2027届吉林省吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦立体几何与解析几何综合应用，以题串联定义推导、性质应用及空间向量方法，强化知识内在逻辑与解题思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|解答题15-17|体积计算、线面角求解|空间向量法与几何性质结合，从度量计算到位置关系论证| |解析几何|单选1-8、多选9-11、填空12-14、解答18-19|圆锥曲线定义应用、轨迹方程求解|从直线与圆的基础到椭圆、双曲线、抛物线综合，体现定义推导到性质拓展的逻辑链|

吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷 选修一 出题人： 命题人： 一、单选题 1．在长方体中，，，则（    ） A．3 B．13 C．4 D．9 2．已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 3．已知抛物线上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是（    ） A． B． C．4 D．12 4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B．4 C． D．2 5．已知，是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 6．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 8．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 10．双曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．离心率为 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．渐近线方程为 11．设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（    ） A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是 C．的面积一定是 D．的周长一定是 三、填空题 12．若坐标原点O在方程所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为______． 13．圆心在y轴上，半径为5且与直线相切的圆的方程为___________. 14．抛物线与椭圆 有相同的焦点， 抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于 __________． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，，，，. (1)若四棱锥的体积为，求的长； (2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 16．如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：，． (1)要经过平面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明） (2)若，，当点P在点C处时，求直线AP与平面所成角的正弦值． 17．如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：. 19．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求： （1）动点M的轨迹方程； （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据向量加法运算，向量的数量积运算性质求解即可. 【详解】如图， 因为， 所以． 故选：D 2．A 【分析】利用共线向量定理解决即可. 【详解】因为且，则存在实数，使得，即， 又因为，，不共面，则，解得. 故选：A 3．B 【分析】由抛物线的定义知M与准线的距离为4，即知M到y轴的距离为3，进而求M的纵坐标可得到x轴的距离. 【详解】由抛物线方程知：其准线为，又其上一点M与焦点F的距离为4， ∴M与准线的距离为4，故M到y轴的距离为3， ∴M的横坐标，代入抛物线可得， ∴M到x轴的距离是. 故选：B. 4．A 【分析】先利用两直线平行的性质求出的值，再利用两平行线间的距离公式求出结果. 【详解】解：由题意可知， 因为直线与直线平行， 所以， 解得, 所以两直线分别为， 所以它们之间的距离为. 故选：A 【点睛】此题考查两直线平行的性质和平行线间的距离公式，属于基础题. 5．D 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线，，可得点的轨迹是以为圆心，以6为半径的圆，由此可得选项． 【详解】因为是焦点为，的椭圆上的一点， 为的外角平分线，， 设的延长线交的延长线于点， ，所以， 所以，， ，， 由于是线段的中点，所以是△的中位线，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，以6为半径的圆，所以当点与轴重合时， 与短轴端点取最近距离． 故选：D 6．D 【分析】由双曲线与抛物线焦点重合，结合条件列方程组即可求解 【详解】∵抛物线的焦点为，双曲线与抛物线焦点重合，，， 又，综上可解得，所以双曲线的方程为， 故选：D 7．C 【分析】设双曲线的实半轴长为a，由题意可得椭圆的长半轴为3a，设曲线在第一象限的交点P，焦半径为x, y，由椭圆及双曲线的定义可得x, y的值，再由勾股定理可得a, c的关系，进而求出双曲线的离心率． 【详解】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得， 由题意P在以为直径的圆上，所以， 所以可得，即离心率， 故选：C 8．C 【分析】由题知点A为的中点，结合已知得，过点B作，由抛物线的定义即可求解. 【详解】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点， 因为，所以． 过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知， 所以，则，所以． 故选：C 9．AC 【分析】由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解. 【详解】因为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 则，得， 结合选项可知，满足题意. 故选：AC. 10．AD 【分析】先求得，然后根据离心率和渐近线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线方程为，所以， 所以离心率，A选项正确，B选项错误. 渐近线方程为，D选项正确，C选项错误. 故选：AD 11．BD 【分析】求出焦点，的坐标，再由直角三角形的直角顶点情况逐项判断作答. 【详解】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形， 以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个， 显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点， 以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确； 以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确； 由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确； 由椭圆定义知，的周长为，D正确. 故选：BD 12． 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件以及点与圆的位置关系列不等式，即可得实数m的取值范围. 【详解】因为，则，解得； 又因为点在圆的外部，则，解得； 所以实数m的取值范围为． 故答案为：. 13．或 【分析】由题意设圆心为，则圆心到直线的距离为5，可求出，从而可求出的方程 【详解】由题意设圆心为， 因为圆与直线相切，且圆的半径为5， 所以，解得或， 所以圆心为或， 所以所求圆的方程为或， 故答案为：或 14． 【详解】试题分析：由题意，知，，即．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和轴垂直，所以，又由抛物线的定义知，所以，即，，解得． 考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 【方法点睛】在抛物线中，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 15．(1) (2) 【分析】（1）这是一个逆向思考的问题，当已知四棱锥的体积时，只需把的长作为未知数代入梯形的面积公式即可； （2）本问首先以为坐标原点，建立空间直角坐标系，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】（1）依题意可得梯形的面积：， 因为底面， 所以四棱锥的体积， 解得. （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则，即 取，得. 因为，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 16．(1) 过点作直线分别交于连接 (2) 【分析】（1）过点做直线分别交于连接即可得答案， （2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【详解】（1）略 （2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则 . 设平面的法向量为， 则，取 设直线与平面所成角为 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) ， ，即． 平面平面，平面平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，分别取的中点，连接． 平面． 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设是平面的法向量，则， 令，得，则． 故直线与平面所成角的正弦值为 ． 18．(1) (2)112万元 【分析】（1）设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标； （2）求出，由垂径定理得到点到的距离，从而求出开通的这条路的最低造价. 【详解】（1）由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 设圆的方程为， 则，解得, 圆的方程为，即， 建筑物的中心的坐标为. （2）因为为建筑物的中心坐标， 设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离， ，圆的半径为， 点到的距离为， 开通的这条路的最低造价为（万元）. 19．（1）（2），N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆． 【详解】试题分析：解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合 P ． 由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ， 平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程． （2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）． 由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以 ， ．所以有， ① 由（1）题知，M是圆上的点， 所以M坐标（x1，y1）满足：② 将①代入②整理，得． 所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆． 考点：本题主要考查求轨迹方程的基本方法—-直接法和相关点法，考查考生的计算能力． 点评：求轨迹方程的基本方法—-直接法和相关点法，应熟练掌握．两道小题有相互对比之效． 答案第2页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $