平面的法向量小专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以定义-性质-步骤为逻辑主线，系统构建平面法向量的方法体系，通过分层题型实现知识迁移与应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题依据|定义+3性质+6步求法+例|梳理法向量定义与性质，提炼六步求法（设-选-列-解-赋-得）|从概念生成（定义）到原理推导（性质），再到应用步骤，形成完整逻辑链| |小专题训练|单选8/多选2/填空4/解答2|线面/面面位置关系判定，坐标运算，综合几何模型应用|通过基础辨析（单选）到综合应用（解答），实现从知识理解到问题解决的能力进阶|

平面的法向量小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 1．平面的法向量 （1）定义： 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个______向量，且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个________.此时,也称与平面垂直,记作_________. （2）性质： ①如果直线l垂直平面，则直线l的任意一个___________都是平面的一个法向量； ②如果是平面的一个法向量，则对任意实数，空间向量_____也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都_______. 例：已知是平面的一个法向量，那么______平面的一个法向量.（填“是”或“不是”） ③如果是平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面内任意一点B，向量一定与向量_______，即______________，从而可知平面的位置可由和A唯一确定. 2．求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为. （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由_________列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为________(常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 小专题训练 一、单选题 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 6．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在三棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的余弦值为 10．已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 三、填空题 11．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 12．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 13．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 14．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面的法向量小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 1．平面的法向量 （1）定义： 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个______向量，且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个________.此时,也称与平面垂直,记作_________. （2）性质： ①如果直线l垂直平面，则直线l的任意一个___________都是平面的一个法向量； ②如果是平面的一个法向量，则对任意实数，空间向量_____也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都_______. 例：已知是平面的一个法向量，那么______平面的一个法向量.（填“是”或“不是”） ③如果是平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面内任意一点B，向量一定与向量_______，即______________，从而可知平面的位置可由和A唯一确定. 【答案】 非零 法向量 方向向量 平行 是 垂直 2．求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为. （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由_________列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为________(常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 【答案】 非零值 小专题训练 一、单选题 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 2．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得， 解得. 3．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 4．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 5．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 6．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 7．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 8．已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 二、多选题 9．在三棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】利用两点间距离公式计算判断A；利用向量夹角公式计算判断B；利用法向量的意义，结合数量积的坐标表示判断C；利用线面角的向量法计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，向量，则，B错误； 对于C，由，得向量是平面的一个法向量，C正确； 对于D，，则与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为，D错误. 10．已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 12．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 【答案】1 【分析】借助空间向量性质计算即可得. 【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 13．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 14．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下， 由图可知，设， 则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 易知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，设平面的法向量为，建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件求出和平面的一个法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）不存在，略. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $