解题大招14 利用二级结论秒杀奇偶性的六大热点题型(全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“二级结论”为核心，构建函数奇偶性“概念-特性-模型-应用”四维方法体系，通过六大热点题型实现知识逻辑与解题技巧的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|5个核心知识点|奇偶性定义、特性（如f(0)=0）、运算规律、拓展性质、模特函数模型|从概念本质到特性推导，再到特殊函数模型构建，形成递进式知识链| |题型|6类热点题型（含12道典例+30道跟踪训练）|奇函数特性妙用、偶函数特性妙用、“奇函数+常函数”最值与f(a)+f(-a)计算、奇偶四则运算、模特函数秒杀法|题型与知识点精准对应，典例覆盖高考高频考法，强化数学推理与运算能力|

解题大招14 利用二级结论秒杀奇偶性的六大热点题型 知识点01 函数奇偶性的概念 1．奇函数的概念 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2．偶函数的概念 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 3．奇偶四则运算结论 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数； 偶函数奇函数=奇函数 知识点02 奇函数的特性 1.为奇函数； 2．若奇函数的定义域包含0，则. 3．是奇函数的周期函数的半周期是零点. 证明：设函数的一个周期是，得，所以，即欲证结论成立. 4．奇函数的导函数是偶函数. 知识点03 偶函数的特性 1．若函数是偶函数，则恒成立； 2．偶函数在处可导，则； 3．若偶函数的定义域是D(可得D关于原点对称)，A、B是数集D的关于原点对称的两个子集， 则函数在数集A、B上的值域相同. 知识点04 奇函数、偶函数的拓展性质 1．奇函数的拓展性质 设f(x)是奇函数. (1)f(x)在两个对称的区间上单调性相同 (2)若g(x)=f(x)+a，则g(x)+g(−x)=2a； (3)若函数f(x)有最大(小)值，则函数f(x)有最小(大)值，且函数f(x)的最大值与最小值互为相反数. (4)奇函数的导函数是偶函数. 2．偶函数的拓展性质 设f(x)是奇函数. (1)f(x)在两个对称的区间上单调性相反 (2)当时，函数g(x)=a f(x)与h(x)= f(x)+a也是偶函数. (3)若函数f(x)有最大(小)值，则使函数f(x)取得最大(小)值的x的值互为相反数或者为0. (4)偶函数的导函数是奇函数. 3.多项式函数的奇偶性 多项式函数f(x)若为奇函数，则x的偶次幂系数为0；f(x)若为偶函数，则x的奇次幂系数为0. 知识点05 一些特殊函数模型的奇偶性 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝”. 奇函数：(1)函数. (2)函数 或. (3)函数或者且； 推广：，（且）为奇函数 (4) 函数且). 注：对于(2)式，可以写成函数. 偶函数：(1)函数. （2）函数. （3）函数类型的一切函数. 题型01 奇函数特性的妙用 1.为奇函数； 2．若奇函数的定义域包含0，则. 3．是奇函数的周期函数的半周期是零点. 【典例1-1】函数为奇函数，则实数_________ 【典例1-2】定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个周期，若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为( ) A.0 B.1 C.3 D.5 【跟踪训练】 1．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 题型02 偶函数特性的妙用 1．若函数是偶函数，则恒成立； 2．偶函数在处可导，则； 3．若偶函数的定义域是D(可得D关于原点对称)，A、B是数集D的关于原点对称的两个子集， 则函数在数集A、B上的值域相同. 【典例2-1】（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】若是偶函数，则a=________ 【跟踪训练】 1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若函数为偶函数，则a=________ 题型03 求“奇函数+常函数”的最值之和 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数. 【典例3】（25-26高三下·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设函数的最大值为M，最小值为m，则__________． 2．（25-26高三上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 3. 已知函数，，其最大值与最小值分别为和，则 ． 题型04 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有， 即倍常数. 【典例4】已知函数，若，则 . 【跟踪训练】 1．（2026·贵州黔东南·高三期末）已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2．已知，若，则等于（    ） A． B． C．0 D．1 3．已知函数，则 . 题型05 函数奇偶性的和差积商 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数； 偶函数奇函数=奇函数 【典例5】设函数F(x)(x≠0)是偶函数，且不恒等于零，则f(x) ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 【跟踪训练】 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(多选)（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 题型06 利用模特函数秒杀奇偶性小题 熟记以下奇函数、偶函数的常见模特函数，可直接秒杀相关小题： 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝”. 奇函数：(1)函数. (2)函数 或. (3)函数或者且； 推广：，（且）为奇函数. (4) 函数且). 注：对于(2)式，可以写成函数. 偶函数：(1)函数. （2）函数. （3）函数类型的一切函数. 【典例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【跟踪训练】 1．(多选)（24-25高二下·海南海口·期末）已知，，则（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C． D． 2．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数为奇函数，则________. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 8．（多选）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（   ） A． B．函数是上的增函数 C．是偶函数 D．是奇函数 9.（2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 10．（2026·广西崇左·二模）已知函数有且仅有1个零点，则______． 11．（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 12．（25-26高三上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 13．（25-26高一上·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 14．（25-26高三上·新疆·阶段检测）设为奇函数，若在区间的最大值为3，则在区间的最小值为___________. 15．已知函数f(x)=−cosx，对于上的任意，有如下条件：①；②；③.其中能使恒成立的条件序号是________ 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招14 利用二级结论秒杀奇偶性的六大热点题型 知识点01 函数奇偶性的概念 1．奇函数的概念 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2．偶函数的概念 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 3．奇偶四则运算结论 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数； 偶函数奇函数=奇函数 知识点02 奇函数的特性 1.为奇函数； 2．若奇函数的定义域包含0，则. 3．是奇函数的周期函数的半周期是零点. 证明：设函数的一个周期是，得，所以，即欲证结论成立. 4．奇函数的导函数是偶函数. 知识点03 偶函数的特性 1．若函数是偶函数，则恒成立； 2．偶函数在处可导，则； 3．若偶函数的定义域是D(可得D关于原点对称)，A、B是数集D的关于原点对称的两个子集， 则函数在数集A、B上的值域相同. 知识点04 奇函数、偶函数的拓展性质 1．奇函数的拓展性质 设f(x)是奇函数. (1)f(x)在两个对称的区间上单调性相同 (2)若g(x)=f(x)+a，则g(x)+g(−x)=2a； (3)若函数f(x)有最大(小)值，则函数f(x)有最小(大)值，且函数f(x)的最大值与最小值互为相反数. (4)奇函数的导函数是偶函数. 2．偶函数的拓展性质 设f(x)是奇函数. (1)f(x)在两个对称的区间上单调性相反 (2)当时，函数g(x)=a f(x)与h(x)= f(x)+a也是偶函数. (3)若函数f(x)有最大(小)值，则使函数f(x)取得最大(小)值的x的值互为相反数或者为0. (4)偶函数的导函数是奇函数. 3.多项式函数的奇偶性 多项式函数f(x)若为奇函数，则x的偶次幂系数为0；f(x)若为偶函数，则x的奇次幂系数为0. 知识点05 一些特殊函数模型的奇偶性 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝”. 奇函数：(1)函数. (2)函数 或. (3)函数或者且； 推广：，（且）为奇函数 (4) 函数且). 注：对于(2)式，可以写成函数. 偶函数：(1)函数. （2）函数. （3）函数类型的一切函数. 题型01 奇函数特性的妙用 1.为奇函数； 2．若奇函数的定义域包含0，则. 3．是奇函数的周期函数的半周期是零点. 【典例1-1】函数为奇函数，则实数_________ 【答案】 【解析】 因为为奇函数且有意义，所以，即，所以 【典例1-2】定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个周期，若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为( ) A.0 B.1 C.3 D.5 【答案】 D. 【解析】 可证；.所以 所以由奇函数的性质，可得，得方程在闭区间上有根，，. 【跟踪训练】 1．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】由题意，，则. 故选：C 秒杀解：因为是周期函数的奇函数的半周期为零点，又T=2，所以. 题型02 偶函数特性的妙用 1．若函数是偶函数，则恒成立； 2．偶函数在处可导，则； 3．若偶函数的定义域是D(可得D关于原点对称)，A、B是数集D的关于原点对称的两个子集， 则函数在数集A、B上的值域相同. 【典例2-1】（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由上的偶函数满足，得， 由偶函数的特性2可知，不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 【典例2-2】若是偶函数，则a=________ 【答案】. 【解析】由题设及偶函数性质(2)，可得 【跟踪训练】 1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数的特性1可知，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 2．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 3．若函数为偶函数，则a=________ 【答案】 1. 【解析】由题设及偶函数特性2，可得. 题型03 求“奇函数+常函数”的最值之和 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数. 【典例3】（25-26高三下·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【解析】由于，可得关于点对称，故. 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设函数的最大值为M，最小值为m，则__________． 【答案】2 【解析】，设，所以的最大值为，最小值为，又，所以为奇函数，所以，即. 2．（25-26高三上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【解析】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 3. 已知函数，，其最大值与最小值分别为和，则 ． 【答案】10 【解析】因为，所以函数为奇函数，即有，若存在 ，则由知，， 所以． 故答案为10． 题型04 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有， 即倍常数. 【典例4】已知函数，若，则 . 【答案】 【解析】设，显然定义域为， 又， 则，所以是上的奇函数： 又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数， 因此，则. 【跟踪训练】 1．（2026·贵州黔东南·高三期末）已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】，设，则，即是奇函数， 故，即，即， 因为，所以. 2．已知，若，则等于（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】， ， ，， 故选：A. 3．已知函数，则 . 【答案】 【解析】已知，得：，即：， 由此可得. 题型05 函数奇偶性的和差积商 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数； 偶函数奇函数=奇函数 【典例5】设函数F(x)(x≠0)是偶函数，且不恒等于零，则f(x) ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【解析】对题中的函数进行化简： F(x)，∴ 令g(x)=(x≠0)，g(-x)= ， ∴g(x)是奇函数. ∵F(x)是偶函数，∴f(x)=g(x) F(x)为奇函数. 【跟踪训练】 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又奇函数+奇函数=奇函数，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题， ，因为 ， 所以 ，即在R上单调递增， ， 所以为奇函数， （另解： 不等式 可转化为 ， 所以. 3．(多选)（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由奇函数+奇函数=奇函数，可知是奇函数，A正确； 对于B，奇函数的导函数是偶函数，故是偶函数，B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 题型06 利用模特函数秒杀奇偶性小题 熟记以下奇函数、偶函数的常见模特函数，可直接秒杀相关小题： 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝”. 奇函数：(1)函数. (2)函数 或. (3)函数或者且； 推广：，（且）为奇函数. (4) 函数且). 注：对于(2)式，可以写成函数. 偶函数：(1)函数. （2）函数. （3）函数类型的一切函数. 【典例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， (秒杀解：函数为偶函数，所以为偶函数，其中m=2) 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增，所以在上单调递增. 【跟踪训练】 1．(多选)（24-25高二下·海南海口·期末）已知，，则（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】由模特函数可知为偶函数，为奇函数，A正确； 对B，函数得定义域为，为增函数，为减函数，所以是增函数，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：ACD 2．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【解析】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 秒杀：若， 则为奇函数，由为奇函数，得a=1. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【解析】因为函数为奇函数，则 因为 ， 所以， 则， 解得. 秒杀：因为为奇函数，又为奇函数， 所以为偶函数，所以. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】为奇函数，，解得. 2．（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为周期为4，所以， 令 ，得到 又因为是定义在上的奇函数，所以， 令，即， 所以，即，即. 秒杀解：T=4，故其半周期为零点，即. 3．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 秒杀解：由模特函数知为奇函数，所以若为奇函数， 则为偶函数，所以 4．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 6．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由， 得， ， 令，则， 所以函数在上单调递减，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 所以函数为上的偶函数，且， 由，得， 也即，因此，即， 得或，解得或 ， 则满足的的取值范围为. 7．（多选）（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 【答案】ABD 【解析】对A，若为偶函数，则为偶函数，故，A正确； 对B，当时，， 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增， 又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.    8．（多选）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（   ） A． B．函数是上的增函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABC 【解析】对于A，由于函数是定义域为的奇函数，有，令，则，解得，故A正确； 对于B，由于函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增， 由于奇函数的图象关于原点对称，说明在区间上也单调递增， 又因为，所以函数是上的增函数，故B正确. 对于C，设，，因此是偶函数，故C正确. （秒杀解：两个偶函数相除得偶函数，故C正确） 对于D，设，则，因此是偶函数，故D错误. (秒杀解：两个奇函数相除得偶函数，故是偶函数) 9.（2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 【答案】 【解析】， 由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得， 验证：，为奇函数，故． 10．（2026·广西崇左·二模）已知函数有且仅有1个零点，则______． 【答案】1或 【解析】因为，且的定义域为R， 故为偶函数； 要使得有且仅有1个零点，必有， 化简得:，解得或； 验证： 当时，， 当时，，故是零点， 当时，因为， 故，因此，仅有这一个零点． 当时，， 当时，，故是零点， 当时，因为， 故，因此，仅有这一个零点． 经验证，或符合题意． 11．（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 【答案】 【解析】函数且， 所以，即, 所以 12．（25-26高三上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 【答案】 【解析】因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 13．（25-26高一上·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【答案】4 【解析】==2+， 令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故, 故. 14．（25-26高三上·新疆·阶段检测）设为奇函数，若在区间的最大值为3，则在区间的最小值为___________. 【答案】 【解析】因为奇函数，则，解得， 即，则， 设，因，则是奇函数， 因在区间的最大值为3，则在区间的最大值为， 故在区间的最小值为，从而在区间的最小值为. 15．已知函数f(x)=−cosx，对于上的任意，有如下条件：①；②；③.其中能使恒成立的条件序号是________ 【答案】② 【解析】因为f(x)为偶函数，且当x∈，与y=−cosx都是增函数，故f(x)在上单调递增，在上单调递减.当时，有. 从而知②正确. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $