平行平面距离的向量求法小专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦平行平面距离的向量求法，以“法向量-两点向量-点积公式”为核心方法体系，构建从概念到应用的递进式知识逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题依据|1个核心公式|向量法求距离的“求法向量→取两点向量→计算|AB·n|/|n|”三步法|平面法向量概念→点到平面距离公式→平行平面距离公式的推导迁移| |小专题训练|16题（单选8/多选2/填空4/解答2）|坐标法求法向量、几何体中两点选取技巧|结合正方体、空间坐标系等模型，实现几何问题代数化，培养空间观念与运算能力|

平行平面距离的向量求法小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 两平行平面间的距离如图，A,B分别是平行平面@，B上的任意一点，设n是平面a,β的一个法向 量，则平面a,β之间的距离d= 个n a 小专题训练 一、单选题 1.两平行平面Q,β分别经过坐标原点0和点A1,2,3,且两平面的一个法向量i=-1,0,1,则两平面间 的距离是() A.9V2 V2 B. 2 c.V3 D.32 2.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.平面ABC与平面A1DC1之间的距离为() 3 V2 A.3 B.1 C.2 D.明 3 A.V2 B.9V3 2 C. 3 3 D.3 4.正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为2，E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的中点， 则平面EFD,B,和平面GHDB之间的距离为(） 1 B. 3 C. b. 6 5.两平行平面gB分别经过坐标原点0和点A1,27小且两平面的一个法向量n=-1,0,1 则两平面 间的距离是() A.V2 B.3V2 c.V3 D.的 2 6.如图，在几何体ABC-A1B1C1中，四边形A1ACB1是矩形，△ACB≌△A1B1C1,且平面ACB∥ 试卷第1页（共3页） V2 平面A1B1C1,AA1⊥AB,AB=BC=AA1= AC=1,则下列结论错误的是() C B A B A.AC1I∥BB1 B.异面直线B8,、C,C所成的角为号 C.几何体ABC-A1B,C1的体积为2 D.平面A,BB,与平面AC1C间的距离为3 7.如图所示，正方体的棱长为1，E,F,M,N分别为棱AD,AB,DC,BC的中点.则平面A1EF 与平面B,NMD,间的距离为（） D E B 2V2 A. B. 3 c.33 3 D台 8.已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为() A.2a B.V3a 3 C. -a 3 D.3 a 二、多选题 9.（多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别为CD,A1B的中点，则下列 结论正确的是() 试卷第2页（共3页） D A B A.点F到点E的距离为V2 B.点P到直线ED,的距窝为30 5 C.点到平面AED,的距离为G D.平面BFC1到平面AED1的距离为 V6 3 10.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1,则() A.A1B⊥AC1 B.A1B与BC所成角的大小为45 C.平面A1BD与平面B,DC的距离为V3 D.平面A1BC1与平面ABCD所成角的大小为60° 三、填空题 11.空间直角坐标系中A0,0,0,B1,1,1,C1,0,0,D-1,2,1,其中A∈a,B∈a,C∈B, D∈β，已知平面Q/平面B,则平面α与平面B间的距离为 12.若两平行平面Q、β分别经过坐标原点0和点A2,1,1,且两平面的一个法向量为n=-1,0,1,则两 平面间的距离是 13.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),则过点P平行于平面ABC的平面与平面 ABC的距离为 14.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 、 四、解答题 15.设正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为2，求平面CBD1与平面A1BD之间的距离. 16.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，求平面ADE与平面 B1C1F之间的距离. 试卷第3页（共3页） 平行平面距离的向量求法小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 两平行平面间的距离如图，，分别是平行平面，上的任意一点，设是平面，的一个法向量，则平面，之间的距离 ______． 【答案】 小专题训练 一、单选题 1．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 2．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 3．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 4．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 5．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 6．如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】C 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C    7．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 8．已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解 【详解】由正方体的性质，∥,∥，，， 易得平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，． 连接，由，，且，可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离． 故选：D 二、多选题 9．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 10．已知棱长为3的正方体，则（    ） A． B．与所成角的大小为 C．平面与平面的距离为 D．平面与平面ABCD所成角的大小为 【答案】AC 【分析】如图，计算的值，即可判断A；通过向量夹角公式计算能求出直线与所成角即可判断B；由平面与平面的距离转化为点到面的距离，再利用等体积法求解即可判断C；通过平面与平面ABCD的法向量求两平面的夹角即可判断D. 【详解】以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 正方体棱长为3，则 ， 对于选项A，因为，， 所以，故A正确； 对于选项， ， 所以与所成角的大小为，故B不正确； 对于选项C，平面与平面平行， 两平面的距离可转化为点到平面的距离，则， 即，解得，故 C正确； 对于选项D，设平面的法向量， ， 则，取， 易知平面ABCD的一个法向量为， ， 所以平面与平面ABCD所成角的大小不为，故D不正确. 故选：AC 三、填空题 11．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 12．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 13．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为________． 【答案】 【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解 【详解】解：因为点，，，， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为， 故答案为： 14．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 _______. 【答案】 【分析】转化为求点B到平面AB1D1的距离后，建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的向量公式可求得结果. 【详解】∵，平面BDC1，平面BDC1，所以平面BDC1， 同理平面BDC1，又， 所以平面AB1D1//平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离. 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(a,0,0)，B(a，a,0)，，，，， 则，，， 设平面AB1D1的一个法向量为， 则，即，令，则，，则， 则点B到平面AB1D1的距离 ， 所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用点到面的距离的向量公式求解是解题关键. 四、解答题 15．设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【分析】先证得平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面的距离. 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 16．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出平面平面，然后利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求. 【详解】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，则， 因为、不在同一条直线上，则， 平面，平面，则平面， 同理可证平面，，故平面平面， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 又因为，因此，平面与平面之间的距离为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $