5.3二次函数的应用（课时3）（教学课件） 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在商品销售中的最大利润问题，通过类比几何面积最值问题导入，引导学生从“利润=单利润×销量”公式出发，建立二次函数模型，搭建从几何最值到利润最值的知识支架。 其亮点在于以真实情境（服装厂批发、旅馆客房出租等）为载体，通过多种设元方法（设单价或设降价）培养学生数学思维，归纳“建函数、定范围、求最值”步骤强化模型意识。学生能提升用数学语言解决实际问题的能力，教师可借助结构化案例与练习提高教学效率。

5.3二次函数的应用 （课时3） 第五章 二次函数 北师大版(2024) Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 1 素养目标 1.能确定商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围； 2.能应用二次函数解决商品销售过程中的最大利润问题. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 2 新知导入 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 最值问题 几何面积最大问题 面积 S=ax2+bx+c 利润最大问题 利润 y=ax2+bx+c 求最大值 利润 = 收入 - 成本 总收入 = 销售单价×销量 总成本 = 进货单价×销量 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量= 单利润×销量 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 3 探究新知 服装厂生产某品牌的 T 恤衫，成本是每件20 元.根据市场调查，以单价 26元批发给经销商，经销商愿意购进5000 件 ，并且表示单价每降价 0.5元，愿意多购进500 件.厂家将批发单价定为多少时可以获利最多？ 总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 20 x Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 4 探究新知 ①设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设厂家批发单价为 x 元，获利 y 元. ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∵ 26 − x≥0，且 x＞20，∴ 20＜x≤26. ③ 将二次函数解析式化为顶点式 故厂家批发单价为 25.5元时，获利最多，为30250元. 还有其他的设未知数方法吗？ Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 5 探究新知 解：设每件降价 a 元，获利 y 元. ∵a＜26-20，且 a≥0，∴ 0≤a＜6. 故厂家批发单价为 25.5元时，获利最多，为30250元. ∴批发单价为 25.5元 ∴当 a = 时， y最大=30250. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 6 例题练习 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数 日租金(元) 出租数(间) 总收入(元) 正常销售 涨价销售 160 120 160 + 10x 120 - 6x (160+10x)(120-6x) 19200 设每间客房的日租金提高 x 个 10 元， Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 7 例题练习 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，设客房日租金的总收入为y元，则 y = (160+10x)(120-6x) = -60(x-2)2+19440. ∵ x≥0，且120-6x＞0，∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时， y最大=19440. 这时每间客房的日租金为 160+10×2=180 (元) 因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高，最高收入为19440 元. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 8 归纳总结 归纳总结 求解最大利润问题的一般步骤： 1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”； 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 9 探究新知 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？ 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 我们得到橙子的总产量 y (个) 与增种橙子树的数量 x (棵)的二次函数表达式 y = (100+x)(600-5x) = -5x2+100x+60000. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 10 探究新知 利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. y = (100+x)(600-5x) = -5x2+100x+60000. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 11 探究新知 增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ ∴增种6~14棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上. -5x2+100x+60000=60400 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 12 5 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 13 10 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 14 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 15 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 16 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 17 400 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 18 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 19 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 20 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 21 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 22 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 23 小结 最大利润问题 建立函数关系式 确定自变量的取值范围 确定最大利润 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 24 谢谢同学们的聆听 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 25 练习1 某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶.在＂创建文明城市＂期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每顶头盔每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降价______元. 解析：设每顶头盔的售价为x元，每月获得的利润为w元. 由题意得 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时，w取得最大值，最大值为4500， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元， ∴每顶头盔降价5元 练习2 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价 _____元时，超市的日盈利最大？ 解析：降价后每件盈利为 元，日销售量为 件， 故 ， 因二次项系数 ，故函数有最大值，当 时，w最大. 练习3 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润. 解：根据题意得： ， ， 当 时，w有最大值，最大值为：6250， 此时售价为： 元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元. 练习4 实践应用题 某商店销售一款商品，进价为每件40元.当售价为60元时，日均销量为80件.市场调研发现，售价每降低1元，日均销量增加10件. (1)求日均销量y（件）与售价x（元）的函数关系式； (2)售价定为多少元时，日均利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意，得 ； (2)设日均利润为w元， 根据题意，得 EMBED Equation.DSMT4 ； ∵ ，∴函数开口向下，有最大值， ∴当 时，w取得最大值，最大值为1960， 答：当售价定为54元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1960元. 练习5 “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒的利润率不低于 ，且每盒售价不得高于80元.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒. (1)当 时， _____； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售额y（元）最大？最大日销售额是多少元？ 解：(1) （盒），故答案为：400； (2) ， ∵ ， ∴当 时，y随x的增大而减小， ∵ ， ∴当 时，y有最大值，为24000元， 答：当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元. 练习6 玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品.已知该文化产品的成本价格为20元／件,每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）满足关系式 ,销售单价不低于成本且不高于40元/件,设销售该文创产品的日获利为w元. (1)当销售单价定为多少元时,日获利最大？最大利润为多少元？ (2)若线上平台将向该工作室收取a元/件 的相关费用,若此时把销售单价定为31元/件,日获利最大,求a的值. 解：(1)日获利 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 二次函数开口向下， 当 时，w最大值为500. 答：当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元. (2)收取费用后，日获利 顶点横坐标 ， 根据题意， 时日获利最大， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 . 练习7 春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个.现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x是整数）元. (1)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (2)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 解：(1)根据题意得涨价x元，单个利润为 元，每天销售量为 个， 则 ，解得 或 ， 由于 ，则 ，此时售价为 （元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元； (2)设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为y元， 根据题意得： ， 当 时，y取得最大值，最大值为900，此时售价为 （元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元. $