数列：数列插项问题、奇偶数列问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列插项与奇偶分段两大难点，通过分层例题与变式构建问题解决路径，强化推理能力与分类讨论思想 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列插项问题|3例+3变式|在数列项间插入指定数量的数形成新等差数列，求公差或新数列和|基于等差数列公差公式，结合原数列通项推导插项规律，渗透化归思想| |奇偶数列问题|3例+3变式|按项的奇偶性分段定义数列，求通项或前n项和|分奇偶项构建子数列，运用等差等比求和公式，体现分类讨论与模型观念|

2027届高三数学一轮复习专项训练 数列：数列插项问题、奇偶数列问题专项训练 考点目录 数列插项问题 奇偶数列问题 考点一 数列插项问题 例1．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 例2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. (1)求和的通项公式； (2)分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 例3．（25-26高二下·浙江温州·期末）数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 变式1．（25-26高三上·贵州黔南·阶段检测）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列的顺序不变，在、之间插入个数：，，，，，且，，，，，，这个数组成一个等差数列，记.由，，，，，，，，，，，，，，组成的新数列记为. （i）求，，； （ii）记数列的前项和为，比较与的大小. 变式2．（2026·湖南衡阳·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中. (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由. 变式3．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知公差不为0的等差数列满足，，等比数列满足，． (1)分别求数列，的通项公式； (2)在和之间插入1个数使得，，成等差数列，在和之间插入2个数，使得，，，成等差数列，…，以此类推，在和之间插入n个数，，…，使得，，，…，，成等差数列．设． ①求的表达式； ②是否存在正整数m，n使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 考点二 奇偶数列问题 例1．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 例2．（25-26高二下·山东东营·期末）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 例3．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 变式1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 变式2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 变式3．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 数列：数列插项问题、奇偶数列问题专项训练 考点目录 数列插项问题 奇偶数列问题 考点一 数列插项问题 例1．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1) 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. （2）略 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 例2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. (1)求和的通项公式； (2)分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式，利用累乘法求的通项公式； （2）根据等差数列的通项公式求得，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）由得：时，，两式相减得， 又，故，满足，故是首项为3，公比为2的等比数列， 所以； 由得：， 所以； （2）由题知，，则， 故， 则 两式相减得： ， 故． 例3．（25-26高二下·浙江温州·期末）数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ， ， ， ①， 又， ②， ②-①， 则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，， 即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，， ， 时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立. 是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论； （2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和； （Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值． 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 变式1．（25-26高三上·贵州黔南·阶段检测）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列的顺序不变，在、之间插入个数：，，，，，且，，，，，，这个数组成一个等差数列，记.由，，，，，，，，，，，，，，组成的新数列记为. （i）求，，； （ii）记数列的前项和为，比较与的大小. 【答案】(1) (2)（i），，；（ii）. 【分析】（1）当时，可求得的值，当时，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式； （2）（i）由等差数列的性质得出，利用倒序相加法可求出的表达式，即可得出，，； （ii）分析可知，可得出，利用错位相减法可求得，即可得出与的大小关系. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且，， 当时，，可得，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故. （2）（i）由等差数列的基本性质可得， 所以，， 所以， 故，所以，， 所以； （ii）将数列制成以下数阵： 则该数阵第行的项数为， 在数列中的项数为， 假设位于数阵的第行， 则，解得，且， 故位于数阵的第行最后一项，即， 所以， 所以， 上述两个等式作差得 ， 故，所以. 变式2．（2026·湖南衡阳·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中. (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）根据的关系式可得是首项为1，公比为的等比数列，再根据可分别对的奇数项和偶数项分别求通项公式可得； （2）（i）利用定义可求得新插入的数列公差，求得并利用错位相减法即可求出； （ii）求得，易知对于任意正整数均有，而，所以不是数列中的项；又，分别对其取值为时解方程可求得. 【详解】（1）由①，当时，②， 得， 当时，， 是首项为1，公比为的等比数列，故， 由③.由 得，又④. ④-③得， 的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列： 所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列. 得. 综上可得； （2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列， 设公差为，则， 则. ⑤ 则⑥ ⑤-⑥得：， 所以可得 （ii）由（1），又， 由已知， 假设是数列或中的一项， 不妨设， 因为，所以，而， 所以不可能是数列中的项. 假设是中的项，则. 当时，有，即， 令， 当时，； 当时，， 由知无解. 当时，有，即. 所以存在使得是数列中的第3项； 又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解； 综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项. 【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项时，关键是限定出，再对数列的取值范围进行限定可得不是数列中的项，再由只能取得正整数可知只需讨论或有无解即可求得结论. 变式3．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知公差不为0的等差数列满足，，等比数列满足，． (1)分别求数列，的通项公式； (2)在和之间插入1个数使得，，成等差数列，在和之间插入2个数，使得，，，成等差数列，…，以此类推，在和之间插入n个数，，…，使得，，，…，，成等差数列．设． ①求的表达式； ②是否存在正整数m，n使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在正整数对为及 【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列的通项公式基本量计算求出，则，设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式基本量计算求出，则求得； （2）①由题意推导出公差，从而，利用公式得到，故，由此利用错位相减法能求出； ②由及第①问得到，求出当，，时的值，再利用导函数证明当时，有，即证，由此能求出所有的正整数对． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，， 则由，得，则， 又，则，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 因为，，则，则， 所以． （2）①在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，设公差为， ∴， 则， ∴， ∴，① 则，② ①﹣②得， ∴． ②假设存在正整数m，n，使成立， ． ， 当时，不合题意， 当时，， 当时，， 以下证明，当时，有，即证， 设，，则， ∴在上单调递增， 故时，， ∴， ∴时，m不是整数， ∴所有的正整数对为及. 【点睛】关键点点睛：第（2）问①小问需要先理解题意，转化为等差数列通项公式和求和公式，结合错位相减法进行求解，第②小问则是数列与函数的综合，需要利用导函数来证明当时，有，即证． 考点二 奇偶数列问题 例1．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 例2．（25-26高二下·山东东营·期末）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列通项与前项和的基本量运算，以及等比中项的概念列方程求解即得通项公式； （2）由已知，得到数列的前项和的表达式，先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为， 由 得 ， 即 ①. 由 成等比得， 化简得， 即 ， 将其代入①，解得 . 故数列的通项公式为； （2）由（1）知，， 已知当为奇数时， ；当为偶数时， . 则 . 不妨设， 则， 两式相减，可得 故， 从而. 例3．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)由递推关系及等比数列定义可得； (2)由分组求和可得. 【详解】（1）设公比为 . 由 得 . 又 , 故 . 令 得 , 令 得 , 两式相除得 , 由正项数列知 , 代入得 , 因此 . （2）由 得 , 则 ， 前 项和拆分为奇数项与偶数项之和: ， 奇数项和为 . 偶数项和为 . 相加得 . 变式1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式，代入可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，根据等差数列、等比数列前项和公式计算求解即可. 【详解】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 变式2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于数列，利用与的关系，通过和两种情况求出通项公式；对于数列，根据已知条件求出首项和公比，进而得到通项公式； （2）对于数列，根据的奇偶性分别求和，再将结果相加得到前项和即可. 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 变式3．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $