专题01：解一元二次方程计算解答题专项训练 -2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法系统训练，按方法进阶设题，覆盖基础到综合应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|4题|含完全平方式的方程|从基础方法切入，建立降次思想| |配方法|4题|二次项系数为1或非1的方程|通过配方转化为直接开平方形式，体现转化思想| |公式法|4题|一般形式方程（含无解情况）|基于配方法推导，培养规范运算能力| |因式分解法|4题|可分解为乘积形式的方程|利用因式分解降次，强化逆向思维| |十字相乘法|4题|二次项系数为1的二次三项式|特殊因式分解技巧，提升解题效率| |指定方法|4题|限定解法的综合方程|考查特定方法的准确应用| |适当方法|4题|需选择最优解法的方程|培养方法选择与灵活应用能力| |换元法|4题|含复合未知数的方程|通过换元简化方程，发展数学抽象能力|

专题01：解一元二次方程计算解答题专项训练 ◆题型一 直接开平方法解一元二次方程 1．直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 2．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 4．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用利用直接开平方法求解即可； （2）利用利用直接开平方法求解即可； （3）利用利用直接开平方法求解即可； （4）利用利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ，． ◆题型二 配方法解一元二次方程 5．用配方法解方程： （1）． （2） 【答案】 . 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ∴． （2） 解：， ， ∴， 解得：. 6．用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 7．用配方法解方程： （1）x2+7x； （2）3x2+6x+2＝11． 【答案】（1），； （2）x1＝1，x2＝﹣3． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）x2+7x， ， ， ， ，； （2）3x2+6x+2＝11， 3x2+6x﹣9＝0， x2+2x﹣3＝0， x2+2x+1＝4， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x1＝1，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 8．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （2）先把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （3）将等式左边的式子展开，移项，合并同类项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （4）先把二次项的系数化为1，再把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴； （3）， ， ， ， ， ， ∴； （4）， ， ， ， ， ， ∴． ◆题型三 公式法解一元二次方程 9．用公式法解一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0． （2）x2﹣2x+3＝0． 【答案】（1）∴x1＝2，x2＝2． （2）∴x1＝x2． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝2， ∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2． （2）∵x2﹣2x+3＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0， ∴x， ∴x1＝x2． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤，属于中考常考题型． 10．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 11．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】 (1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 12．用公式法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)x1＝，x2＝ (2)x1＝，x2＝ 【分析】本题考查了解一元二次方程—公式法，熟练掌握解一元二次方程—公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程—公式法进行计算即可． （2）根据解一元二次方程—公式法进行计算即可． 【详解】（1）解： 原方程可化为． ，，． ， x1＝，x2＝． （2）解：原方程可化为． ，，． ， x1＝，x2＝． ◆题型四 因式分解法解一元二次方程 13．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 14．用因式分解法解方程: (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． （2）移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 15．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． （1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解． 【详解】（1）解：， ； ， ∴或， ∴，； （2）解：． ， ∴或， 解得，． 16．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：． ◆题型五 用十字相乘法解一元二次方程 17．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【详解】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 18．用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 19．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 20．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． ◆题型六 用指定的方法解一元二次方程 21．按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过移项将右边式子变形为与左边有相同因式的形式，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解． 本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧以及配方法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：，即 ， 或， 解得； （2）解：， ，即， ， ． 22．按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解答本题的关键． （1）先将方程的常数项移到等号的右边，两边再加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可； （2）先判断方程的的值，再代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ∵ ， ∴ 23．按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过移项将右边式子变形为与左边有相同因式的形式，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解． 本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧以及配方法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：，即 ， 或， 解得； （2）解：， ，即， ， ． 24．按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根； （2）用十字相乘法因式分解求出方程的根； （3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程； （4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，． （2）， ∴， ∴或， 解得：，． （3）， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，． （4）， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法． ◆题型七 用适当的方法解一元二次方程 25．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）根据配方法，可得答案； （2）根据因式分解法，可得答案． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，． 26．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解： ， 或， ，． 27．用适当的方法解下列方程： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法），解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法． （1）用配方法求解，通过配方将方程转化为完全平方式； （2）先整理为一般式，再用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 配方得：即 开方得： 解得：； （2）解：先整理方程： 展开得： 即 因式分解得： 解得：． 28．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． ◆题型八 用换元法解一元二次方程 29．小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 30．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 31．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 32．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01：解一元二次方程计算解答题专项训练 ◆题型一 直接开平方法解一元二次方程 1．直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 4．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型二 配方法解一元二次方程 5．用配方法解方程： （1）． （2） 6．用配方法解方程： (1)； (2)． 7．用配方法解方程： （1）x2+7x； （2）3x2+6x+2＝11． 8．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型三 公式法解一元二次方程 9．用公式法解一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0． （2）x2﹣2x+3＝0． 10．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 11．用公式法解方程： (1)； (2)． 12．用公式法解下列方程： (1)； (2)； ◆题型四 因式分解法解一元二次方程 13．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 14．用因式分解法解方程: (1)； (2) 15．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 16．用因式分解法解方程： (1)； (2)． ◆题型五 用十字相乘法解一元二次方程 17．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 18．用十字相乘法解方程： (1) (2) 19．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 20．用十字相乘法解方程 (1) (2) ◆题型六 用指定的方法解一元二次方程 21．按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 22．按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 23．按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 24．按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） ◆题型七 用适当的方法解一元二次方程 25．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 26．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 27．用适当的方法解下列方程： (1) (2)； 28．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) ◆题型八 用换元法解一元二次方程 29．小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 30．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 31．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 32．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $