1-3 2m 2m m ,m为整数，且方程的两个实数根都为正整数， 1启为正数 ·m为整数，且1-3>0 3 m ,m为整数， .m的可能取值为±1，±3 当m=-1时，x2=4,两根为1和4，均为正整数： 当m=-3时，x2=2,两根为1和2，均为正整数： 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m=1时，=-2，不符合要求： 当m=3时，=0，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数. 14. 【详解】解：由(1)(2)得 (3)①x2-4x+3=(x-3)(x-1): 3x2-4x-4=(（3x+2)(x-2): 故答案为：(x-3(x-1),(3x+2)(x-2): ②x2-5x+4=0. .(x-4)(x-1)=0, x-4=0,x-1=0, =4或x3=1: ③2024x2+2019x-5=0, .(2024x-5)x+1)=0, .2024x-5=0或x+1=0, 5 ÷x=2024,为3=-1： 15. 【详解】(1)解：：(22+2y2+3(2x2+2y2-3)=135, 设x2+y2=m, 则(2m+3)(2m-3)=135, .4m2-9=135, .4m2=144 m2=36, .m=t6, m=x2+y220. x2+y2=6: 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：x2-3+2=0. -3+2=0, 设=t,则1≥0， ∴.t2-3t+2=(t-10t-2)=0, .t-1=0或t-2=0, 5=1,52=2, =1或=2， X=-1,x2=1,x3=-2,x4=2, (3)解：设最小数为x,则x(x+10x+2)(x+3)=120, 即(x2+3x)(x2+3x+2)=120. 设+3x=y,则y+2y-120=0. =-12,y2=10. ,x为正整数， .y=x2+3x=10, x=2,x2=-5<0(舍去)， 这四个整数为2,3,4,5， 故答案为：2,3,4,5】 12/12