15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过回顾定义，结合线段与角的轴对称性类比角平分线性质，引导学生提出猜想，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以类比观察发展几何直观（数学眼光），通过折叠实验、分类证明培养推理能力（数学思维），结合实例练习与互逆命题辨析强化模型意识（数学语言）。小结系统梳理知识，助力学生构建逻辑体系，教师使用可提升教学效率。

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 适用：初中数学八年级上册 教师：数不清老师 1.7.2013 大家好，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们将一起探索一个非常有趣且重要的数学概念——一次函数。它就像一把钥匙，能帮助我们打开理解现实世界中变量关系的大门，发现其中蕴含的线性之美。让我们一起开始今天的学习之旅吧！ ‹#› 教学目标 1.理解并掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.结合具体的实例，了解原命题及其逆命题、定理及其逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，识别两个命题是不是互逆命题. 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 情境导入 上一节课中我们提到了线段的垂直平分线，请同学们回顾一下线段的垂直平分线的定义。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. A O B M N 几何语言：如图， ∴ MN是AB的垂直平分线. ∵ MN⊥AB，AO=BO， ∵ MN是AB的垂直平分线， ∴ MN⊥AB，AO=BO. 反过来： 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 情景引入 线段和角是不是轴对称图形？ 角的对称轴是该角的 平分线所在的直线. 线段的对称轴是 其垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线. 角平分线的性质是什么？ 是 请作出它们的对称轴 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 情景引入 线段和角是不是轴对称图形？ 角的平分线上的点到 角两边的距离相等. 类比角的平分线，线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离的关系是什么？ 是 请作出它们的对称轴 E D P 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点1：线段的垂直平分线的性质 发现：P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等. 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 是否在垂直平分线上的点到线段两端的距离都相等呢？ 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点1：线段的垂直平分线的性质 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上. 求证：PA=PB. B A P l C 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. P点的位置会有几种情况？ 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点1：线段的垂直平分线的性质 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上. 求证：PA=PB. B A P l C 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 证明：况1——P在线段AB上，即P与C重合 ∵AC=AB ∴PC=PB 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点1：线段的垂直平分线的性质 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上. 求证：PA=PB. B A P l C 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 证明：况2——P在线段AB外， 在∆ACP和∆BCP中 即P不与C重合 ∵l⊥AB ∴∆ACP∆BCP ∴∠ACP=∠BCP ∴PA=PB 验证：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点1：线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： ∵如图，点P在线段AB的垂直平分线上 （或直线l⊥AB，AC＝BC，点P在l上)， ∴PA=PB. ┏ l A B P C 任意一点 注意 该定理经常用来证明两条线段相等. 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点2：线段的垂直平分线的判定 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还是成立吗? 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等. 命题成立吗？ 你会证明吗？ 已知：PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点2：线段的垂直平分线的判定 A P B 分析：可以先过点P作一条与AB垂直 的直线，再说明这条直线平分线段AB. 先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再证 点C是线段AB的中点. C 要证点C是线段AB的中点，只需要证 Rt△PAC≌Rt△PBC即可. 作垂直，证中点 已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点2：线段的垂直平分线的判定 A P B 已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作PC⊥AB，垂足为C ∴∠PCA=∠PCB=90° 在Rt∆PAC和Rt∆PBC中 ∆PACRt∆PBC ∴直线PC是线段AB的垂直平分线 即点P在线段AB的垂直平分线上 C 而当P在线段AB上，是线段AB中点时，结论也显然成立！ 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点2：线段的垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定定理： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 几何语言：如图，∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 注意 1.线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端 点距离相等的所有点的集合． 2.该定理用于确定点在线段的垂直平分线上以及某条直线是线段的垂直平分线. A P B C 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点3：互逆命题与互逆定理 前面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？ 两个命题正好互换了题设与结论的位置. 你还学习过其他的具 有类似关系的命题吗？ 判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等. 题设 题设 结论 结论 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点3：互逆命题与互逆定理 两个命题正好互换了题设与结论的位置. 你还学习过其他的具 有类似关系的命题吗？ 两条直线平行，内错角相等. 内错角相等，两条直线平行. 题设 结论 结论 题设 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 注意：1.每个命题都有逆命题； 2.互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任意 一个为原命题，另一个为其逆命题. 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点3：互逆命题与互逆定理 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 互逆命题的真假性是否统一呢？ 原命题：两条直线平行，内错角相等. 逆命题：内错角相等，两条直线平行. 成立 成立 原命题：对顶角相等. 逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角. 成立 不成立 可见，原命题成立时，它的逆命题不一定成立． 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点3：互逆命题与互逆定理 原命题：两条直线平行，内错角相等. 逆命题：内错角相等，两条直线平行. 成立 成立 对于一个命题而言，它经过证明是真命题，那么就是一个定理，若其逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个叫作另一个定理的逆定理. 真命题 定理 真命题 定理 互逆 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 新知探究 知识点3：互逆命题与互逆定理 1.每个命题都有逆命题； 2.互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任意 一个为原命题，另一个为其逆命题. 3.互逆命题若都是真命题，则也叫做互逆定理. 4.一个定理一定有一个逆命题，但不一定有逆定理. 5.互逆定理是一对互逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆定理. 总结 1.7.2013 同学们，数学来源于生活。让我们来看两个生活中的例子。第一个是手机话费问题，月租20元，每分钟通话0.1元。这里有固定的月租，也有随通话时间变化的费用。第二个是汽车行驶问题，汽车以固定速度行驶，路程会随着时间的变化而变化。大家思考一下，我们该如何用数学式子来描述这两个变化过程呢？ ‹#› 课堂练习 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 A 2.如图所示，直线 CD 是过线段 AB 的直线，点 P 为直线 CD 上的一点，当满足（ ）条件时，CD是线段AB的垂直平分线 A. CD⊥AB B. CD平分AB C. AP=BP D.∠APD=∠BPD且AP=BP D P A B C D 1.7.2013 我们得到了两个关系式：y = 0.1x + 20 和 s = 100t。大家仔细观察一下，它们有什么共同的特点呢？它们都有两个变量，变量之间都是乘法和加法的关系，而且变量的最高次数都是1。这就是我们今天要学习的核心概念——一次函数。 ‹#› 课堂练习 3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有(　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB A B C D A 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°. AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E, 则下列结论不正确的是 (　　) A.AE=BE B.AC=AD C.CE=DE D.∠CAE=∠B D A B D E C 1.7.2013 我们得到了两个关系式：y = 0.1x + 20 和 s = 100t。大家仔细观察一下，它们有什么共同的特点呢？它们都有两个变量，变量之间都是乘法和加法的关系，而且变量的最高次数都是1。这就是我们今天要学习的核心概念——一次函数。 ‹#› 课堂练习 6. 如图所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 20cm，则 AC 的长是 . 12 cm A B C D E 5.如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______． 14° 1.7.2013 我们得到了两个关系式：y = 0.1x + 20 和 s = 100t。大家仔细观察一下，它们有什么共同的特点呢？它们都有两个变量，变量之间都是乘法和加法的关系，而且变量的最高次数都是1。这就是我们今天要学习的核心概念——一次函数。 ‹#› 课堂练习 原命题：全等三角形的对应边相等. 逆命题：对应边相等的两个三角形是全等三角形. 7.请说出下列原命题的逆命题，并判断真假 原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等. 逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 原命题：两直线平行，同旁内角互补. 逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 真命题 真命题 真命题 真命题 真命题 真命题 1.7.2013 我们得到了两个关系式：y = 0.1x + 20 和 s = 100t。大家仔细观察一下，它们有什么共同的特点呢？它们都有两个变量，变量之间都是乘法和加法的关系，而且变量的最高次数都是1。这就是我们今天要学习的核心概念——一次函数。 ‹#› 课堂练习 8.已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD. 求证：OE 是 CD 的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ OE 是 CD 的垂直平分线. ∴ DE = CE. 又 ∵ OE = OE， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC. ∴ DO = CO. 1.7.2013 我们得到了两个关系式：y = 0.1x + 20 和 s = 100t。大家仔细观察一下，它们有什么共同的特点呢？它们都有两个变量，变量之间都是乘法和加法的关系，而且变量的最高次数都是1。这就是我们今天要学习的核心概念——一次函数。 ‹#› 课堂小结 1.7.2013 今天的课就到这里。这是今天的作业，请大家认真完成。基础题和能力提升题帮助大家巩固知识，拓展思考题则希望大家能把数学和生活联系起来，真正做到学以致用。感谢大家的聆听，下课！ ‹#› 作业布置 练习册：《15.1.2 线段的垂直平分线的性质与判定》课后练习 预习15.1.2（第2课时）作轴对称 1.7.2013 今天的课就到这里。这是今天的作业，请大家认真完成。基础题和能力提升题帮助大家巩固知识，拓展思考题则希望大家能把数学和生活联系起来，真正做到学以致用。感谢大家的聆听，下课！ ‹#› $