专题02 一元二次方程的解法（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，构建从基础到难点的完整方法体系，通过分层题型训练提升运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型精准突破|6类题型，每类3-4题|直接开平方法（直接开方）、配方法（配方变形）、公式法（求根公式）、因式分解法（因式分解降次）、十字相乘法（十字交叉分解）、换元法（整体代换降次）|从基本解法到特殊解法，难度递增，形成逻辑链条| |综合攻坚知能拔高|选择3题、填空3题、解答9题|方法综合应用与辨析|结合中考考向，强化解法灵活选用，培养模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02一元二次方程的解法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1直接开平方法解一元二次方程 题型2配方法解一元二火方程（重） 题型3公式法解一元二次方程（重） 题型4因式分解法解一元二次方程（高频） 题型5十字相乘法解一元二次方程（难） 题型6换元法解一元二火方程（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1直接开平方法解一元二次方程 1. 【答案】(1)解：2(x-)2=18」 两边同时除以2，得(x-1)2=9 则x-1=3, x-1=3或x-1=-3, 解得=4，x2=-2 (2)解：3x+1-75=0, .3(x+1)2=75, .(x+12=25, .x+1=±5， 解得x=4,x2=-6 2. 【答案】(1)解：(x+5)(x-5)=x2-(W5=2-5 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .原方程化为x2-5=8, 移项，合并同类项，得x2=13, 直接开平方得x=±3： 所以原方程的根为：x=√3或x=-√3 (2)解：4(2y-3)=90y-1)2 :两边直接开平方得2(2y-3)=±3(y-1), ①当2(2y-3)=3(y-1)时，解得y=3: 9 ②当2(2y-3)=-30y-)时，解得y=7: 9 所以原方程的根为：y=3或y=7· 3. 【答案】(1)解：9x2=25, 开方得：3x=5或3x=-5, 5 解得：x3名=3： (2)解：2x2-98=0, 方程变形得：x2=49, 开方得：=7，=-7： (3)解：3(x-2=0, 方程变形为：(x-2}=0, 方程开方得：x-2=0, 解得：七=x3=2 (4)解：3(x-1=2.7, 方程变形得：(x-1)2=0.9。 开方得：x-1=±30 10: 解得：=1+30 10,本=1-3Wf0 10 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2配方法解一元二次方程 4. 【答案】(1)解：x2+2x+1=0, (x+1=0, x+1=0 为=五=-1： (2)解：2x2+4x-2=0, x2+2x=1, x2+2x+1=2,即(x+1)=2, x+1=±2，即x=-1±V2, “x=-1+V2,x2=-1-V2」 5. 【答案】(1)解：4x2-4x-1=0 4x2-4x=1 11,1 2-x+444 〔 解得；1+ 1-V2 2, X2= 2； (2)解：x2-5=2√5x x2-25x=5 x2-2V3x+3=5+3 x-5=8 x-V3=2V2 解得x=V5+2V2,x2=V5-22」 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【案1山解2x-, 23 10 24 x231 -2x=4 +僩 〔 4’ =3 4 ,- 4 (2)解：x(2x-3)=x+2 2x2-3x-x=2 2x2-4x=2 x2-2x=1, x2-2x+1=2, (x-1)2=2, x-1=tV2, 解得：x=1+W2,,=1-V2: (3)解：+35x-12=0 x2-6√5x+24=0 x2-6V3x=-24 x2-6W5x+27=-24+27 (c-33=3 x-3v5=±V3 解得：=45，x,=25 4/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3公式法解一元二次方程 7. 【答案】(1)解：a=1,b=1,c=-1, :=1P-4×1x(-1)=5>0, x=1±5-1±5 2×12 5=6 -1+V5 2，= 2 (2)解：a=3,b=1,c=-5, .4=1P-4×3x(-5)=61>0, x=-1±61-1±6 2×3 6 6,专=-+v6 x=-6⑦ 6 8. 【答案】(1)解：5x2+2x-1=0, a=5,b=2,c=-1, .△=b2-4ac=4+4×5×1=24>0, x=2±24-1±6 10 5 *6 5； (2)6y2+13y+6=0. a=6,b=13,c=6, .△=b2-4ac=169-4×6×6=25>0, 18②135 12 12 2 (3)x2+6x+2=0, a=1,b=6,c=2, .△=b2-4ac=36-4×1x2=28>0, 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,x=-6±V28 2 -3±万， x=-3+V7,x2=-3-V7」 9. 【答案】(1)解：·△=32-4×1×(-2)=17>0， :x=-3±7 2×1, :=-3+7 2 (2)解：由题意可知a=2,b=-4,c=-1, .△=(-4)2-4×2×(-1)=24>0， :x=4牡242±6 2×2 2 2+V6 2-V6 .x1= 2，书= 2 (3)解：整理，得x2+2x-2=0, .△=22-4x1x(-2)=12>0, x=2D-225-1t5, 2×1 2 x=-1+V5,x3=-1-V3 （4)解：原方程可化为4x2-8x+1=0, .△=(-8)}2-4×4×1=48>0， :x=(-8v4s8±452生5 2×4 8 2 :52+5 2-5 2· ◆题型4因式分解法解一元二次方程 10. 【答案】(1)解：(x-1(x+3)=0 x+3=0或x-1=0 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=-3,x3=1 (2)解：x(x-4)+2x-8=0 x(x-4)+2(x-4)=0 (x-4)(x+2)=0 x+2=0或x-4=0 x=-2,x2=4」 11. 【答案】(1)解：x2-2x=3 x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x-3=0或x+1=0 解得=3，x2=-1: (2)解：(x-3)2=2x-3) (x-3)2-2(x-3)=0 (x-3)(x-3-2)=0 (x-3)x-5)=0 x-3=0或x-5=0 解得x=3,x2=5 12. 【答案】(1)解：x2-2x-8=0, 因式分解得(x-4)(x+2)=0, 则x-4=0或x+2=0, 解得X=4,x2=-2； (2)解：2x2-5x-3=0. 因式分解得(2x+1)(x-3)=0. 则2x+1=0或x-3=0, 1 解得X=一2,52=3 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5十字相乘法解一元二次方程 13. 【答案】①(x-3)(x-1),(3x+2)(x-2)②x=4,x=1③x2024,x=-1 【详解】解：由(1)(2)得 (3)①x2-4x+3=(x-3)(x-1): 3x2-4x-4=(3x+2)x-2): 故答案为：(x-3(x-1),(3x+2)(x-2): ②x2-5x+4=0. .(x-4)x-1)=0, .x-4=0,x-1=0. .=4或x2=1: ③2024x2+2019x-5=0, .(2024x-5)(x+1)=0, :.2024x-5=0或x+1=0, 5 x=2024’x3=-1 14. 【路案10x=3与=7：②5=1561@5=1与=：@5=25号 【详解】解：①x2-10x+21=0, 因式分解得：(x-3)(x-7)=0, x-3=0或x-7=0, 解得：为=3，=7： ②x2-5x-6=0, 因式分解得：(x+1)(x-6)=0. ,x+1=0或x-6=0, 解得：=-1，为=6： ③3x2-2x-1=0, 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因式分解得：(3x+1)(x-1)=0, ∴.x-1=0或3x+1=0, 1 解得：x=1,= 3: ④2x2+x-6=0 因式分解得：(2x-3)(x+2)=0 ∴，x+2=0或2x-3=0 3 解得：X=-2,五= 21 15. 【答案】(1)1,4 5 (20x=7,x=3:②X=2024,x3=-1 【详解】1)解：x+5x+4=(x+1)(x+4): (2)解：①x2-10x+21=0, 入33r-40 .(x-7)(x-3)=0, 原方程的解为=7，x2=3: ②2024x2+2019x-5=0, 2024x /-5=-5x 1=2024x-5x+2024x=2019x :.(2024x-5)(x+1)=0, 5 ∴.原方程的解为x= 2024’x3=-1. ◆题型6换元法解一元二次方程 16. 【答案】(1)±8： (2)9 9/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：(（x-y+5)(x-y-5)=39, 设x-y=a 则原方程变为(a+5)(a-5)=39. 整理得a2-25=39, .a2=64. a=±8，即x-y=±8 故答案为：8； (2)设a2+b2=n, 则n(n-2)=8,即n2-2n-8=0, 解得：n=4或n=-2, 由a2+b2≥0，得a2+b2=4, 即2a2+2b2+1=2×4+1=9. 17. 【答案】(1)原方程的解为x=V5,x3=-√3，=2，x=-2: (2)四个连续自然数是2,3,4,5. 【详解】解：(1)设x2-1=y, 原方程可变为y2-5y+6=0. 则(0y-2)0y-3)=0, y-2=0或y-3=0 y=2,2=3, 当y=2时，x2-1=2, 解得x=V3,2=-√3， 当y=3时，x2-1=3, 解得5=2，x4=-2, ∴原方程的解为x=V5,x2=-√5，x=2,x=-2: (2)解：设四个连续自然数为n,(n+),(n+2),(n+3), 由题意得n(n+1)(n+2)(n+3)=120, 10/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得[n(n+3)][(n+1)(n+2)]=120,即(n2+3m)(m2+3n+2)=120, 设t=n2+3n,则方程化为(+2)=120， 即2+21-120=0， 因式分解得(t+12)(t-10)=0. 4=-12(舍去)，6=10， 当t=10时，n2+3n=10,即n2+3n-10=0, 因式分解得，(n+5)(n-2)=0」 .n=2,(n=-5舍去)， ∴.四个连续自然数是2,3,4,5. 18 【答案】(1)x=2,x2=-3 (2)x=6,x2=-6 【详解】(1)解：设y=x2+x, 则原方程化为y-4y-12=0. .y2-4y-12=0, y-4牡4=41-(I2_4±16+484生府4±8 21 2 2 2 片=6，h=-2； 当y=6时，x2+x=6, 即x2+x-6=0, x=-±41(-6-1±+24-1±2s1±5 21 2 2 2 =2,x2=-3: 当y=-2时，x2+x=-2, 即x2+x+2=0, .△=12-412=1-8=-7<0， 无实数根： 故原方程的解为x=2,x2=-3: 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设y=x,则y≥0，且x2=y2, 原方程化为y2-3y=18。 即y2-3y-18=0, .y2-3y-18=0, y=3法3-4-1-18)_3±9+723±83t9 2.1 2 2 2 ∴.y=6,2=-3」 y≥0 y=6,即=6， .x=6,x2=-6 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.D 二、填空题 4.x=x2=3 59 6.x=-1,x2=31x=3,x2=-1 三、解答题 【答案】(1)x=5,x2=-1 ②与=1+6 ._1-5 2 (3)x=1,x2=-5 (4)x=3,x2=-3 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：x2-4x-5=0 (x-5)(x+1)=0 x-5=0或x+1=0 x=5,x3=-1: (2)解：2x2-2x-1=0 a=2,b=-2,c=-1 b2-4ac=(-2)}-4×2×(-1)=12>0 x=2生i21±5 2×2 2 1-V3 =2,2 (3)解：x2+4x=5 x2+4x-5=0 (x+5)(x-1)=0 x+5=0或x-1=0 x=1,x3=-5 (4)解：(x-3}=2x(x-3) (x-3)}-2x(x-3)=0 (x-3)(x-3-2x)=0 x-3=0或-x-3=0 .x=3,x2=-3 8. 【答案】（①）x=4,x3=0: (②)=5，x=1; 3)x=4+3V2,x3=-4-3V2; ④x=3+47 3-41 4,3 4 【详解】(1)解：4(x-1)=(x+2) [2(x-1]=(x+2, 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(x-1)=±(x+2) 即2(x-1)=x+2或2(x-1)=-(x+2), 解得=4，x2=0: (2)解：(-5}+4(x-5)=0, (x-5)(x-5+4)=0, x-5=0或x-1=0, .x=5,53=1; (3)解：x2+8x-2=0, x2+8x=2, x2+8x+16=18, (x+4)2=18, x+4=士32， 即x+4=3V2或x+4=-3V2, x=-4+32,为2=-4-32： (4)解：2x2-3x-4=0 a=2,b=-3,c=-4」 △=(-3)-4×2×(-4)=41>0， .方程有两个不相等的实数根， x=3④_3t4 2×24 :5=34 4，3 3-√41 4； 9. 【答案】(1)x=4,x2=-2 ②x26 3 ③)x=3=1 (4x=5,x3=-1 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：，4(x-1)2=36 :(x-1=9, x-1=3 .=4,x2=-2; (2)解：a=3,b=-4,c=-1, .△=(-4)2-4×3×(-1)=28>0， x=4±28-4±272±5 2×3 6 3 :y✉26 、2”,七2+√万 3: (3)解：：(3x-l)2=6x-2, :.(3x-12-23x-1)=0, :.(3x-1)3x-1-2)=0, 即(3x-1)3x-3)=0, .3x-1=0或3x-3=0, x=3,3=1 (4)解：方程整理成一般式为x2-4x-5=0, .(x-5)(x+1)=0 .x-5=0或x+1=0, .x=5,3=-1. 10. 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确。 正确的解答过程：整理得：(x-2)-5(x-2)=0, .(x-2)[(x-2)-5]=0,即(x-2)(x-2-5)=0, .(x-2(x-7）=0, .x-2=0或x-7=0, .x=2,x2=7 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)先移项将其整理为mx2-x=0的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元 一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解. 11. 【答案】(1)x1=3,x2=7 (2)x=2,x2=-4 【详解】(1)解：x2-10x+21=0, ∴.(x-7)x-3)=0」 x-7=0,x-3=0. x=7,x2=3: (2)解：x2+2x=8, .x2+2x-8=0, ∴(x+4)(x-2)=0. ∴x=2,x2=-4 12. 【答案】()x=1,=-1,x=V2,x4=-V2 (2)x=1+V7,x=1-V7,x=x4=1 【详解】(1)解：设y=x,则原方程化为y-3y+2=0, .(y-1)(y-2)=0 ∴y-1=0或y-2=0, ∴y=1或y=2, ∴.x2=1或x2=2, 原方程的解为x=1,=1,x=V2,x4=-2: (2)解：原方程为(x2-2x-5x2+10x-6=0, 即(x2-2x-5(x2-2x)-6=0, 设y=x2-2x,则原方程化为y2-5y-6=0, ∴(y-6)(y+1)=0. ∴y-6=0或y+1=0, 16/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴y=6或y=1, .x2-2x=6或x2-2x=-1, 对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0, △=（-2)}-4×1×(-6)=4+24=28， x-2±28_2427-1±7. 2 2 对于x2-2x=-1,即x2-2x+1=0, (x-12=0, 3=x4=1, 原方程的解为x=1+V万，为=1-V7,=x4=1 17117的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02一元二次方程的解法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1直接开平方法解一元二次方程 题型2配方法解一元二火方程（重） 题型3公式法解一元二次方程（重） 题型4因式分解法解一元二次方程（高频） 题型5十字相乘法解一元二次方程（难） 题型6换元法解一元二火方程（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1直接开平方法解一元二次方程 1.(25-26九年级上·全国课后作业)用直接开平方法解下列方程： (1)2(x-1)2=18 (2)3x+1)2-75=0 2.(2026八年级下·全国·专题练习)用直接开方法解下列方程： )(x+5)x-5)=8: (2)4(2y-3)2=9y-1)2」 3.(24-25八年级下·北京课后作业)用直接开方法解方程. (1)9x2=25: (2)2x2-98=0: (3)3(x-2}=0: (4)3(x-1)2=2.7 ◆题型2配方法解一元二次方程 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上贵州毕节期末)解下列方程： (1)x2+2x+1=0 (2)2x2+4x-2=0 5.(25-26九年级上：广东揭阳阶段检测)用配方法解下列方程： (1)4x2-4x-1=0: (2)x2-5=2V3x 6.(25-26八年级上浙江·寒假作业)用配方法解方程： 022-x0 (2)x(2x-3)=x+2 r435x-12-0 ◆题型3公式法解一元二次方程 7.(25-26八年级上浙江寒假作业)用公式法解方程： (1)x2+x-1=0: (2)3x2+x-5=0」 8.(25-26九年级上·全国课后作业)用公式法解下列方程： (1)5x2+2x-1=0: (2)6y2+13y+6=0; (3)x2+6x+2=0 9.(25-26九年级上广西崇左阶段检测)用公式法解下列方程： (1)x2+3x-2=0: (2)2x2-4x-1=0: (3)x2+4x+8=2x+10: (4(2x-1)-4x=0. ◆题型4因式分解法解一元二次方程 10.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)解一元二次方程： (1)x2+2x-3=0; 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x(x-4)=8-2x 11.(25-26八年级下·浙江台州期末)解方程： (1)x2-2x=3: (2)(x-3)2=2(x-3)」 12.(25-26八年级下广西百色期末)解下列方程： (1)x2-2x-8=0: (2)2x2-5x-3=0. ◆题型5十字相乘法解一元二次方程 13.(24-25九年级上吉林阶段检测)阅读与理解： (1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：2x2=2x·x,-2=(-2)×1 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(2x+1)(x-2) 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法. (2)例：解方程x2-3x+2=0 解：(x-2x-1)=0,x-2=0,或x-1=0,x=2,为=1 请用上述方法解答下列问题. (3)①因式分解：x2-4x+3= 3x2-4x-4= ②解方程：x2-5x+4=0. ③直接写出方程2024x2+2019x-5=0的解。 2x -2 2x(-2)+x1=-3x 14.(25-26八年级下北京·课后作业)阅读下列材料： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2=xx,-35=(-5)×(+7）. 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -5 ②交叉相乘，验中间项： 入+7 7x+(-5x)=2x ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5)】 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0: ②x2-5x-6=0: ③3x2-2x-1=0: ④2x2+x-6=0 15.(25-26八年级下浙江绍兴期中)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)×(+7)」 +7 -5 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： +7=7x -5=-5x 7x+(-5x)=2x ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5) 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”， 根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0.所以方程x2+2x-35=0可以这样求解：方程左边因式分解得 (x+7)(x-5)=0,所以原方程的解为=-7，为=5. 【解决问题】 (1)分解因式：x2+5x+4=(x+_)(x+_) (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0: ②2024x2+2019x-5=0. 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6换元法解一元二次方程 16.(2026九年级下浙江杭州专题练习)阅读材料：已知实数p,9满足(p+9+2)(p+9-2)=45,求 p+9的值， 解：设p+q=t,则原方程变为(+2)1-2)=45，整理得2-4=45，=49，t=±7，即p+9=±7. 上面这种方法称为“换元法”，根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. ()已知实数x,y满足(x-y+5(x-y-5)=39,则x-y= (2)若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,求2a2+2b2+1的值. 17.(2526九年级上贵州遵义期中)【材料阅读】解方程：(x2-1-5(x2-1)+4=0 第一步：设x2-1=1,则原方程化为2-51+4=0①，解方程①得：4=1,4=4 第二步：求解x的方程，即x2-1=1②x2-1=4③，解②③得：x=V5,x2=-2,x=V5,x4=-5 第三步：所以原方程的解是：：=2，x=-√2，x=V5,X=-V5 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数 和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 【初步应用】(1)解方程：（x2-1-5(x2-)+6=0 【提升应用】(2)若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数. 18.(25-26九年级上河北保定·期中)阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使 复杂问题简单化、明朗化.在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的 个数，使方程变得更易于解决， 比如：方程x4-5x2+4=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如 下： 设y=x2,那么y=x,于是原方程可化为y-5y+4=0, 解得=1，y3=4, 当y=1时，x2=1,.x=1, 当y=4时，x2=4,.x=±2， 原方程有四个根：x=1,x2=-1,x=2,x4=-2」 学以致用 用换元法解下列方程： 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)(x2+x-4(x2+x-12=0. (2)x2-3x=18」 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1,(25-26八年级下山东威海期末)将一元二次方程x2-x=0配方后变形为(x+a)=b,则a的值为 () 1 A.-1 B.1 C.Z D.-2 尼(25-26八年级下河北张家期末用公式法解方程22时，得x士，44x 2,则“口 处应填() A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.(2026江苏徐州模拟预测)己知关于x的一元二次方程m(-h-k=0(m,h,k均为常数且m≠0 )的解是：=2，名=5，则关于x的一元二次方程m(x+h+=k的解是() A.X=-2,x2=-5 B.x=-4,x2=-1 C.x=1,x2=4 D.x1=-3,x2=-6 二、填空题 4.(2026陕西西安模拟预测)方程x2-6x+9=0的根是 5.(25-26八年级下浙江杭州期中)已知关于，的方程2-mx+n=0 通过配方可变形为 则的值为二 6.(25-26九年级下山东烟台期末)已知一元二次方程a(x+m)'=n(a≠0)的两根分别为-3、1，则 -元二次方程a(x+m-2}'-n=0(a≠0)的两根分别为 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7.(25-26九年级上河北阶段检测)解方程. (1)x2-4x-5=0 (2)2x2-2x-1=0 (3)x2+4x=5; (4(x-3)=2x(x-3) 8.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)解方程： (1)4(x-1)2=(x+2)月 (2②)(x-5)}+4(x-5)=0 (3)x2+8x-2=0 (42x2-3x-4=0 9.(25-26八年级下山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程： (1)4(x-1)2=36: (2)3x2-4x-1=0: (3)(3x-1)2=6x-2; (4(x-1)(x-3)=8 10.(25-26八年级下·山东烟台期末)小明与小颖两位同学解方程5(x-2)=(x-2的过程如图： 小颖： 小明： 移项，得5(x-2)-(x-2)}=0, 两边同除以(x-2), 提取公因式，得(x-2)5-x-2)=0 得5=x-2, 解得x=7 x-2=0或5-x-2=0. 解得x=2,x2=3 (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程： (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx2=x的一元二次方程的一般解法. 11.(25-26八年级下·全国暑假作业)阅读下列材料： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法解答： 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-35 解：步骤：①竖分二次项与常数项x+7 x-5 x+7=7x ②交叉相乘，验中项： x/人5=-5x7x+(-5x)=2x1 ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5) 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法. (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0 ①x2-10x+21=0: ②x2+2x=8」 12.(25-26九年级上贵州遵义期中)阅读材料，解答问题. 解方程：(4x-1)-10(4x-1)+24=0 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y-10y+24=0, 解得y=6,2=4 .4x-1=6或4x-1=4. 7 5 x=4,6=4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： (1)x4-3x2+2=0 (2)(x2-2x)-5x2+10x-6=0. 8/8 专题02 一元二次方程的解法 常考题型·精准突破 题型1 直接开平方法解一元二次方程 题型2 配方法解一元二次方程（重） 题型3 公式法解一元二次方程（重） 题型4 因式分解法解一元二次方程（高频） 题型5 十字相乘法解一元二次方程（难） 题型6 换元法解一元二次方程（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1直接开平方法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 2．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 3．（24-25八年级下·北京·课后作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． ◆题型2 配方法解一元二次方程 4．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用完全平方公式将方程变形，再求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再通过配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ，即， ，即， ． 5．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 6．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴，． （2）解： ， ， ， ， 解得：，； （3）解： 解得：， ◆题型3 公式法解一元二次方程 7．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ； （2）， ，，， ， ， ； （3）， ，，， ∴， ， ，． 9．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）用公式法解下列方程： (1) ； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是掌握公式法解一元二次方程． （1）先判断根的情况，再用公式法解一元二次方程； （2）先判断根的情况，再用公式法解一元二次方程； （3）先化为一般式，再判断根的情况，再用公式法解一元二次方程； （4）先化为一般式，再判断根的情况，再用公式法解一元二次方程。 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：整理，得， ∴， ∴， ∴，． （4）解：原方程可化为， ∴， ∴， ∴，． ◆题型4因式分解法解一元二次方程 10．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 11．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得． 12．（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． ◆题型5 十字相乘法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 14．（25-26八年级下·北京·课后作业）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． ◆题型6 换元法解一元二次方程 16．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 17．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 18．（25-26九年级上·河北保定·期中）阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查换元法解方程． （1）通过换元将高次方程转化为二次方程求解； （2）通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为． ∵， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∵， ∴无实数根； 故原方程的解为，； （2）解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 二、填空题 4．（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【答案】 【分析】将方程左边利用完全平方公式变形，再通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 直接开平方得， 解得． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 三、解答题 7．（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 12．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $