15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定及互逆命题、互逆定理，课堂导入从已学轴对称知识切入，通过“对称轴是对称点连线的垂直平分线”自然引出垂直平分线性质的探究，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“观察-猜想-证明”的探究过程培养逻辑推理，结合几何直观呈现性质与判定的互逆关系，通过例题与分层练习（基础、巩固、拓展）强化应用意识。学生能提升逻辑推理核心素养，教师可借助系统流程与多样化资源提高教学效率。

【新教材】人教版·八年级上册 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 1 2 3 能结合图形说出线段垂直平分线的性质与判定，分清两个互逆定理的题设与结论； 掌握线段垂直平分线的性质和判定，能够运用定理进行证明与简单计算，理解互逆命题、互逆定理的含义； 经历观察、猜想、证明线段垂直平分线相关结论的过程，体会类比思想，提升逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就在轴对称知识的基础上，继续学习、系统掌握线段垂直平分线的相关结论，用来解决线段相等、点的位置判定的新知识 ——线段的垂直平分线的性质与判定． 同学们，上一节课我们学习了轴对称，知道对称轴是连接一组对称点线段的垂直平分线，那垂直平分线上的点会有什么特殊性质呢？ 导入新课 3 探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等． 你能猜想出线段的垂直平分线有什么性质吗？ 新知探究 4 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 你能证明这个猜想吗？ 新知探究 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上． 求证：PA＝PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB．  当点P与点C重合 时，显然成立． 又AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA＝PB． 当点P与点C重合时，显然成立． 新知探究 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵直线 l 垂直平分 AB， ∴ PA =PB． 新知探究 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 　　点P 在线段AB 的垂直平分线上． 你能证明这个结论吗？ 新知探究 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P作直线 l⊥AB， 垂足为C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴AC =BC． 又PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． （2）点 P 在线段 AB 上.显然点 P 是 AB 的中点，此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. （1）当点 P 在线段 AB 外时 A B P 新知探究 9 垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 几何语言： ∵PA＝PB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 新知探究 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？ 这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 新知探究 说一说：说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 解：（1）内错角相等，两直线平行，成立； （2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立； （3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立． 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 新知探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 在几何中，有许多互逆的定理．例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和 “内错角相等，两直线平行”也是互逆定理． 新知探究 例：如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． D 【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 解：∵的周长是， ∴， ∵，∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，∴． 典例分析 1．如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 2 【解析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 基础训练 2．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角；②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【解析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念．（1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可；（2）根据逆定理的性质求解即可． 解：（1）①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等．②“如果，那么”的逆命题；如果，那么．（2）因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 基础训练 线段的垂直平分线的性质与判定 ①线段垂直平分线的性质 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ③互逆命题与互逆定理 题设、结论正好相反的两个命题为互逆命题； 一个定理的逆命题经过证明是真命题，二者就是互逆定理． ②线段垂直平分线的判定 新知总结 17 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 C 【解析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”，故选C． 巩固练习 2．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 B 【解析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 解： ，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 巩固练习 3．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为___． 【解析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线，∴， ∵，∴， ∵点D是的中点，，∴， ∵，∴，∴． 故答案为：． 巩固练习 4．如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键；（1）根据证明即可；（2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 证明：(1)，，和都是直角三角形． 在和中，，． (2)垂直平分，理由如下： ，∴点D在线段的垂直平分线上．，，∴点A在线段的垂直平分线上，垂直平分． 巩固练习 5．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点． 求证：(1)；(2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【解析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明；（3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 拓展提升 22 证明： (1)，， 又∵E为的中点，， 在和中，∴，∴． (2)∵，∴， 又∵，∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中，，， ， 由（1）可知，， 即． 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第70页习题15.1第5题、第6题 选做题： 教材第70页习题15.1第4题、第8题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $