5.3 二次函数的应用 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形面积最值问题的应用，以广告牌设计实际问题导入，通过直角三角形内矩形（直角边、斜边两种情况）的探究搭建支架，衔接相似三角形与二次函数知识，引导学生从实际问题抽象数学模型。 其特色在于以真实情境（如窗户、羊圈）培养数学眼光，通过相似推导、配方求最值发展数学思维，课堂小结明确“实际问题-数学模型-回归实际”的转化路径强化数学语言。学生能提升建模与应用能力，教师可借助完整问题链高效教学。

第5章 二次函数 3　二次函数的应用 第2课时 几何图形面积问题 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 导入新课 同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌，大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 现在一个广告公司接到了一笔业务，需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌，公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，你能否设计出令公司满意的广告牌？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探究新知 探究1 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。 (1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？ 30 m 40 m F C D B E A 解:(1)由图易证△FDC∽△FAE ∴ ∴ ∴ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 30 m 40 m F C D B E A ∵<0， 结论：有两边在三角形的两直角边上时，矩形的最大面积为300 m2，是在AB＝20 m时取得的． (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （2）由题意可得 ∴ ∴当x=0时，y最大，y最大＝300. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【探究2】如果我们将这个问题再进行变式： 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上。 (1)设矩形的一边BC＝x m， 那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？ 30 m 40 m C D B M N O A 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：过点O作OH⊥MN，易得△OAD∽△OMN，MN＝50 m，OH＝24 m，　　　　　　　　 30 m 40 m C D B M N O A H ∴＝，　　　　　　　　　　　 化简得AB＝24－x。 ∴y＝x(24－x)＝－(x－25)2＋300。　 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∵－＜0， ∴当x＝25时，y最大，y最大＝300。 结论：当有一边在直角三角形的斜边上时，矩形的最大面积是300 m2，是在BC＝25 m时取得的。　　　　 30 m 40 m C D B M N O A H 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例1】某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多? 此时，窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 正确识图，所有黑线之和应为7x＋4y＋πx＝15，可求y与x的关系式是y＝。 解：∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝。 ∵0＜x＜15，且0＜＜15， ∴0＜x＜1.48。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝－x2＋x＝－(x－)2＋。 易得当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02。 因此，当x约为1.07 m时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积约为4.02 m2。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，设EB＝BF＝GD＝DH＝x，则四边形EFGH的最大面积为____。 2 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【解析】四边形EFGH的面积可以用矩形面积减去4个三角形的面积来求。设四边形EFGH的面积为S，则S＝S矩形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CGF－S△DGH＝3×1－(1－x)(3－x)－x2－(1－x)(3－x)－x2＝－2(x－1)2＋2。∵－2＜0，∴当x＝1时，S有最大值，为2。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1. 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，那么问题的结果会怎样？你是怎么得到的？ 解：∵AD=xm，DC∥AB， ∴ ， ∴DC=AB= 40- x ， 30 m 40 m F C D B E A 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∴y=AD·AB=x （ 40- x ） (0＜x＜30) ∴当x=15时， y有最大值300. = - （x-15）²+300 30 m 40 m F C D B E A 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ A B C D 解：设AB=x，则AD= ， ∴S=·x=-²+3x=-(x-1) ²+ ∴当x=1时，S有最大值 . 即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2. （1）写出 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围； 解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x 由题意0＜80－2x≤50 ∴15≤ x＜40 A B C D x 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x =-2(x-20)2+800 ∴当x=20时， S 有最大值800. 即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2. （2）当 AB， BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少? A B C D x 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $