15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（课件）--2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过复习定义类比角的平分线，引导学生从位置关系探究数量关系，再逆向推理判定，构建“定义-性质-判定-应用”的学习支架。 亮点在于以探究活动为核心，通过几何证明培养推理能力，结合生活实例（如食堂选址）发展数学眼光，习题分层含中考变式题。小结梳理知识脉络，帮助学生夯实几何基础，教师可用于同步巩固与专项训练。

人教版（新教材）数学八年级上册 第15章 轴对称 15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/20 人教版数学八年级上册15.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质与判定专项练习 一、核心知识点梳理 1. 线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段的垂直平分线是一条直线，具备垂直、平分线段两个核心条件，二者缺一不可。 2. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。该性质是证明线段相等的重要依据，无需通过三角形全等即可直接判定线段相等，简化几何证明步骤。 3. 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。利用该判定可确定点的位置，进而证明直线是线段的垂直平分线，是几何作图、定点的核心依据。 4. 核心推论：一条线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合，线上所有点满足距离相等，满足距离相等的点均在这条直线上。 二、基础选择题（每题5分，共30分） 1. 下列关于线段垂直平分线的说法正确的是（） A. 是一条线段 B. 是一条射线 C. 是一条直线 D. 以上都不对 2. 若点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（） A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB 3. 已知PA=PB，则点P的位置是（） A. 在线段AB上 B. 在线段AB的垂直平分线上 C. 在AB的上方 D. 在AB的下方 4. 直线l垂直平分线段AB，若AB=10cm，点P在直线l上，则PA的长不可能是（） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 5. 在△ABC中，若PA=PB=PC，则点P是△ABC的（） A. 顶点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 6. 下列条件中，能判定直线l是线段AB垂直平分线的是（） A. l⊥AB B. l平分AB C. l⊥AB且平分AB D. 点P在l上，PA=PB 三、填空题（每题6分，共24分） 1. 线段垂直平分线上的点到线段__________的距离相等。 2. 若点M到线段AB两端点的距离相等，则点M在AB的__________上。 3. 直线l垂直平分AB，点P在l上，若PB=7cm，则PA=__________cm。 4. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个__________的距离相等。 四、判断题（每题4分，共16分） 1. 到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。（） 2. 垂直于线段的直线就是线段的垂直平分线。（） 3. 线段的垂直平分线有且只有一条。（） 4. 若PA=PB，QA=QB，则直线PQ垂直平分线段AB。（） 五、解答题（共30分） 1.（14分）简述线段垂直平分线的性质与判定的区别与联系。 2.（16分）已知：直线l垂直平分线段AB，点C在直线l上，连接AC、BC，若AC=9cm，求BC的长度，并说明理由。 六、参考答案与详细解析 选择题解析：1.C 线段垂直平分线的定义为直线；2.A 直接应用垂直平分线性质，线上点到两端点距离相等；3.B 依据垂直平分线判定定理；4.A 点在垂直平分线上，PA最小值为5cm（垂足处），可取5cm及以上数值，本题无错误选项，核心考查取值范围；5.B 到三顶点距离相等的点为三角形三边垂直平分线交点；6.C 垂直平分线需同时满足垂直、平分两个条件。 填空题答案：1.两个端点；2.垂直平分线；3.7；4.顶点。 判断题答案：1.√ 符合判定定理；2.× 仅垂直不平分，不是垂直平分线；3.√ 一条线段仅有一条垂直平分线；4.√ 两点确定一条直线，两点均在垂直平分线上，直线即为AB垂直平分线。 解答题解析：1. 区别：性质是已知点在垂直平分线上，推出线段相等，由位置关系得数量关系；判定是已知线段相等，推出点在垂直平分线上，由数量关系得位置关系。联系：二者互为逆定理，是线段垂直平分线核心的两个互推结论，是几何证明、计算、作图的核心依据。2. BC=9cm。理由：直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l上，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此BC=AC=9cm。 本次练习聚焦线段垂直平分线的核心考点，覆盖定义、性质、判定及逆定理应用，搭配基础辨析、计算、简答题型，针对性解决学生易混淆的性质与判定互用问题，夯实几何基础，提升线段证明与计算的解题能力，适配八年级同步课后巩固与专项训练。 情境导入 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及点在线段垂直平分线上的判定，并会运用这些定理证明线段相等或垂直等，发展推理能力. 了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 学习目标 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 复习 线段的垂直平分线的定义是什么？ 情境导入 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 情境导入 探究一： 在平面中找一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等. 分析： 线段 AB 的对称轴 证明 PA = PB 找到点 P 所在的特殊直线 已知 证明 证明 PA = PB 探究新知 在平面中找一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等. 转化探究 如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上.求证 PA = PB. 证明：∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB． 探究新知 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____. 相等 几何表达： 如果 l⊥AB，AC = CB， 那么对 l 上任意一点 P， 有 PA = PB. 探究新知 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若 ，则 的长为______. （第1题） 返回 举一反三 8 （第2题） 2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂 直平分线交于点，连接.若 ， ，则 ___. 3 返回 举一反三 9 探究二：如果在平面内一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等，那么点 P 是否在线段的垂直平分线上？ 分析： 过 P 作 PC⊥AB 证 AC = BC 知识点2：线段的垂直平分线的判定 探究新知 如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB， PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C． ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 又 PC⊥AB， ∴ AC = BC． ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)． PA = PB，PC = PC， 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， 则∠PCA =∠PCB = 90°． 探究新知 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的____________. 相等 垂直平分线上 直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合. 几何表达： ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 有 AC = CB. 探究新知 例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证. 解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下： 探究新知 总结 ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， ∴ PA = PB. 同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC. 三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 探究新知 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 1 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 2 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 知识点3：互逆命题与互逆定理 探究新知 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 互逆命题 不一定，原命题和逆命题是否成立没有直接关系. 探究新知 1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ A B C D E 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC， ∴AB =AC. 又点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE， ∴AB +BD=CE+DC，即AB +BD =DE. 当堂检测 2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 为什么？ A M B C 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下： ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC 的垂直平分线上. ∵线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 当堂检测 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行.成立. (2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立，如2和-2的绝对值相等，但2≠-2. 当堂检测 解：(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立，如图所示是两个形状相同但大小不同的三角形，显然它们的对应角相等，但它们不是全等三角形. 形状相同，大小不同. 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (3)全等三角形的对应角相等. 当堂检测 3.［教材习题变式］如图，在中，线段 的 垂直平分线分别交，于点，，连接 ，若 ，，则 的周长为( ) C A.19 B.20 C.21 D.22 返回 举一反三 21 4.如图，在中，边的垂直平分线 分别交,于点，,边 的垂直平分线 分别交，于点，，已知 的 周长为，求 的长. 解：是的垂直平分线，是 的垂直平分线， ， . 的周长为 ， ， ，即 . 返回 举一反三 22 知识点2 线段的垂直平分线的判定 5.如图，点是内的一点，若 ，则( ) D A.点在 的平分线上 B.点在 的平分线上 C.点在边 的垂直平分线上 D.点在边 的垂直平分线上 返回 举一反三 23 6.［教材习题变式］如图，在 中， ，的垂直平分线，相交于点.求证：点 在 的垂直平分线上. 证明：连接，， . 是的垂直平分线， . 是 的垂直平分线， ， . 点在 的垂直平分线上. 返回 举一反三 24 知识点3 逆命题与逆定理 7.命题“锐角小于 ”的逆命题是( ) A A.小于 的角是锐角 B.不是锐角的角不小于 C.不小于 的角不是锐角 D.如果一个角是锐角，那么这个角小于 返回 举一反三 25 8.［2025石家庄期中］下列命题中，其逆命题不成立的是( ) B A.同旁内角互补，两直线平行 B.如果两个角是直角，那么它们相等 C.全等三角形的三组对应边相等 D.两个正实数相等，那么它们的平方相等 返回 举一反三 26 线段的垂直平分线的性质 ___________________与这条线段_________的距离_____ 与__________________距离_____的点在这条线段的___________上. 互逆命题、互逆定理 线段垂直平分线的点 两个端点 相等 这条线段两个端点 相等 垂直平分线 课堂小结 谢谢观看 THANKS $